3.4a Exponentialfunktionen
Exponentialfunktionen \(f(x) = a^x\) beschreiben Vorgänge mit konstantem Wachstumsfaktor: Bakterienkulturen, Zinseszins, radioaktiven Zerfall. Nicht der Zuwachs ist konstant wie bei linearen Funktionen, sondern der Faktor pro Schritt — darum wachsen diese Funktionen schneller als jede Potenzfunktion. Hier untersuchst du ihren Verlauf, die Wirkung der Basis \(a\), Streckungen und Verschiebungen sowie die natürliche Exponentialfunktion \(e^x\).
- Exponentialfunktionen \(f : x \longmapsto a^x\) mit \(a \in \mathbb{R}^+,\ a \neq 1\) grafisch darstellen auch ohne Hilfsmittel
- Wachstums-, Zerfalls- und Sättigungsprozesse mit Hilfe von Exponentialfunktionen interpretieren, modellieren, visualisieren und berechnen auch ohne Hilfsmittel
- die natürliche Exponentialfunktion (e-Funktion) visualisieren, Basiswechsel zu beliebiger Basis durchführen auch ohne Hilfsmittel
- die Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion berechnen und visualisieren auch ohne Hilfsmittel
Diese Seite behandelt die ersten drei Kompetenzen: die Exponentialfunktionen. Die Logarithmusfunktion als ihre Umkehrfunktion wird in Teil 2 (s3-4b) behandelt.
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann eine Exponentialfunktion \(f(x) = a^x\) erkennen und von Potenzfunktionen unterscheiden: Bei ihr steht die Variable im Exponenten.
- Ich kann die Graphen für \(a > 1\) (Wachstum) und \(0 < a < 1\) (Zerfall) ohne Hilfsmittel skizzieren.
- Ich kann Definitions- und Wertemenge, den gemeinsamen Punkt \((0 \mid 1)\) und die Asymptote aller Exponentialkurven angeben.
- Ich kann die Wirkung der Parameter in \(k \cdot a^{x-u} + v\) beschreiben und weiss, dass sich Streckung in \(y\)-Richtung und Verschiebung in \(x\)-Richtung gegenseitig ersetzen können.
- Ich kann aus vorgegebenen Punkten die Basis \(a\) und den Faktor \(k\) einer Exponentialfunktion bestimmen.
- Ich kann jede Exponentialfunktion mit der Basis \(e\) schreiben (Basiswechsel zur e-Funktion) und Wachstums- und Zerfallsprozesse damit modellieren.
Einstieg — eine Bakterienkultur wächst
Eine Kultur aus 1000 Bakterien wird in eine Petrischale mit Nährlösung gegeben. Unter diesen Bedingungen verdoppelt sich die Bakterienzahl jede Stunde. Nach \(t\) Stunden sind es also \(1000 \cdot 2^t\) Bakterien — in Tausend gezählt:
\[ N(t) = 2^t \quad [\text{Tausend}] \]Die Variable \(t\) steht im Exponenten — das ist das Kennzeichen jeder Exponentialfunktion. Wann überschreitet die Kultur die Million?
Der Zusammenhang \(t \mapsto N\) ist weder linear noch eine Potenzfunktion — pro Zeitschritt wird mit einem konstanten Faktor multipliziert:
- Jede Stunde: Faktor \(2\). Drei Stunden: Faktor \(2^3 = 8\). Der Zuwachs ist prozentual konstant (+100 % pro Stunde), nicht absolut konstant.
- Der Graph startet scheinbar flach und wird immer steiler — links schmiegt er sich an die \(t\)-Achse an.
✏️ Mini-Check — Einstieg
Die Zeit wird um \(3\) Stunden erhöht. Um welchen Faktor wächst die Bakterienzahl \(N(t) = 1000 \cdot 2^t\)?
- Faktor 3
- Faktor 6
- Faktor 8
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Bei einer Exponentialfunktion steht die Variable im — bei einer Potenzfunktion dagegen in der Basis.
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Berechne die Bakterienzahl nach \(4\) Stunden.
Lösung anzeigen
Stelle die Gleichung für den Zeitpunkt auf, an dem die Kultur \(1\) Million Bakterien erreicht. Woran scheitert das Auflösen mit den bisherigen Mitteln?
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Definition
Eine Funktion \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^+\) mit einer Gleichung der Form
\[ y = f(x) = a^x, \qquad a \in \mathbb{R}^+,\quad a \neq 1 \]heisst Exponentialfunktion mit der Basis \(a\). Die unabhängige Variable \(x\) steht im Exponenten.
