12 Aufgaben mit ansteigendem Schwierigkeitsgrad. Bearbeite alle Aufgaben in einem Zug, ohne in die Lösungen zu schauen — diese stehen am Ende. Hilfsmittel: nur Formelsammlung Promath. Zeitvorgabe: ca. 45 Minuten.
Vervollständige die Aussage und schreibe in die Lücken:
Berechne ohne Taschenrechner:
(a) \( \sqrt{49} \) (b) \( \sqrt[3]{64} \) (c) \( \sqrt[4]{81} \) (d) \( \sqrt[5]{32} \)
Schreibe mit rationalem Exponenten:
(a) \( \sqrt{x} \) (b) \( \sqrt[3]{x^2} \) (c) \( \dfrac{1}{\sqrt{x}} \)
Gib die Umkehrfunktion an (jeweils auf \( \mathbb{R}_0^+ \)):
(a) \( y = x^4 \) (b) \( y = x^5 \)
Begründe mit einem Zahlenbeispiel, warum \( y = x^2 \) auf ganz \( \mathbb{R} \) nicht umkehrbar ist.
Der Punkt \( P(2 \mid 8) \) liegt auf dem Graphen von \( y = x^3 \). Welcher Punkt des Graphen von \( y = \sqrt[3]{x} \) entspricht ihm bei der Spiegelung an \( y = x \)?
Bestimme den maximalen Definitionsbereich von \( y = \sqrt{2x - 6} \).
Gib für \( y = \sqrt{x+1} - 3 \) den Startpunkt, den Definitionsbereich und die Wertemenge an.
Bestimme Ordinatenabschnitt und Nullstelle von \( y = 3\sqrt{x+1} - 6 \).
Löse \( \sqrt{3x + 1} = 4 \) und mache die Probe.
Löse \( \sqrt[3]{x - 5} = 3 \).
Hat die Gleichung \( \sqrt{x + 7} = -2 \) eine Lösung? Begründe ohne zu quadrieren — und zeige, welche Scheinlösung das Quadrieren liefern würde.
Exponent \( \tfrac{1}{n} \); \( D = \mathbb{R}_0^+ \); \( W = \mathbb{R}_0^+ \).
(a) \(7\) · (b) \(4\) · (c) \(3\) · (d) \(2\).
(a) \( x^{1/2} \) · (b) \( x^{2/3} \) · (c) \( x^{-1/2} \).
(a) \( y = \sqrt[4]{x} \) · (b) \( y = \sqrt[5]{x} \).
Zur Höhe \( y = 4 \) gehören zwei Urbilder: \( 2^2 = 4 \) und \( (-2)^2 = 4 \). Eine Umkehrfunktion müsste der \(4\) einen eindeutigen Wert zuordnen — unmöglich. Erst die Einschränkung auf \( x \geq 0 \) macht die Zuordnung eindeutig.
Koordinaten vertauschen: \( P'(8 \mid 2) \). Kontrolle: \( \sqrt[3]{8} = 2 \) ✓
\( 2x - 6 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3 \Rightarrow D = [3;\, +\infty[ \).
Startpunkt \( (-1 \mid -3) \); \( D = [-1;\, +\infty[ \); \( W = [-3;\, +\infty[ \).
Ordinatenabschnitt: \( y_0 = 3\sqrt{1} - 6 = -3 \). Nullstelle: \( 3\sqrt{x+1} = 6 \Rightarrow \sqrt{x+1} = 2 \Rightarrow x + 1 = 4 \Rightarrow x_0 = 3 \). Probe: \( 3\sqrt{4} - 6 = 0 \) ✓
Quadrieren: \( 3x + 1 = 16 \Rightarrow x = 5 \). Probe: \( \sqrt{16} = 4 \) ✓
Hoch 3: \( x - 5 = 27 \Rightarrow x = 32 \). Probe: \( \sqrt[3]{27} = 3 \) ✓
Keine Lösung: Die linke Seite ist ein Wurzelwert (\( \geq 0 \)), die rechte \(-2 < 0\) — Gleichheit unmöglich, \( L = \{\,\} \). Quadrieren ergäbe \( x + 7 = 4 \Rightarrow x = -3 \); die Probe \( \sqrt{4} = 2 \neq -2 \) entlarvt die Scheinlösung.