3.4a Exponentialfunktionen
Exponentialfunktionen \(f(x) = a^x\) beschreiben Vorgänge mit konstantem Wachstumsfaktor: Bakterienkulturen, Zinseszins, radioaktiven Zerfall. Nicht der Zuwachs ist konstant wie bei linearen Funktionen, sondern der Faktor pro Schritt — darum wachsen diese Funktionen schneller als jede Potenzfunktion. Hier untersuchst du ihren Verlauf, die Wirkung der Basis \(a\), Streckungen und Verschiebungen sowie die natürliche Exponentialfunktion \(e^x\).
- Exponentialfunktionen \(f : x \longmapsto a^x\) mit \(a \in \mathbb{R}^+,\ a \neq 1\) grafisch darstellen auch ohne Hilfsmittel
- Wachstums-, Zerfalls- und Sättigungsprozesse mit Hilfe von Exponentialfunktionen interpretieren, modellieren, visualisieren und berechnen auch ohne Hilfsmittel
- die natürliche Exponentialfunktion (e-Funktion) visualisieren, Basiswechsel zu beliebiger Basis durchführen auch ohne Hilfsmittel
- die Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion berechnen und visualisieren auch ohne Hilfsmittel
Diese Seite behandelt die ersten drei Kompetenzen: die Exponentialfunktionen. Die Logarithmusfunktion als ihre Umkehrfunktion wird in Teil 2 (s3-4b) behandelt.
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann eine Exponentialfunktion \(f(x) = a^x\) erkennen und von Potenzfunktionen unterscheiden: Bei ihr steht die Variable im Exponenten.
- Ich kann die Graphen für \(a > 1\) (Wachstum) und \(0 < a < 1\) (Zerfall) ohne Hilfsmittel skizzieren.
- Ich kann Definitions- und Wertemenge, den gemeinsamen Punkt \((0 \mid 1)\) und die Asymptote aller Exponentialkurven angeben.
- Ich kann die Wirkung der Parameter in \(k \cdot a^{x-u} + v\) beschreiben und weiss, dass sich Streckung in \(y\)-Richtung und Verschiebung in \(x\)-Richtung gegenseitig ersetzen können.
- Ich kann aus vorgegebenen Punkten die Basis \(a\) und den Faktor \(k\) einer Exponentialfunktion bestimmen.
- Ich kann jede Exponentialfunktion mit der Basis \(e\) schreiben (Basiswechsel zur e-Funktion) und Wachstums- und Zerfallsprozesse damit modellieren.
Einstieg — eine Bakterienkultur wächst
Eine Kultur aus 1000 Bakterien wird in eine Petrischale mit Nährlösung gegeben. Unter diesen Bedingungen verdoppelt sich die Bakterienzahl jede Stunde. Nach \(t\) Stunden sind es also \(1000 \cdot 2^t\) Bakterien — in Tausend gezählt:
\[ N(t) = 2^t \quad [\text{Tausend}] \]Die Variable \(t\) steht im Exponenten — das ist das Kennzeichen jeder Exponentialfunktion. Wann überschreitet die Kultur die Million?
Der Zusammenhang \(t \mapsto N\) ist weder linear noch eine Potenzfunktion — pro Zeitschritt wird mit einem konstanten Faktor multipliziert:
- Jede Stunde: Faktor \(2\). Drei Stunden: Faktor \(2^3 = 8\). Der Zuwachs ist prozentual konstant (+100 % pro Stunde), nicht absolut konstant.
- Der Graph startet scheinbar flach und wird immer steiler — links schmiegt er sich an die \(t\)-Achse an.
✏️ Mini-Check — Einstieg
Die Zeit wird um \(3\) Stunden erhöht. Um welchen Faktor wächst die Bakterienzahl \(N(t) = 1000 \cdot 2^t\)?
- Faktor 3
- Faktor 6
- Faktor 8
Lösung anzeigen
Bei einer Exponentialfunktion steht die Variable im — bei einer Potenzfunktion dagegen in der Basis.
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Berechne die Bakterienzahl nach \(4\) Stunden.
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Stelle die Gleichung für den Zeitpunkt auf, an dem die Kultur \(1\) Million Bakterien erreicht. Woran scheitert das Auflösen mit den bisherigen Mitteln?