- \(a = 1\): Es ergäbe sich die konstante Funktion \(y = 1^x = 1\) — kein Wachstum, kein Zerfall.
- \(a \leq 0\): Potenzen wie \((-2)^{1/2}\) sind nicht für alle reellen Exponenten definiert — darum werden nur positive Basen zugelassen.
Für den Umgang mit Exponentialfunktionen sind die Potenzgesetze zentral — sie werden auf der Seite ↩ 1.2 Potenzen behandelt.
Wird die Kurve \(k:\ y = a^x\) an der \(y\)-Achse gespiegelt (Ersetzung \(x \to -x\)), entsteht die Kurve
\[ k':\ y = a^{-x} = \frac{1}{a^x} = \left(\frac{1}{a}\right)^{x} \]Aus einer steigenden Kurve (Wachstum) wird eine fallende Kurve (Zerfall) — und umgekehrt. Die Basen \(a\) und \(\tfrac{1}{a}\) gehören zu spiegelbildlichen Graphen.
Die drei Darstellungen
Verändere die Basis \(a\) und den Eingabewert \(x\) — Gleichung, Wertetabelle und Graph aktualisieren sich gleichzeitig.
✏️ Mini-Check — Definition und Darstellungen
Welche der folgenden Funktionen ist eine Exponentialfunktion im Sinn der Definition?
- \(f(x) = x^3\)
- \(f(x) = 3^x\)
- \(f(x) = 3 \cdot x\)
Lösung anzeigen
Alle Graphen von Exponentialfunktionen \(y = a^x\) gehen durch den Punkt , denn \(a^0 = 1\) für jede zulässige Basis.
Lösung anzeigen
Der Graph von \(f(x) = \left(\tfrac{2}{5}\right)^x\) wird an der \(y\)-Achse gespiegelt. Wie lautet die Gleichung der Bildfunktion \(g\)?
Lösung anzeigen
Begründe, warum die Wertemenge von \(y = a^x\) nur aus positiven Zahlen besteht — und warum die \(0\) nicht dazugehört.
Lösungsweg anzeigen
Eigenschaften — die Basis bestimmt den Verlauf
| Eigenschaften | \(y = f(x) = a^x\), \(a > 0\) und \(a \neq 1\) | |
|---|---|---|
| Definitionsmenge | \(D = \mathbb{R}\) | |
| Wertemenge | \(W = \mathbb{R}^+\) | |
| Gemeinsamer Punkt | \((0 \mid 1)\) | |
| Ordinatenabschnitt | \(y_0 = 1\) | |
| Nullstellen | — | |
| Symmetrien | — | |
| Verlauf | \(a > 1\): Kurve steigt von links nach rechts | \(a < 1\): Kurve fällt von links nach rechts |
| Asymptote | \(x\)-Achse (\(y = 0\)) | |
✏️ Mini-Check — Eigenschaften
Welche Aussage trifft auf alle Exponentialfunktionen \(y = a^x\) zu?
- Sie haben genau eine Nullstelle.
- Die \(x\)-Achse ist horizontale Asymptote.
- Die Wertemenge ist \(\mathbb{R}\).
Lösung anzeigen
Für Basen \(0 < a < 1\) die Exponentialkurve von links nach rechts — sie beschreibt einen Zerfallsprozess.
Lösung anzeigen
Bestimme die Basis \(a\) so, dass der Graph von \(y = a^x\) durch den Punkt \(Q = (1 \mid 0.25)\) geht.
Lösung anzeigen
Der Graph von \(y = a^x\) geht durch \(P = \left(\tfrac{3}{2} \mid 8\right)\). Bestimme die Basis \(a\).
Lösungsweg anzeigen
Schieben, Strecken und die e-Funktion
| Parameter | Wirkung auf den Graphen von \(y = a^x\) |
|---|---|
| \(u\) | Verschiebung um \(u\) in \(x\)-Richtung (nach rechts für \(u > 0\)) |
| \(v\) | Verschiebung um \(v\) in \(y\)-Richtung (nach oben für \(v > 0\)) |
| \(|k|\) | Streckung (\(|k| > 1\)) bzw. Stauchung (\(|k| < 1\)) in \(y\)-Richtung |
| \(k < 0\) | zusätzlich Spiegelung an der \(x\)-Achse |
Die horizontale Asymptote wandert bei der Verschiebung mit: Sie liegt bei \(y = v\). Der Ordinatenabschnitt ist \(y_0 = k \cdot a^{-u} + v\).
