3.3 Polynomfunktionen
Eine Polynomfunktion (ganzrationale Funktion) ist eine Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten. Hier lernst du, Grad und Leitkoeffizient zu lesen, den Zusammenhang zwischen Linearfaktoren und Nullstellen herzustellen (auch mehrfache Nullstellen), den Verlauf des Graphen qualitativ zu charakterisieren und Hoch- und Tiefpunkte grafisch zu bestimmen.
- den Zusammenhang zwischen Linearfaktoren und Nullstellen einer Polynomfunktion algebraisch und grafisch herstellen (mehrfache Nullstellen) auch ohne Hilfsmittel
- den Verlauf des Graphen einer Polynomfunktion qualitativ charakterisieren auch ohne Hilfsmittel
- ausgezeichnete Stellen (Nullstellen, lokale und globale Extremwerte) grafisch bestimmen und berechnen
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann eine Polynomfunktion \(f(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0\) erkennen, ihren Grad und ihren Leitkoeffizienten angeben.
- Ich kann aus Nullstellen die Linearfaktordarstellung aufstellen — und umgekehrt aus Linearfaktoren die Nullstellen ablesen.
- Ich kann einfache, doppelte und dreifache Nullstellen am Graphen unterscheiden (schneiden, berühren, Terrassen-Schnitt).
- Ich kann den Globalverlauf aus Grad und Leitkoeffizient vorhersagen und die maximale Anzahl Nullstellen und lokaler Extremstellen angeben.
- Ich kann Hochpunkte und Tiefpunkte am Graphen ablesen und lokale von absoluten Extremwerten unterscheiden.
- Ich kann Polynomfunktionen mit dem Schnellcheck der Exponenten auf Symmetrie untersuchen.
Einstieg — die offene Schachtel
Aus einem Karton von 20 cm × 15 cm soll eine offene Schachtel entstehen: In den vier Ecken wird je ein Quadrat der Seitenlänge \(x\) ausgeschnitten, dann werden die Ränder hochgefaltet. Das Volumen ist
\[ V(x) = x \cdot (20 - 2x) \cdot (15 - 2x) \]— ein Produkt dreier linearer Faktoren, also eine Polynomfunktion dritten Grades. Für welches \(x\) fasst die Schachtel am meisten?
- \(V(x)\) ist ein Produkt dreier linearer Faktoren — ausmultipliziert eine Polynomfunktion dritten Grades: \(V(x) = 4x^3 - 70x^2 + 300x\)
- Die Nullstellen \(x = 0\), \(x = 7.5\), \(x = 10\) stehen direkt in den Faktoren — physikalisch sinnvoll ist nur \(0 < x < 7.5\)
- Das Maximum bei \(x \approx 2.83\) ist ein Hochpunkt — grafisch ablesbar, ohne Rechnung
✏️ Mini-Check — Einstieg
Warum ist \(V(x) = x(20-2x)(15-2x)\) eine Polynomfunktion dritten Grades?
- Weil drei Klammern vorkommen
- Weil das Produkt dreier linearer Faktoren ausmultipliziert die Höchstpotenz \(x^3\) ergibt
- Weil das Volumen dreidimensional ist
Lösung anzeigen
Sinnvoll ist nur \(0 < x < \) , denn sonst bliebe von der kürzeren Kartonseite (15 cm) kein Boden übrig.
Lösung anzeigen
Berechne \(V(1)\).
Lösung anzeigen
Das Maximum liegt bei \(x \approx 2.83\). Ist das ein absolutes Maximum der Polynomfunktion \(V(x) = 4x^3 - 70x^2 + 300x\) auf ganz \(\mathbb{R}\)?
Lösungsweg anzeigen
Definition
Eine Funktion \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) mit einer Gleichung der Form
\[ y = f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0, \qquad n \in \mathbb{N} \]heisst Polynomfunktion (auch: ganzrationale Funktion). Für die Koeffizienten \(a_k\) mit \(k = 0,\, 1,\, \dots,\, n\) gilt \(a_k \in \mathbb{R}\) und \(a_n \neq 0\).
\(n\) heisst Grad, \(a_n\) Leitkoeffizient der Polynomfunktion.
- Eine Polynomfunktion ist eine Linearkombination von Potenzfunktionen (↩ 3.2a).