Lösungsweg anzeigen
Definition
Eine Funktion \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^+\) mit einer Gleichung der Form
\[ y = f(x) = a^x, \qquad a \in \mathbb{R}^+,\quad a \neq 1 \]heisst Exponentialfunktion mit der Basis \(a\). Die unabhängige Variable \(x\) steht im Exponenten.
- \(a = 1\): Es ergäbe sich die konstante Funktion \(y = 1^x = 1\) — kein Wachstum, kein Zerfall.
- \(a \leq 0\): Potenzen wie \((-2)^{1/2}\) sind nicht für alle reellen Exponenten definiert — darum werden nur positive Basen zugelassen.
Für den Umgang mit Exponentialfunktionen sind die Potenzgesetze zentral — sie werden auf der Seite ↩ 1.2 Potenzen behandelt.
Wird die Kurve \(k:\ y = a^x\) an der \(y\)-Achse gespiegelt (Ersetzung \(x \to -x\)), entsteht die Kurve
\[ k':\ y = a^{-x} = \frac{1}{a^x} = \left(\frac{1}{a}\right)^{x} \]Aus einer steigenden Kurve (Wachstum) wird eine fallende Kurve (Zerfall) — und umgekehrt. Die Basen \(a\) und \(\tfrac{1}{a}\) gehören zu spiegelbildlichen Graphen.
Die drei Darstellungen
Verändere die Basis \(a\) und den Eingabewert \(x\) — Gleichung, Wertetabelle und Graph aktualisieren sich gleichzeitig.
✏️ Mini-Check — Definition und Darstellungen
Welche der folgenden Funktionen ist eine Exponentialfunktion im Sinn der Definition?
- \(f(x) = x^3\)
- \(f(x) = 3^x\)
- \(f(x) = 3 \cdot x\)
Lösung anzeigen
Alle Graphen von Exponentialfunktionen \(y = a^x\) gehen durch den Punkt , denn \(a^0 = 1\) für jede zulässige Basis.
Lösung anzeigen
Der Graph von \(f(x) = \left(\tfrac{2}{5}\right)^x\) wird an der \(y\)-Achse gespiegelt. Wie lautet die Gleichung der Bildfunktion \(g\)?
Lösung anzeigen
Begründe, warum die Wertemenge von \(y = a^x\) nur aus positiven Zahlen besteht — und warum die \(0\) nicht dazugehört.
Lösungsweg anzeigen
Eigenschaften — die Basis bestimmt den Verlauf
| Eigenschaften | \(y = f(x) = a^x\), \(a > 0\) und \(a \neq 1\) | |
|---|---|---|
| Definitionsmenge | \(D = \mathbb{R}\) | |
| Wertemenge | \(W = \mathbb{R}^+\) | |
| Gemeinsamer Punkt | \((0 \mid 1)\) | |
| Ordinatenabschnitt | \(y_0 = 1\) | |
| Nullstellen | — | |
| Symmetrien | — | |
| Verlauf | \(a > 1\): Kurve steigt von links nach rechts | \(a < 1\): Kurve fällt von links nach rechts |
| Asymptote | \(x\)-Achse (\(y = 0\)) | |
✏️ Mini-Check — Eigenschaften
Welche Aussage trifft auf alle Exponentialfunktionen \(y = a^x\) zu?
- Sie haben genau eine Nullstelle.
- Die \(x\)-Achse ist horizontale Asymptote.
- Die Wertemenge ist \(\mathbb{R}\).
Lösung anzeigen
Für Basen \(0 < a < 1\) die Exponentialkurve von links nach rechts — sie beschreibt einen Zerfallsprozess.
Lösung anzeigen
Bestimme die Basis \(a\) so, dass der Graph von \(y = a^x\) durch den Punkt \(Q = (1 \mid 0.25)\) geht.
Lösung anzeigen
Der Graph von \(y = a^x\) geht durch \(P = \left(\tfrac{3}{2} \mid 8\right)\). Bestimme die Basis \(a\).
Lösungsweg anzeigen
Schieben, Strecken und die e-Funktion
| Parameter | Wirkung auf den Graphen von \(y = a^x\) |
|---|---|
| \(u\) | Verschiebung um \(u\) in \(x\)-Richtung (nach rechts für \(u > 0\)) |
| \(v\) | Verschiebung um \(v\) in \(y\)-Richtung (nach oben für \(v > 0\)) |
| \(|k|\) | Streckung (\(|k| > 1\)) bzw. Stauchung (\(|k| < 1\)) in \(y\)-Richtung |
| \(k < 0\) | zusätzlich Spiegelung an der \(x\)-Achse |
Die horizontale Asymptote wandert bei der Verschiebung mit: Sie liegt bei \(y = v\). Der Ordinatenabschnitt ist \(y_0 = k \cdot a^{-u} + v\).
