12 Aufgaben mit ansteigendem Schwierigkeitsgrad. Bearbeite alle Aufgaben in einem Zug, ohne in die Lösungen zu schauen — diese stehen am Ende. Hilfsmittel: nur Formelsammlung Promath. Zeitvorgabe: ca. 45 Minuten.
Vervollständige die Aussage und schreibe in die Lücken:
Polynomfunktion oder nicht? Begründe kurz:
(a) \( f(x) = 3x^5 - x \) (b) \( g(x) = \sqrt{x} + 1 \) (c) \( h(x) = \dfrac{x^2}{4} \) (d) \( k(x) = 2^x \)
Gib Grad und Leitkoeffizient von \( f(x) = \dfrac{-4x^3 + x^2 - x}{10} \) an.
Gib die Nullstellen von \( f(x) = 3\,(x-1)(x+5) \) an.
Bestimme alle Nullstellen von \( f(x) = x^3 - 16x \) durch Ausklammern.
Eine Polynomfunktion zweiten Grades hat die Nullstellen \(-1\) und \(3\) und den \(y\)-Achsenabschnitt \(6\). Bestimme die Funktionsgleichung.
Wie verhält sich der Graph von \( f(x) = (x-2)^2 (x+3) \) an den Stellen \( x = 2 \) und \( x = -3 \)?
Beschreibe den Globalverlauf von \( f(x) = -3x^4 + x \) (beide Enden des Graphen).
Wie viele Nullstellen und wie viele lokale Extremstellen kann eine Polynomfunktion fünften Grades höchstens haben?
Gerade, ungerade oder keines von beidem?
(a) \( y = x^4 - 2x^2 \) (b) \( y = x^3 + x \) (c) \( y = x^3 + 1 \)
Der Graph von \( f(x) = x^3 - x^2 - 2x + 1 \) hat den Hochpunkt \( H(-0.55 \mid 1.63) \). Warum ist \( 1.63 \) nur ein lokales, kein absolutes Maximum?
Begründe, warum \( f(x) = x^3 + 2x \) weder ein absolutes Maximum noch ein absolutes Minimum besitzt.
\( f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 \); der Koeffizient \(a_n\) heisst Leitkoeffizient und darf nicht null sein.
(a) ja, Grad 5 · (b) nein — \( \sqrt{x} = x^{1/2} \) hat keinen natürlichen Exponenten · (c) ja, Grad 2 mit \( a_2 = \tfrac{1}{4} \) · (d) nein — \(x\) steht im Exponenten.
\( f(x) = -0.4x^3 + 0.1x^2 - 0.1x \): Grad \(3\), Leitkoeffizient \(-0.4\).
\( x_1 = 1 \) und \( x_2 = -5 \) — direkt aus den Linearfaktoren.
\( x^3 - 16x = x(x^2 - 16) = x(x-4)(x+4) \Rightarrow x_1 = -4,\; x_2 = 0,\; x_3 = 4 \).
Ansatz \( f(x) = a(x+1)(x-3) \); \( f(0) = a \cdot 1 \cdot (-3) = -3a = 6 \Rightarrow a = -2 \).
\[ f(x) = -2\,(x+1)(x-3) = -2x^2 + 4x + 6 \]Bei \( x = 2 \) (doppelte Nullstelle): Der Graph berührt die x-Achse. Bei \( x = -3 \) (einfache Nullstelle): Er schneidet sie.
Grad 4 (gerade), \( a_4 = -3 < 0 \): beide Enden nach unten (∩-Form).
Höchstens \(5\) Nullstellen und höchstens \(4\) lokale Extremstellen.
(a) gerade (nur Exponenten 4, 2) · (b) ungerade (nur 3, 1) · (c) weder noch — das konstante Glied \(+1\) ist ein gerader Anteil neben ungeraden.
Für grosse \(x\) wächst \( x^3 \) unbeschränkt — z.B. \( f(10) = 881 \gg 1.63 \). Der Wert \(1.63\) ist nur in einer Umgebung des Hochpunkts der grösste Funktionswert.
Grad 3 (ungerade): Für \( x \to +\infty \) wächst \(f\) über alle Grenzen, für \( x \to -\infty \) fällt sie unter alle Grenzen — es gibt weder einen grössten noch einen kleinsten Funktionswert. (Diese Funktion hat nicht einmal lokale Extremstellen: Sie steigt überall.)