- Grad 1: die lineare Funktion \(f(x) = a_1 x + a_0\).
- Grad 2: die quadratische Funktion \(f(x) = a_2 x^2 + a_1 x + a_0\).
- Potenzfunktionen \(f(x) = a_n x^n\) sind Polynomfunktionen, bei denen alle übrigen Koeffizienten null sind.
Linearfaktoren und Nullstellen
Sind \(x_1,\, x_2,\, \dots,\, x_n\) die Nullstellen einer Polynomfunktion n-ten Grades, so lässt sie sich als Produkt von Linearfaktoren schreiben:
\[ f(x) = a_n \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2) \cdots (x - x_n) \]Jeder Linearfaktor \((x - x_k)\) wird genau an der Stelle \(x_k\) null — die Nullstellen stehen also direkt in den Faktoren. Umgekehrt liefert jede bekannte Nullstelle einen Linearfaktor.
Verschiebe die drei Nullstellen und den Streckfaktor — Produktform, Summenform und Graph reagieren gleichzeitig. Lege zwei Nullstellen aufeinander!
Meist ist die Linearfaktordarstellung nicht gegeben. Kennt man aber eine Nullstelle \(x_1\) (oft durch Raten ganzzahliger Teiler des konstanten Glieds gefunden), so lässt sich der Linearfaktor \((x - x_1)\) durch Polynomdivision abspalten: Der Rest ist \(0\), der Quotient ist ein Polynom kleineren Grades, dessen Nullstellen man weiter bestimmt.
So läuft die Division: höchste Potenzen dividieren, das Ergebnis mit dem Divisor zurückmultiplizieren, subtrahieren, den nächsten Term herunterholen — bis der Rest \(0\) ist.
Raten: \(f(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0\), also ist \(x_1 = 1\) eine Nullstelle. Division durch \((x - 1)\):
\[ (x^3 - 2x^2 - 5x + 6) : (x - 1) = x^2 - x - 6 \]Der Quotient \(x^2 - x - 6\) faktorisiert zu \((x - 3)(x + 2)\). Damit sind alle Nullstellen gefunden:
\[ f(x) = (x - 1)(x - 3)(x + 2), \qquad x_1 = 1,\; x_2 = 3,\; x_3 = -2. \]✏️ Mini-Check — Definition und Linearfaktoren
Welchen Grad hat die Polynomfunktion \(f(x) = \dfrac{-4x^3 + x^2 - x}{10}\)?
- Grad 10
- Grad 3
- keinen — das ist keine Polynomfunktion
Lösung anzeigen
Der Koeffizient der höchsten Potenz, \(a_n\), heisst der Polynomfunktion.
Lösung anzeigen
Gib die Nullstellen von \(f(x) = 2(x-3)(x+4)\) an.
Lösung anzeigen
Eine Polynomfunktion zweiten Grades hat die einzige Nullstelle \(x = 2\). Was folgt daraus für die Linearfaktordarstellung — und für den Graphen?
Lösungsweg anzeigen
Verlauf qualitativ — Grad und Leitkoeffizient
Für grosse \(|x|\) dominiert der Leitterm \(a_n x^n\) — Grad und Vorzeichen des Leitkoeffizienten legen den Globalverlauf fest:
| Grad \(n\) | \(a_n > 0\) | \(a_n < 0\) |
|---|---|---|
| ungerade | von links unten nach rechts oben ↗ | von links oben nach rechts unten ↘ |
| gerade | beide Enden nach oben ∪ | beide Enden nach unten ∩ |
Eine Polynomfunktion n-ten Grades hat höchstens \(n\) Nullstellen und höchstens \(n-1\) lokale Extremstellen. Bei ungeradem Grad gibt es immer mindestens eine Nullstelle (der Graph kommt von einer Seite unten und geht auf der anderen nach oben — oder umgekehrt).
Herauszoomen — der Leitterm gewinnt
✏️ Mini-Check — Globalverlauf
Wie verläuft der Graph von \(f(x) = -2x^5 + 7x^2 - 1\) global?
- von links unten nach rechts oben
- von links oben nach rechts unten
- beide Enden nach unten
Lösung anzeigen
Eine Polynomfunktion n-ten Grades hat höchstens lokale Extremstellen.
Lösung anzeigen
Wie viele Nullstellen kann eine Polynomfunktion sechsten Grades höchstens haben — und wie viele mindestens?