Eine Streckung des Graphen von \(f(x) = a^x\) mit Faktor \(\tfrac{1}{b}\) in \(x\)-Richtung lässt sich als neue Exponentialfunktion schreiben:
\[ h(x) = f(b \cdot x) = a^{b \cdot x} = \left(a^{b}\right)^{x} = c^x \quad \text{mit } c = a^b \]Beispiel: \(4^{x} = 2^{2x}\) — die Kurve von \(2^x\), in \(x\)-Richtung auf die Hälfte gestaucht, ist die Kurve von \(4^x\).
Wird der Graph von \(f(x) = a^x\) um \(u\) Einheiten horizontal verschoben, liefern die Potenzgesetze:
\[ l(x) = f(x-u) = a^{x-u} = a^{-u} \cdot a^x = k \cdot a^x \quad \text{mit } k = \frac{1}{a^u} \]Horizontale Verschiebung und vertikale Streckung sind bei Exponentialfunktionen dieselbe Abbildung! Die Graphen von \(k \cdot a^x\) und \(a^{x-u}\) sind identisch, wenn gilt:
\[ k \cdot a^u = 1 \qquad\Longleftrightarrow\qquad u = -\log_a k \]Die Exponentialfunktion mit der irrationalen Basis \(e \approx 2.71828\) (Eulersche Zahl):
\[ y = f(x) = e^x \]Jede Exponentialfunktion lässt sich mit der Basis \(e\) schreiben (Basiswechsel): Setzt man \(a = e^b\), so gilt
\[ y = a^x = \left(e^{b}\right)^{x} = e^{b \cdot x} \qquad \text{mit } b = \ln a \]Darum beschränkt man sich in Anwendungen häufig auf die e-Funktion.
Der Graph \(G_g\) geht durch Streckung mit \(k = \tfrac{1}{8}\) in \(y\)-Richtung aus dem Graphen von \(f(x) = 2^x\) hervor. (a) Wie lautet \(g(x)\)? (b) Welche Verschiebung führt \(G_f\) ebenfalls in \(G_g\) über?
Lösung:
(a) \(g(x) = \tfrac{1}{8} \cdot 2^x\)
(b) Mit \(k \cdot a^u = 1\): \(u = -\log_2 \tfrac{1}{8} = -\log_2 2^{-3} = 3\). Den Graphen um \(\tfrac{1}{8}\) stauchen hat dieselbe Wirkung, wie ihn um \(3\) Einheiten nach rechts zu schieben:
\[ g(x) = \tfrac{1}{8} \cdot 2^x = 2^{-3} \cdot 2^x = 2^{x-3} \]Bestimme \(a\) und \(k\) der Funktion \(f(x) = k \cdot a^x\) so, dass der Graph durch \(P = (2 \mid 24)\) und \(Q = \left(\tfrac{5}{2} \,\middle|\, 48\right)\) geht.
Lösung: Einsetzen liefert das Gleichungssystem \(24 = k \cdot a^2\) und \(48 = k \cdot a^{5/2}\). Division der zweiten durch die erste Gleichung eliminiert \(k\):
\[ \frac{k \cdot a^{5/2}}{k \cdot a^{2}} = \frac{48}{24} \;\Longrightarrow\; a^{1/2} = 2 \;\Longrightarrow\; a = 4 \] \[ k = \frac{24}{a^2} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2} \qquad\Longrightarrow\qquad y = \tfrac{3}{2} \cdot 4^x \]Gegeben ist \(f:\ y = 3^x - 6\). Berechne den Ordinatenabschnitt und die Nullstelle.
Lösung: Ordinatenabschnitt (\(x = 0\)): \(y_0 = 3^0 - 6 = 1 - 6 = -5\).
Nullstelle (\(y = 0\)): \(3^x = 6\). Die Unbekannte steht im Exponenten — Logarithmieren liefert
\[ x_0 = \log_3 6 \approx 1.631 \](Das Werkzeug dafür ist der Logarithmus — die Rechenregeln kennst du aus 1.3, die Logarithmusfunktion als Umkehrung folgt in Teil 2.)
Schreibe \(f(x) = 2^x\) als natürliche Exponentialfunktion.
