Sechs Anwendungsaufgaben, nach zunehmendem Schwierigkeitsgrad geordnet. Extremwerte werden grafisch bestimmt (Graph zeichnen bzw. Grafikrechner) — Differentialrechnung wird nicht vorausgesetzt. Musterlösungen am Ende.
| Nr. | Bereich | Titel | Schwierigkeit |
|---|---|---|---|
| 1 | Verpackung | Die offene Schachtel | ●●○ |
| 2 | Biologie | Truthahn-Population | ●●○ |
| 3 | Meteorologie | Temperaturverlauf | ●●● |
| 4 | Fahrzeugbau | Flüssigkeitstank | ●●● |
| 5 | Geometrie | Kegel in der Kugel | ●●● |
| 6 | Fertigung | Tisch aus der Marmorplatte | ●●● |
Aus einem Karton von \( 20 \times 15 \) cm wird eine offene Schachtel gefaltet: In den vier Ecken wird je ein Quadrat der Seite \(x\) ausgeschnitten.
(a) Zeige: \( V(x) = x(20-2x)(15-2x) = 4x^3 - 70x^2 + 300x \). Grad? Sinnvoller Bereich?
(b) Bestimme grafisch das maximale Volumen und das zugehörige \(x\).
(c) Für welche \(x\) fasst die Schachtel genau \( 300\ \text{cm}^3 \)? (grafisch, zwei Lösungen)
Auf einer Insel ohne natürliche Feinde entwickelt sich eine ausgesetzte Truthahn-Population näherungsweise gemäss \( h(t) = -0.00001\,t^3 + 0.002\,t^2 + 1.5\,t + 100 \) (\(t\) in Tagen).
(a) Bestimme die Anfangspopulation und skizziere den Graphen für \( 0 \leq t \leq 550 \).
(b) Wann ist die Population maximal, und wie gross ist sie dann?
(c) Wann sagt das Modell das Verschwinden der Population voraus? Deute biologisch.
Die Temperatur einer Stadt über 24 Stunden: \( T(t) = 0.01\,t(t-24)(t-18) + 10 \) in °C, \( t = 0 \) um 8 Uhr morgens.
(a) Bestimme \( T(0) \), \( T(18) \), \( T(24) \) — was fällt auf?
(b) Bestimme grafisch Höchst- und Tiefsttemperatur samt Uhrzeit sowie die Wertemenge.
(c) Wann beträgt die Temperatur \(20\) °C?
Ein Tank besteht aus einem Zylinder mit zwei angesetzten Halbkugeln (alle Radius \(x\)); Gesamtlänge \(4.2\) m. Es gilt \( V(x) = 4.2\,\pi x^2 - \tfrac{2}{3}\pi x^3 \).
(a) Leite die Formel her (Zylinderlänge \( 4.2 - 2x \)) und begründe \( 0 < x \leq 2.1 \).
(b) Für welchen Radius fasst der Tank \( 25\ \text{m}^3 \)? (grafisch, Probe)
(c) Bei welchem \(x\) ist \(V\) maximal? Welche Form hat der Tank dann?
In eine Kugel mit Radius \( r_1 = 2 \) dm wird ein gerader Kreiskegel (Radius \(r_2\), Höhe \(h\)) einbeschrieben. Nach dem Höhensatz gilt \( r_2^2 = h\,(2r_1 - h) = h\,(4 - h) \).
(a) Zeige: \( V(h) = \tfrac{\pi}{3}\,h^2\,(4 - h) \). Welchen Grad hat dieses Polynom in \(h\)?
(b) Bestimme grafisch, für welche Höhe \(h\) das Kegelvolumen maximal wird.
(c) Gib \( r_2 \) und \( V_{\max} \) an.
Die Bruchkante einer Marmorplatte folgt näherungsweise \( y = x^2 - 4.6x + 4.93 \) (für \( 0 \leq x \leq 1.7 \), Masse in m). Daraus soll ein rechteckiger Tisch mit Ecke \( P(a \mid y(a)) \) geschnitten werden: Fläche \( A(a) = a \cdot y(a) \).