Lösung anzeigen
Begründe, warum jede Polynomfunktion ungeraden Grades mindestens eine Nullstelle hat.
Lösungsweg anzeigen
Mehrfache Nullstellen, Extremalstellen, Symmetrie
| Vielfachheit | Linearfaktor | Verhalten des Graphen an der Nullstelle |
|---|---|---|
| einfach | \((x - x_1)^1\) | schneidet die x-Achse (Vorzeichenwechsel) |
| doppelt | \((x - x_1)^2\) | berührt die x-Achse — Hoch- oder Tiefpunkt auf der Achse, kein Vorzeichenwechsel |
| dreifach | \((x - x_1)^3\) | schneidet terrassenförmig abgeflacht (Vorzeichenwechsel, waagrechte Tangente — ein Sattelpunkt) |
Gesucht ist die Polynomfunktion zweiten Grades mit den Nullstellen \(3\) und \(-4\) und dem \(y\)-Achsenabschnitt \(-24\).
Lösung: Ansatz mit Linearfaktoren und unbekanntem Streckfaktor:
\[ f(x) = a\,(x-3)(x+4) \]Der \(y\)-Achsenabschnitt liefert \(a\): \(f(0) = a \cdot (-3) \cdot 4 = -12a = -24 \Rightarrow a = 2\)
\[ f(x) = 2\,(x-3)(x+4) = 2x^2 + 2x - 24 \]Ein Hochpunkt \(H\) ist ein lokal höchster Punkt des Graphen: Seine \(y\)-Koordinate ist ein lokales (relatives) Maximum. Entsprechend ist ein Tiefpunkt \(T\) ein lokal tiefster Punkt (lokales Minimum). Ein absolutes Maximum/Minimum ist der grösste bzw. kleinste Funktionswert überhaupt — viele Polynomfunktionen haben keines, weil sie für grosse \(|x|\) über alle Grenzen wachsen oder fallen.
Der Graph von \(f(x) = x^3 - x^2 - 2x + 1\):
- Nullstellen (grafisch bestimmt): \(x_1 \approx -1.25\), \(x_2 \approx 0.45\), \(x_3 \approx 1.80\)
- Hochpunkt \(H(-0.55 \mid 1.63)\) — lokales Maximum
- Tiefpunkt \(T(1.22 \mid -1.11)\) — lokales Minimum
- Kein absolutes Maximum oder Minimum: Für \(x \to \pm\infty\) wächst bzw. fällt \(f\) unbeschränkt
Bei einer Polynomfunktion zweiten Grades \(f(x) = ax^2 + bx + c\) lässt sich der einzige Extrempunkt (der Scheitel) exakt berechnen — über die quadratische Ergänzung bzw. die Scheitelform (siehe ↩ GF 3.3). Die Extremstelle liegt bei
\[ x_S = -\frac{b}{2a}, \qquad y_S = f(x_S). \]Bei \(a > 0\) ist es ein Tiefpunkt, bei \(a < 0\) ein Hochpunkt.
\(x_S = -\dfrac{2}{2 \cdot 2} = -0.5\); \(\; y_S = f(-0.5) = 2 \cdot 0.25 - 1 - 24 = -24.5\). Wegen \(a = 2 > 0\) ist \(T(-0.5 \mid -24.5)\) ein Tiefpunkt.
Ausblick. Für Polynomfunktionen höheren Grades lassen sich Hoch- und Tiefpunkte nicht mehr so einfach exakt bestimmen — dafür braucht es die Differentialrechnung (Ableitung null setzen), die in der Analysis behandelt wird. Bis dahin liest man die Extrema höheren Grades grafisch ab (wie in Beispiel 2).
- Kommen nur gerade Exponenten vor (das konstante Glied \(a_0 = a_0 x^0\) zählt als gerade) → gerade Funktion, achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.
- Kommen nur ungerade Exponenten vor (also auch \(a_0 = 0\)!) → ungerade Funktion, punktsymmetrisch zum Ursprung.
- Gemischte Exponenten → weder gerade noch ungerade.
Untersuche \(f(x) = x^3 - 4x\) auf Symmetrie.