Lösung: Ansatz \(2 = e^b\). Logarithmieren: \(b = \ln 2 \approx 0.693\). Also:
\[ f(x) = e^{\ln 2 \cdot x} \approx e^{0.693 \cdot x} \]\(x^2\) ist eine Potenzfunktion (Variable in der Basis), \(2^x\) eine Exponentialfunktion (Variable im Exponenten). Für kleine \(x\) liegen die Werte nah beieinander (\(3^2 = 9\) vs. \(2^3 = 8\)) — aber für grosse \(x\) gewinnt die Exponentialfunktion haushoch: \(10^2 = 100\), aber \(2^{10} = 1024\).
\(a^x = 0\) hat keine Lösung: Die Exponentialkurve kommt der \(x\)-Achse beliebig nahe, berührt sie aber nie. Wer die Kurve auf der Achse „aufliegen" lässt, zeichnet falsch. Eine Nullstelle entsteht erst durch Verschiebung nach unten (\(v < 0\)).
Immer zuerst nach der Potenz auflösen: \(a^x = -\tfrac{v}{k}\). Ist die rechte Seite positiv, liefert Logarithmieren genau eine Lösung; ist sie negativ oder null, gibt es keine Nullstelle, denn \(a^x > 0\).
✏️ Mini-Check — Transformationen und e-Funktion
Wie geht der Graph von \(y = 2^x + 3\) aus dem Graphen von \(y = 2^x\) hervor?
- Verschiebung um 3 nach rechts
- Verschiebung um 3 nach oben
- Streckung mit Faktor 3
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Die Funktion \(y = e^x - 4\) hat die horizontale Asymptote \(y = \) .
Lösung anzeigen
Schreibe \(g(x) = \tfrac{1}{4} \cdot 2^x\) als verschobene Funktion \(2^{x-u}\). Bestimme \(u\).
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Hat die Funktion \(y = 2 \cdot 3^x + 1\) Nullstellen? Begründe ohne zu rechnen.
Lösungsweg anzeigen
Sättigungsprozesse — beschränktes Wachstum
Viele Vorgänge streben nicht ins Unendliche, sondern auf einen Sättigungswert \(S\) zu: eine Tasse Kaffee kühlt auf Raumtemperatur ab, ein Akku lädt bis \(100\,\%\), eine Population stösst an eine Kapazitätsgrenze. Der Abstand zum Grenzwert nimmt dabei exponentiell ab:
\[ f(t) = S - (S - A)\, e^{-k t}, \qquad k > 0 \]mit Startwert \(A = f(0)\) und Sättigungswert \(S\). Für \(t \to \infty\) geht \(e^{-kt} \to 0\), also \(f(t) \to S\) — die waagrechte Asymptote. Der «Rückstand» \(S - f(t) = (S-A)\,e^{-kt}\) ist selbst eine reine Zerfallsfunktion.
Ein Kaffee (\(80\,°\text{C}\)) steht in einem \(20\,°\text{C}\) warmen Raum; nach \(10\) min misst man \(50\,°\text{C}\). Wie lautet das Modell?
Lösung: \(S = 20\), \(A = 80\), also \(f(t) = 20 + 60\,e^{-kt}\). Aus \(f(10) = 50\):
\[ 50 = 20 + 60\,e^{-10k} \;\Rightarrow\; e^{-10k} = 0.5 \;\Rightarrow\; k = \tfrac{\ln 2}{10} \approx 0.069 \]Also \(f(t) = 20 + 60\,e^{-0.069\,t}\). Der Kaffee nähert sich langfristig der Raumtemperatur \(20\,°\text{C}\). Wann eine bestimmte Temperatur erreicht ist, löst man mit dem Logarithmus — siehe Teil 2 (3.4b).
Aufgaben
Wähle einen Graphen und entscheide, welche Funktionsgleichung dazu passt.
Welche Gleichung gehört zum angezeigten Graphen?
Skizziere die folgenden Graphen von Hand auf Häuschenpapier. Nutze den Punkt \((0 \mid 1)\) der Grundfunktion, die Asymptote und je einen weiteren Stützpunkt. Vergleiche danach mit der Lösung.
- \(y = 2^x - 3\) (mit Asymptote!)
- \(y = -3^x\)
- \(y = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{x-2}\)
- Blau: \(2^x\), um \(3\) nach unten verschoben; Asymptote \(y = -3\) (gestrichelt), Ordinatenabschnitt \(y_0 = -2\), Nullstelle bei \(x_0 = \log_2 3 \approx 1.58\).