Eine Streckung des Graphen von \(f(x) = a^x\) mit Faktor \(\tfrac{1}{b}\) in \(x\)-Richtung lässt sich als neue Exponentialfunktion schreiben:
\[ h(x) = f(b \cdot x) = a^{b \cdot x} = \left(a^{b}\right)^{x} = c^x \quad \text{mit } c = a^b \]Beispiel: \(4^{x} = 2^{2x}\) — die Kurve von \(2^x\), in \(x\)-Richtung auf die Hälfte gestaucht, ist die Kurve von \(4^x\).
Wird der Graph von \(f(x) = a^x\) um \(u\) Einheiten horizontal verschoben, liefern die Potenzgesetze:
\[ l(x) = f(x-u) = a^{x-u} = a^{-u} \cdot a^x = k \cdot a^x \quad \text{mit } k = \frac{1}{a^u} \]Horizontale Verschiebung und vertikale Streckung sind bei Exponentialfunktionen dieselbe Abbildung! Die Graphen von \(k \cdot a^x\) und \(a^{x-u}\) sind identisch, wenn gilt:
\[ k \cdot a^u = 1 \qquad\Longleftrightarrow\qquad u = -\log_a k \]Die Exponentialfunktion mit der irrationalen Basis \(e \approx 2.71828\) (Eulersche Zahl):
\[ y = f(x) = e^x \]Jede Exponentialfunktion lässt sich mit der Basis \(e\) schreiben (Basiswechsel): Setzt man \(a = e^b\), so gilt
\[ y = a^x = \left(e^{b}\right)^{x} = e^{b \cdot x} \qquad \text{mit } b = \ln a \]Darum beschränkt man sich in Anwendungen häufig auf die e-Funktion.
Der Graph \(G_g\) geht durch Streckung mit \(k = \tfrac{1}{8}\) in \(y\)-Richtung aus dem Graphen von \(f(x) = 2^x\) hervor. (a) Wie lautet \(g(x)\)? (b) Welche Verschiebung führt \(G_f\) ebenfalls in \(G_g\) über?
Lösung:
(a) \(g(x) = \tfrac{1}{8} \cdot 2^x\)
(b) Mit \(k \cdot a^u = 1\): \(u = -\log_2 \tfrac{1}{8} = -\log_2 2^{-3} = 3\). Den Graphen um \(\tfrac{1}{8}\) stauchen hat dieselbe Wirkung, wie ihn um \(3\) Einheiten nach rechts zu schieben:
\[ g(x) = \tfrac{1}{8} \cdot 2^x = 2^{-3} \cdot 2^x = 2^{x-3} \]Bestimme \(a\) und \(k\) der Funktion \(f(x) = k \cdot a^x\) so, dass der Graph durch \(P = (2 \mid 24)\) und \(Q = \left(\tfrac{5}{2} \,\middle|\, 48\right)\) geht.
Lösung: Einsetzen liefert das Gleichungssystem \(24 = k \cdot a^2\) und \(48 = k \cdot a^{5/2}\). Division der zweiten durch die erste Gleichung eliminiert \(k\):
\[ \frac{k \cdot a^{5/2}}{k \cdot a^{2}} = \frac{48}{24} \;\Longrightarrow\; a^{1/2} = 2 \;\Longrightarrow\; a = 4 \] \[ k = \frac{24}{a^2} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2} \qquad\Longrightarrow\qquad y = \tfrac{3}{2} \cdot 4^x \]Gegeben ist \(f:\ y = 3^x - 6\). Berechne den Ordinatenabschnitt und die Nullstelle.
Lösung: Ordinatenabschnitt (\(x = 0\)): \(y_0 = 3^0 - 6 = 1 - 6 = -5\).
Nullstelle (\(y = 0\)): \(3^x = 6\). Die Unbekannte steht im Exponenten — Logarithmieren liefert
\[ x_0 = \log_3 6 \approx 1.631 \](Das Werkzeug dafür ist der Logarithmus — die Rechenregeln kennst du aus 1.3, die Logarithmusfunktion als Umkehrung folgt in Teil 2.)