Lösung: Nur ungerade Exponenten (3 und 1) — Vermutung: ungerade. Nachweis mit dem Kriterium \(f(-x) = -f(x)\):
\[ f(-x) = (-x)^3 - 4(-x) = -x^3 + 4x = -\bigl(x^3 - 4x\bigr) = -f(x) \quad\checkmark \]Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Der Grad gibt nur die Höchstzahl möglicher Nullstellen an. \(f(x) = x^2 + 1\) hat Grad 2 und keine Nullstelle; \(f(x) = (x-1)^2\) hat Grad 2 und nur eine (doppelte). Erst der Graph oder die Rechnung zeigt, wie viele es wirklich sind.
Die \(y\)-Koordinate eines Hochpunkts ist nur lokal maximal. Eine Polynomfunktion ungeraden Grades nimmt für grosse \(x\) beliebig grosse Werte an — sie hat nie ein absolutes Maximum. Bei Anwendungen entsteht das «echte» Maximum oft erst durch den eingeschränkten Definitionsmenge des Sachkontexts.
Fehlt das konstante Glied, lässt sich \(x\) ausklammern: \(x^3 - 9x = x\,(x^2 - 9) = x\,(x-3)(x+3)\). Nach dem Satz vom Nullprodukt ist das Produkt genau dann null, wenn ein Faktor null ist — die Nullstellen \(0\), \(3\), \(-3\) stehen da, ganz ohne Lösungsformel.
✏️ Mini-Check — Nullstellen, Extrema, Symmetrie
Der Graph von \(f(x) = (x+1)^2 (x-2)\) verhält sich bei \(x = -1\) wie folgt:
- Er schneidet die x-Achse
- Er berührt die x-Achse
- Er hat dort eine Definitionslücke
Lösung anzeigen
Der lokal höchste Punkt eines Graphen heisst ; seine \(y\)-Koordinate ist ein lokales Maximum.
Lösung anzeigen
Ist \(f(x) = x^6 - 3x^4 + x^2\) gerade, ungerade oder keines von beidem?
Lösung anzeigen
Eine gerade Polynomfunktion hat eine Nullstelle bei \(x = 2\). Welche weitere Nullstelle besitzt sie mit Sicherheit — und warum?
Lösungsweg anzeigen
Aufgaben
A4–A7 sind Anwendungen: Extremstellen und Schnittpunkte bestimmst du hier grafisch — mit einer feinen Wertetabelle oder einem Funktionsplotter (z. B. GeoGebra oder Desmos). Die exakte Berechnung der Extremstellen folgt später mit der Differentialrechnung.
Entscheide für jeden Funktionsterm: Polynomfunktion oder nicht?
- \(f(x) = -0.5x + 10\): ja — Grad 1, \(a_1 = -0.5\), \(a_0 = 10\)
- \(f(x) = x^8\): ja — Grad 8 (Potenzfunktion als Spezialfall)
- \(f(x) = 2x^4 - \tfrac{1}{x^2}\): nein — \(\tfrac{1}{x^2} = x^{-2}\) hat einen negativen Exponenten
- \(f(x) = 10^x - x^3\): nein — bei \(10^x\) steht \(x\) im Exponenten (Exponentialterm)
- \(f(x) = \dfrac{-4x^3 + x^2 - x}{10}\): ja — Grad 3 mit \(a_3 = -0.4\), \(a_2 = 0.1\), \(a_1 = -0.1\)
- \(f(x) = 5\): ja — konstante Funktion, Grad 0
Wähle einen Graphen und entscheide, welche Gleichung passt. Achte darauf, wo der Graph die x-Achse schneidet, berührt oder terrassenförmig kreuzt.
Welche Gleichung gehört zum angezeigten Graphen?
Bestimme die drei Nullstellen von \(f(x) = x^3 - 9x\) (kleinste zuerst).
Grad 2, Nullstellen \(3\) und \(-4\), \(y\)-Achsenabschnitt \(-24\). Bestimme den Streckfaktor \(a\) im Ansatz \(f(x) = a(x-3)(x+4)\).
\(f(0) = a(-3)(4) = -12a = -24 \Rightarrow a = 2\), also \(f(x) = 2(x-3)(x+4) = 2x^2 + 2x - 24\).
Grad 2, einzige Nullstelle \(2\), \(y\)-Achsenabschnitt \(8\). Bestimme \(a\) im Ansatz \(f(x) = a(x-2)^2\).
