Eine Funktion \( f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \) mit einer Gleichung der Form
\[ y = f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0, \qquad n \in \mathbb{N} \]heisst Polynomfunktion (ganzrationale Funktion), mit \( a_k \in \mathbb{R} \) und \( a_n \neq 0 \). \(n\) heisst Grad, \(a_n\) Leitkoeffizient.
Spezialfälle: Grad 1 = lineare Funktion, Grad 2 = quadratische Funktion, Potenzfunktionen \( a_n x^n \) = Polynomfunktionen mit nur einem Term. Eine Polynomfunktion ist eine Linearkombination von Potenzfunktionen.
Sind \( x_1, \dots, x_n \) die Nullstellen, so gilt
\[ f(x) = a_n \cdot (x - x_1)(x - x_2) \cdots (x - x_n) \]Jeder Linearfaktor liefert genau eine Nullstelle (Satz vom Nullprodukt) — und umgekehrt.
| Vielfachheit | Faktor | Graph an der Nullstelle |
|---|---|---|
| einfach | \( (x-x_1)^1 \) | schneidet die x-Achse (Vorzeichenwechsel) |
| doppelt | \( (x-x_1)^2 \) | berührt die x-Achse (Hoch-/Tiefpunkt auf der Achse) |
| dreifach | \( (x-x_1)^3 \) | schneidet terrassenförmig abgeflacht |
Für grosse \( |x| \) dominiert der Leitterm \( a_n x^n \):
| Grad \(n\) | \( a_n > 0 \) | \( a_n < 0 \) |
|---|---|---|
| ungerade | links unten → rechts oben ↗ | links oben → rechts unten ↘ |
| gerade | beide Enden oben ∪ | beide Enden unten ∩ |
Eine Polynomfunktion n-ten Grades hat höchstens \(n\) Nullstellen und höchstens \(n-1\) lokale Extremstellen; bei ungeradem Grad mindestens eine Nullstelle.
Ein Hochpunkt \(H\) ist ein lokal höchster Punkt des Graphen (\(y\)-Koordinate: lokales/relatives Maximum), ein Tiefpunkt \(T\) ein lokal tiefster Punkt (lokales Minimum). Ein absolutes Maximum/Minimum ist der grösste bzw. kleinste Funktionswert überhaupt — Polynomfunktionen ungeraden Grades besitzen keines, da sie unbeschränkt wachsen und fallen.
| nur gerade Exponenten (inkl. \(a_0\)) | gerade Funktion — achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse |
| nur ungerade Exponenten (also \(a_0 = 0\)) | ungerade Funktion — punktsymmetrisch zum Ursprung |
| gemischte Exponenten | weder gerade noch ungerade |
Grad und Leitkoeffizient bestimmen den Globalverlauf, die Linearfaktoren die Nullstellen samt Vielfachheit (schneiden — berühren — Terrassen-Schnitt). Hoch- und Tiefpunkte sind lokale Extremwerte.