Sechs Anwendungsaufgaben aus Technik und Naturwissenschaft, nach zunehmendem Schwierigkeitsgrad geordnet. Die Musterlösungen folgen am Ende des Dokuments. Alle Graphen mit beschrifteten Achsen (Grösse und Einheit) skizzieren.
| Nr. | Bereich | Titel | Schwierigkeit |
|---|---|---|---|
| 1 | Biologie | Zellkultur | ●●○ |
| 2 | Finanzmathematik | Degressive Abschreibung | ●●○ |
| 3 | Physik | Luftdruck und Höhe | ●●● |
| 4 | Elektrotechnik | Kondensator-Entladung | ●●● |
| 5 | Finanzmathematik | Zinseszins und Verdopplung | ●●● |
| 6 | Life Sciences | Medikamentenabbau | ●●● |
Eine Zellkultur startet mit \( N_0 = 500 \) Zellen; die Zellzahl verdoppelt sich alle \(2\) Stunden.
(a) Gib die Funktionsgleichung \( N(t) \) an (\(t\) in Stunden).
(b) Berechne die Zellzahl nach \(6\) Stunden.
(c) Nach wie vielen Stunden sind \( 64\,000 \) Zellen erreicht? (Ohne Logarithmus lösbar!)
Eine Maschine kostet neu \( 24\,000 \) CHF und verliert pro Jahr \(20\) % ihres Buchwerts.
(a) Gib die Funktionsgleichung \( W(n) \) für den Buchwert nach \(n\) Jahren an.
(b) Berechne den Buchwert nach \(3\) Jahren.
(c) Ab welchem Jahr liegt der Buchwert erstmals unter einem Drittel des Neuwerts?
Näherungsweise nimmt der Luftdruck pro Kilometer Höhe um \(12\) % ab; auf Meereshöhe beträgt er \( 1013 \) hPa: \( p(h) = 1013 \cdot 0.88^h \) (\(h\) in km).
(a) Berechne den Luftdruck auf \( 3000 \) m Höhe.
(b) In welcher Höhe hat sich der Druck halbiert?
(c) Warum ist ein exponentielles Modell hier plausibler als ein lineares?
Ein Kondensator entlädt sich über einen Widerstand nach \( U(t) = 12 \cdot e^{-t/2} \) (\(U\) in Volt, \(t\) in Sekunden).
(a) Gib Startspannung und Asymptote an.
(b) Berechne die Spannung nach \(1\) Sekunde.
(c) Nach welcher Zeit ist die Spannung auf \(1\) V gesunken?
Ein Kapital von \( 2000 \) CHF wird zu \(3\) % Jahreszins mit Zinseszins angelegt.
(a) Gib die Funktionsgleichung \( K(n) \) an.
(b) Berechne das Kapital nach \(10\) Jahren.
(c) Nach wie vielen Jahren hat sich das Kapital verdoppelt? Zeige, dass die Antwort nicht vom Startkapital abhängt.
Nach der Einnahme baut der Körper ein Medikament exponentiell ab: pro Stunde um \(15\) %. Die Anfangsdosis beträgt \( 100 \) mg.
(a) Gib die Funktionsgleichung \( C(t) \) an (\(t\) in Stunden, \(C\) in mg).
(b) Welche Menge ist nach \(6\) Stunden noch im Körper?
(c) Bestimme die Halbwertszeit des Medikaments.
(a) Verdopplung alle \(2\) h: \( N(t) = 500 \cdot 2^{t/2} \).
(b) \( N(6) = 500 \cdot 2^3 = 4000 \) Zellen.
(c) \( 2^{t/2} = \dfrac{64\,000}{500} = 128 = 2^7 \Rightarrow \dfrac{t}{2} = 7 \Rightarrow t = 14 \) h.
(a) Pro Jahr bleiben \(80\) %: \( W(n) = 24\,000 \cdot 0.8^n \).
(b) \( W(3) = 24\,000 \cdot 0.512 = 12\,288 \) CHF.
(c) Ansatz \( 0.8^n < \tfrac{1}{3} \): \( n = \log_{0.8} \tfrac{1}{3} \approx 4.92 \) — ab dem \(5\). Jahr (\( W(5) \approx 7864 \) CHF \( < 8000 \) CHF).
(a) \( p(3) = 1013 \cdot 0.88^3 \approx 690 \) hPa.
(b) \( 0.88^h = 0.5 \Rightarrow h = \log_{0.88} 0.5 = \dfrac{\ln 0.5}{\ln 0.88} \approx 5.4 \) km.
(c) Die Abnahme ist proportional zum aktuellen Druck (gleiche Höhendifferenz → gleicher Faktor). Ein lineares Modell würde ab ca. \(8.4\) km negativen Druck liefern — physikalisch unmöglich; die Exponentialkurve bleibt positiv.
(a) Startspannung \( U(0) = 12 \) V; Asymptote \( U = 0 \) (vollständige Entladung).
(b) \( U(1) = 12 \cdot e^{-0.5} \approx 7.28 \) V.
(c) \( 12 \cdot e^{-t/2} = 1 \Rightarrow e^{-t/2} = \tfrac{1}{12} \Rightarrow t = 2 \ln 12 \approx 4.97 \) s.
(a) \( K(n) = 2000 \cdot 1.03^n \).
(b) \( K(10) = 2000 \cdot 1.03^{10} \approx 2687.83 \) CHF.
(c) \( K_0 \cdot 1.03^n = 2 K_0 \Rightarrow 1.03^n = 2 \Rightarrow n = \log_{1.03} 2 \approx 23.4 \) Jahre — \(K_0\) kürzt sich weg, die Verdopplungszeit hängt nur vom Zinssatz ab.
(a) Pro Stunde bleiben \(85\) %: \( C(t) = 100 \cdot 0.85^t \).
(b) \( C(6) = 100 \cdot 0.85^6 \approx 37.7 \) mg.
(c) \( 0.85^t = 0.5 \Rightarrow t = \dfrac{\ln 0.5}{\ln 0.85} \approx 4.3 \) h.