Eine einzige Nullstelle bei Grad 2 heisst: doppelte Nullstelle, \(f(x) = a(x-2)^2\). Aus \(f(0) = 4a = 8\) folgt \(a = 2\), also \(f(x) = 2(x-2)^2\). Der Graph berührt die x-Achse bei \(x = 2\).
Grad 3, Nullstellen \(-2\), \(1\) und \(4\), \(y\)-Achsenabschnitt \(40\). Bestimme \(a\).
\(f(x) = a(x+2)(x-1)(x-4)\); \(f(0) = a \cdot 2 \cdot (-1) \cdot (-4) = 8a = 40 \Rightarrow a = 5\).
\[ f(x) = 5\,(x+2)(x-1)(x-4) \]Gerade, ungerade oder keines von beidem?
- \(y = x^5 - 3x^3 + x\)
- \(y = x^6 - 3x^4 + x^2\)
- \(y = x^5 - 3x^3 + x + 1\)
- Nur ungerade Exponenten (5, 3, 1) → ungerade, punktsymmetrisch zum Ursprung.
- Nur gerade Exponenten (6, 4, 2) → gerade, achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.
- Gemischt — das konstante Glied \(+1\) ist ein gerader Anteil (\(x^0\)) neben ungeraden → weder noch.
Von \(f(x) = x^3 - 7x + 6\) ist \(x_1 = 1\) eine Nullstelle. Spalte \((x - 1)\) ab und bestimme die beiden übrigen Nullstellen (kleinere zuerst).
Polynomdivision: \((x^3 - 7x + 6) : (x - 1) = x^2 + x - 6\). Faktorisieren: \(x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)\).
\[ f(x) = (x - 1)(x + 3)(x - 2), \qquad x_2 = -3,\; x_3 = 2. \]Eine Gruppe wilder Truthähne wird auf einer Insel ohne natürliche Feinde ausgesetzt. Die Populationsgrösse lässt sich näherungsweise beschreiben durch
\[ h(t) = -0.00001\,t^3 + 0.002\,t^2 + 1.5\,t + 100 \qquad (t \text{ in Tagen seit Aussetzung}) \]- Wie gross ist die Anfangspopulation?
- Bestimme grafisch, wann die Population ihr Maximum erreicht und wie gross sie dann ist.
- Wie entwickelt sich die Population danach — und was könnte die Erklärung sein?
- \(h(0) = 100\) Tiere.
- Der Hochpunkt liegt bei \(t = 300\) Tagen mit \(h(300) = -270 + 180 + 450 + 100 = 460\) Tieren.
- Danach fällt die Kurve und erreicht bei \(t \approx 523\) Tagen die Nullstelle — das Modell sagt einen Zusammenbruch der Population voraus. Plausible Erklärung: Ohne Feinde wächst die Population zunächst schnell, überweidet aber die begrenzten Futterressourcen der Insel. (Und: Ausserhalb des Bereichs \(0 \leq t \lesssim 523\) ist das Polynom-Modell nicht mehr sinnvoll — negative Tierzahlen gibt es nicht.)
Die Temperatur (in °C) über 24 Stunden lässt sich annähern durch
\[ T(t) = 0.01\,t\,(t-24)(t-18) + 10 \qquad (t = 0 \text{ um 8 Uhr morgens}) \]- Gib die Definitionsmenge an und bestimme \(T(0)\), \(T(18)\) und \(T(24)\).
- Bestimme grafisch die höchste und die tiefste Temperatur mit Uhrzeit.
- Wann beträgt die Temperatur \(20\) °C?
- \(D = [0;\, 24]\) (eine Tagesperiode). An den Nullstellen des Produktterms gilt \(T = 10\) °C: \(T(0) = T(18) = T(24) = 10\).
- Hochpunkt bei \(t \approx 6.8\) h (\(\approx\) 14:50 Uhr): \(T_{\max} \approx 23.1\) °C. Tiefpunkt bei \(t \approx 21.2\) h (\(\approx\) 5:10 Uhr morgens): \(T_{\min} \approx 8.1\) °C. Damit ist \(W \approx [8.1;\, 23.1]\).
- \(T(t) = 20\) führt auf \(0.01\,t(t-24)(t-18) = 10\) mit den Lösungen \(t \approx 3.3\) und \(t \approx 11.0\) im Definitionsmenge — also gegen 11:15 Uhr und 19:00 Uhr. (Die dritte Lösung \(t \approx 27.7\) liegt ausserhalb von \(D\).)