- Grün: \(3^x\), an der \(x\)-Achse gespiegelt; fällt steil, Wertemenge \(\mathbb{R}^-\), Asymptote \(y = 0\).
- Violett: fallende Kurve \(\left(\tfrac{1}{2}\right)^x\), um \(2\) nach rechts verschoben; geht durch \((2 \mid 1)\), Asymptote \(y = 0\).
Bestimme die Basis \(a\) so, dass der Graph von \(y = a^x\) durch den Punkt geht:
- \(a^{3/2} = 8 \Rightarrow a = 8^{2/3} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 4\). Probe: \(4^{3/2} = 8\) ✓
- \(a^{-1} = 5 \Rightarrow \dfrac{1}{a} = 5 \Rightarrow a = \dfrac{1}{5} = 0.2\). Probe: \(0.2^{-1} = 5\) ✓
Die Kurve \(y = k \cdot a^x\) geht durch \(P = (1 \mid 6)\) und \(Q = (4 \mid 48)\). Bestimme \(a\) und \(k\).
Division der beiden Gleichungen \(48 = k \cdot a^4\) und \(6 = k \cdot a^1\):
\[ \frac{k \cdot a^4}{k \cdot a} = \frac{48}{6} \;\Longrightarrow\; a^3 = 8 \;\Longrightarrow\; a = 2, \qquad k = \frac{6}{a} = 3 \]Probe: \(y = 3 \cdot 2^x\) liefert \(3 \cdot 2^4 = 48\) ✓
Berechne Ordinatenabschnitt und Nullstelle von \(f:\ y = e^x - 5\).
Ordinatenabschnitt: \(y_0 = e^0 - 5 = 1 - 5 = -4\).
Nullstelle: \(e^x = 5 \Rightarrow x_0 = \ln 5 \approx 1.609\) (Taschenrechner: ln(5)).
Schreibe die Funktionsgleichung in der Form \(f(x) = a^x\) und gib \(a\) an:
- \(3^{2x} = \left(3^2\right)^x = 9^x \Rightarrow a = 9\)
- \(625^{0.25x} = \left(625^{0.25}\right)^x = \left(\sqrt[4]{625}\right)^x = 5^x \Rightarrow a = 5\)
Der Graph von \(g(x) = \tfrac{1}{16} \cdot 4^x\) entsteht aus dem Graphen von \(f(x) = 4^x\) durch Schieben in \(x\)-Richtung. Um wie viele Einheiten nach rechts?
Die Stauchung mit Faktor \(\tfrac{1}{16}\) entspricht einer Verschiebung um \(u = 2\) nach rechts.
Ein Bakterienstamm aus \(G_0 = 3000\) Bakterien wird in eine Petrischale gegeben. Die Bakterienzahl verdoppelt sich alle drei Stunden.
- Gib die Funktionsgleichung \(G(t)\) an (\(t\) in Stunden).
- Berechne die Bakterienzahl nach \(24\) Stunden.
- Nach wie vielen Stunden überschreitet die Bakterienzahl \(1\) Milliarde? (Grafisch oder durch systematisches Probieren — exakt geht es mit dem Logarithmus aus Teil 2.)
- Pro \(3\) Stunden Faktor \(2\), also \(G(t) = 3000 \cdot 2^{t/3}\).
- \(G(24) = 3000 \cdot 2^{24/3} = 3000 \cdot 2^8 = 3000 \cdot 256 = 768\,000\) Bakterien.
- Ansatz \(3000 \cdot 2^{t/3} = 10^9\), also \(2^{t/3} = \dfrac{10^9}{3000} \approx 333\,333\). Wegen \(2^{18} = 262\,144\) und \(2^{19} = 524\,288\) liegt \(t/3\) zwischen \(18\) und \(19\); exakt: \(t = 3 \cdot \log_2 333\,333 \approx 55.0\) h — nach gut zwei Tagen.
Bierschaum zerfällt exponentiell — das wird für Qualitätstests genutzt. Bei einer Biersorte nimmt die Höhe des Schaumkranzes pro Minute um \(30\) % ab; zu Beginn beträgt sie \(50\) mm.
- Gib die Funktionsgleichung \(h(t)\) an (\(t\) in Minuten, \(h\) in mm).
- Berechne die Schaumhöhe nach \(3\) Minuten.