(a) Zeige: \( A(a) = a^3 - 4.6a^2 + 4.93a \) — eine Polynomfunktion dritten Grades.
(b) Bestimme grafisch das optimale \(a\) und die maximale Fläche.
(c) Gib die beiden Seitenlängen des optimalen Tischs an.
(a) Ausmultiplizieren liefert \( 4x^3 - 70x^2 + 300x \) — Grad 3; sinnvoll: \( 0 < x < 7.5 \).
(b) Hochpunkt bei \( x \approx 2.83 \) cm mit \( V_{\max} \approx 379\ \text{cm}^3 \).
(c) Ablesen am Graphen: \( x \approx 1.5 \) cm und \( x \approx 4.6 \) cm (Kontrolle: \( V(1.5) \approx 306 \), genauer \( x_1 \approx 1.46 \); \( V(4.6) \approx 297 \), genauer \( x_2 \approx 4.65 \) — Ablesegenauigkeit genügt).
(a) \( h(0) = 100 \) Tiere.
(b) Hochpunkt bei \( t = 300 \) Tagen: \( h(300) = 460 \) Tiere.
(c) Nullstelle bei \( t \approx 523 \) Tagen — das Modell sagt den Zusammenbruch voraus, plausibel durch Überweidung der begrenzten Insel-Ressourcen. Danach verliert das Polynom-Modell seine Gültigkeit (negative Bestände).
(a) \( T(0) = T(18) = T(24) = 10 \) °C — an den Nullstellen des Produktterms bleibt nur die Verschiebung \(+10\).
(b) Hochpunkt \( t \approx 6.8 \) (≈ 14:50 Uhr): \( T_{\max} \approx 23.1 \) °C; Tiefpunkt \( t \approx 21.2 \) (≈ 5:10 Uhr): \( T_{\min} \approx 8.1 \) °C. \( W \approx [8.1;\, 23.1] \).
(c) \( t \approx 3.3 \) (≈ 11:15 Uhr) und \( t \approx 11.0 \) (≈ 19:00 Uhr); die dritte Lösung \( t \approx 27.7 \) liegt ausserhalb von \( D = [0;\, 24] \).
(a) \( V = \pi x^2 (4.2 - 2x) + \tfrac{4}{3}\pi x^3 = 4.2\pi x^2 - \tfrac{2}{3}\pi x^3 \); die Halbkugeln brauchen zusammen die Länge \(2x \leq 4.2\).
(b) \( x \approx 1.59 \) m (Probe: \( V(1.592) \approx 25.0\ \text{m}^3 \) ✓).
(c) \(V\) wächst auf dem ganzen Bereich — Randmaximum bei \( x = 2.1 \) m mit \( V \approx 38.8\ \text{m}^3 \): Der Tank ist dann eine reine Kugel.
(a) \( V = \tfrac{\pi}{3} r_2^2 h = \tfrac{\pi}{3} h(4-h) \cdot h = \tfrac{\pi}{3} h^2 (4-h) \) — Grad 3 in \(h\).
(b) Hochpunkt bei \( h = \tfrac{8}{3} \approx 2.67 \) dm.
(c) \( r_2 = \sqrt{h(4-h)} = \tfrac{\sqrt{32}}{3} \approx 1.89 \) dm; \( V_{\max} = \tfrac{256\pi}{81} \approx 9.93\ \text{dm}^3 \).
(a) \( A(a) = a(a^2 - 4.6a + 4.93) = a^3 - 4.6a^2 + 4.93a \). ✓
(b) Hochpunkt bei \( a \approx 0.69 \) m mit \( A_{\max} \approx 1.54\ \text{m}^2 \).
(c) Seiten \( a \approx 0.69 \) m und \( y(0.69) \approx 2.23 \) m.