Ein Tank besteht aus einem Zylinder und zwei angesetzten Halbkugeln, alle mit Radius \(x\). Die Gesamtlänge beträgt \(4.2\) m — der Zylinder ist also \(4.2 - 2x\) lang. Das Volumen:
\[ V(x) = \pi x^2 (4.2 - 2x) + \tfrac{4}{3}\pi x^3 = 4.2\,\pi x^2 - \tfrac{2}{3}\pi x^3 \]- Zwischen welchen Werten muss der Radius \(x\) liegen?
- Wie muss \(x\) gewählt werden, damit der Tank genau \(25\ \text{m}^3\) fasst? (grafisch, dann Probe)
- Mit welchem Radius wird das Volumen am grössten — und welche Form hat der Tank dann?
- \(0 < x \leq 2.1\) — die beiden Halbkugeln (zusammen Länge \(2x\)) dürfen die Gesamtlänge \(4.2\) m nicht überschreiten.
- Grafisch liest man \(x \approx 1.6\) m ab; die genauere Rechnung liefert \(x \approx 1.59\) m (Probe: \(V(1.592) \approx 25.0\ \text{m}^3\) ✓).
- \(V(x)\) wächst auf dem ganzen zulässigen Bereich — das Maximum liegt am Rand: \(x = 2.1\) m mit \(V(2.1) \approx 38.8\ \text{m}^3\). Der Zylinder hat dann die Länge null, der Tank ist eine reine Kugel. (Die Kugel fasst bei gegebener Länge am meisten — praktisch fährt trotzdem kein Lastwagen mit Kugeltank: Bauhöhe!)
Aus der Fläche zwischen der \(x\)-Achse und der Parabel \(y = 4 - x^2\) wird ein achsenparalleles Rechteck ausgeschnitten, symmetrisch zur \(y\)-Achse mit Eckpunkt \(P(x \mid 4 - x^2)\).
- Zeige: Die Rechtecksfläche ist \(A(x) = 2x\,(4 - x^2) = 8x - 2x^3\). Welchen Grad hat \(A\)?
- Bestimme grafisch, für welches \(x\) die Fläche maximal wird.
- Gib die zugehörige waagrechte Seite und die maximale Fläche an.
- Waagrechte Seite \(2x\) (Symmetrie), Höhe \(4 - x^2\): \(A(x) = 2x(4-x^2) = 8x - 2x^3\) — Polynomfunktion dritten Grades mit \(D = ]0;\, 2[\).
- Der Hochpunkt liegt bei \(x = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155\).
- Waagrechte Seite \(2x \approx 2.31\), Höhe \(4 - \tfrac{4}{3} = \tfrac{8}{3} \approx 2.67\), maximale Fläche \(A \approx 6.16\) Flächeneinheiten.
Zusammenfassung
Grad und Leitkoeffizient legen den Globalverlauf fest, die Linearfaktoren die Nullstellen: \(f(x) = a_n(x-x_1)\cdots(x-x_n)\). Einfache Nullstellen schneiden, doppelte berühren, dreifache kreuzen terrassenförmig. Hoch- und Tiefpunkte sind lokale Extremwerte — absolut maximal wird eine Polynomfunktion oft erst durch den eingeschränkten Definitionsmenge einer Anwendung.
| Stichwort | Regel |
|---|---|
| Polynomfunktion | \(f(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0\), \(a_n \neq 0\) |
| Nullstellen | höchstens \(n\); ungerader Grad: mindestens 1 |
| Lokale Extremstellen | höchstens \(n-1\) (Hochpunkte und Tiefpunkte) |
| Linearfaktoren | \(f(x) = a_n(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)\) |
| Vielfachheit | einfach: schneidet · doppelt: berührt · dreifach: Terrassen-Schnitt |
| Globalverlauf | Grad gerade: Enden gleich · ungerade: entgegengesetzt · Vorzeichen von \(a_n\) entscheidet oben/unten |
| Symmetrie | nur gerade Exponenten: gerade · nur ungerade: ungerade |
Zusatzmaterial
Materialien zum Mitnehmen, Üben und Wiederholen. Druckseiten öffnen in neuem Tab.