- Nach wie vielen Minuten beträgt die Höhe noch genau \(25\) mm (die Hälfte)? (Mit dem Logarithmus aus 1.3, grafisch oder durch Probieren.)
- Pro Minute bleiben \(70\) % übrig: \(h(t) = 50 \cdot 0.7^t\).
- \(h(3) = 50 \cdot 0.7^3 = 50 \cdot 0.343 = 17.15\) mm.
- \(50 \cdot 0.7^t = 25 \Rightarrow 0.7^t = 0.5 \Rightarrow t = \log_{0.7} 0.5 \approx 1.94\) min — die „Halbwertszeit" des Schaums.
Ein Kapital von \(5000\) CHF wird zu \(2\) % Jahreszins angelegt. Der Zins wird jedes Jahr dem Kapital gutgeschrieben und mitverzinst.
- Gib die Funktionsgleichung \(K(n)\) für das Kapital nach \(n\) Jahren an.
- Berechne das Kapital nach \(10\) Jahren.
- Nach wie vielen Jahren hat sich das Kapital verdoppelt? (Mit dem Logarithmus aus 1.3, grafisch oder durch Probieren.)
- Pro Jahr Faktor \(1.02\): \(K(n) = 5000 \cdot 1.02^n\) — ein Wachstumsprozess mit Basis \(1.02\).
- \(K(10) = 5000 \cdot 1.02^{10} \approx 6094.97\) CHF.
- \(1.02^n = 2 \Rightarrow n = \log_{1.02} 2 \approx 35.0\) Jahre. Der Startwert spielt keine Rolle — die Verdopplungszeit hängt nur vom Zinssatz ab.
Woher kommt die Zahl \(e \approx 2.71828\)? Betrachte die Funktion \(f(x) = \left(1 + \tfrac{1}{x}\right)^x\) für \(x > 0\) — sie beschreibt ein Guthaben bei immer feinerer Zinsgutschrift (Zinssatz 100 %, aufgeteilt auf \(x\) Teilperioden).
- Berechne die Funktionswerte für \(x = 1,\ 10,\ 100,\ 1000,\ 10^6\) und vergleiche.
- Untersuche das Verhalten für \(x \to \infty\). Formuliere eine Vermutung.
- Schreibe \(f(x) = 5^x\) mithilfe von \(e\) als natürliche Exponentialfunktion.
- \(f(1) = 2\), \(f(10) \approx 2.5937\), \(f(100) \approx 2.7048\), \(f(1000) \approx 2.7169\), \(f(10^6) \approx 2.71828\).
- Die Werte wachsen, aber immer langsamer — sie nähern sich einem Grenzwert: \(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(1 + \tfrac{1}{x}\right)^x = e \approx 2.71828\). Genau so ist die Eulersche Zahl definiert.
- \(5 = e^{\ln 5}\), also \(5^x = e^{\ln 5 \cdot x} \approx e^{1.609 \cdot x}\).
Zusammenfassung
Bei der Exponentialfunktion \(y = a^x\) steht die Variable im Exponenten: Pro Schritt wird mit dem konstanten Faktor \(a\) multipliziert. Die Basis bestimmt den Verlauf (\(a > 1\) Wachstum, \(0 < a < 1\) Zerfall), alle Kurven laufen durch \((0 \mid 1)\) und haben die \(x\)-Achse als Asymptote. Verschieben und Strecken funktioniert wie gewohnt — mit der Besonderheit, dass horizontale Verschiebung und vertikale Streckung dasselbe bewirken (\(a^{x-u} = a^{-u} \cdot a^x\)). Mit \(a = e^{\ln a}\) lässt sich jede Exponentialfunktion auf die Basis \(e\) umschreiben.
| Typ | \(a > 1\) (z.B. \(2^x\), \(e^x\)) | \(0 < a < 1\) (z.B. \(\left(\tfrac{1}{2}\right)^x\)) |
|---|---|---|
| Prozesstyp | Wachstum | Zerfall |
| \(D\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(W\) | \(\mathbb{R}^+\) | \(\mathbb{R}^+\) |
| Gemeinsamer Punkt | \((0 \mid 1)\) | \((0 \mid 1)\) |
| Verlauf | steigend | fallend |
| Asymptote | \(y = 0\) (für \(x \to -\infty\)) | \(y = 0\) (für \(x \to +\infty\)) |
| Nullstellen | — | — |
Zusatzmaterial
Materialien zum Mitnehmen, Üben und Wiederholen. Druckseiten öffnen in neuem Tab.