Schreibe \(f(x) = 2^x\) als natürliche Exponentialfunktion.
Lösung: Ansatz \(2 = e^b\). Logarithmieren: \(b = \ln 2 \approx 0.693\). Also:
\[ f(x) = e^{\ln 2 \cdot x} \approx e^{0.693 \cdot x} \]\(x^2\) ist eine Potenzfunktion (Variable in der Basis), \(2^x\) eine Exponentialfunktion (Variable im Exponenten). Für kleine \(x\) liegen die Werte nah beieinander (\(3^2 = 9\) vs. \(2^3 = 8\)) — aber für grosse \(x\) gewinnt die Exponentialfunktion haushoch: \(10^2 = 100\), aber \(2^{10} = 1024\).
\(a^x = 0\) hat keine Lösung: Die Exponentialkurve kommt der \(x\)-Achse beliebig nahe, berührt sie aber nie. Wer die Kurve auf der Achse „aufliegen" lässt, zeichnet falsch. Eine Nullstelle entsteht erst durch Verschiebung nach unten (\(v < 0\)).
Immer zuerst nach der Potenz auflösen: \(a^x = -\tfrac{v}{k}\). Ist die rechte Seite positiv, liefert Logarithmieren genau eine Lösung; ist sie negativ oder null, gibt es keine Nullstelle, denn \(a^x > 0\).
✏️ Mini-Check — Transformationen und e-Funktion
Wie geht der Graph von \(y = 2^x + 3\) aus dem Graphen von \(y = 2^x\) hervor?
- Verschiebung um 3 nach rechts
- Verschiebung um 3 nach oben
- Streckung mit Faktor 3
Lösung anzeigen
Die Funktion \(y = e^x - 4\) hat die horizontale Asymptote \(y = \) .
Lösung anzeigen
Schreibe \(g(x) = \tfrac{1}{4} \cdot 2^x\) als verschobene Funktion \(2^{x-u}\). Bestimme \(u\).
Lösung anzeigen
Hat die Funktion \(y = 2 \cdot 3^x + 1\) Nullstellen? Begründe ohne zu rechnen.
Lösungsweg anzeigen
Sättigungsprozesse — beschränktes Wachstum
Viele Vorgänge streben nicht ins Unendliche, sondern auf einen Sättigungswert \(S\) zu: eine Tasse Kaffee kühlt auf Raumtemperatur ab, ein Akku lädt bis \(100\,\%\), eine Population stösst an eine Kapazitätsgrenze. Der Abstand zum Grenzwert nimmt dabei exponentiell ab:
\[ f(t) = S - (S - A)\, e^{-k t}, \qquad k > 0 \]mit Startwert \(A = f(0)\) und Sättigungswert \(S\). Für \(t \to \infty\) geht \(e^{-kt} \to 0\), also \(f(t) \to S\) — die waagrechte Asymptote. Der «Rückstand» \(S - f(t) = (S-A)\,e^{-kt}\) ist selbst eine reine Zerfallsfunktion.
Ein Kaffee (\(80\,°\text{C}\)) steht in einem \(20\,°\text{C}\) warmen Raum; nach \(10\) min misst man \(50\,°\text{C}\). Wie lautet das Modell?
Lösung: \(S = 20\), \(A = 80\), also \(f(t) = 20 + 60\,e^{-kt}\). Aus \(f(10) = 50\):
\[ 50 = 20 + 60\,e^{-10k} \;\Rightarrow\; e^{-10k} = 0.5 \;\Rightarrow\; k = \tfrac{\ln 2}{10} \approx 0.069 \]Also \(f(t) = 20 + 60\,e^{-0.069\,t}\). Der Kaffee nähert sich langfristig der Raumtemperatur \(20\,°\text{C}\). Wann eine bestimmte Temperatur erreicht ist, löst man mit dem Logarithmus — siehe Teil 2 (3.4b).
Aufgaben
Wähle einen Graphen und entscheide, welche Funktionsgleichung dazu passt.
Welche Gleichung gehört zum angezeigten Graphen?
Skizziere die folgenden Graphen von Hand auf Häuschenpapier. Nutze den Punkt \((0 \mid 1)\) der Grundfunktion, die Asymptote und je einen weiteren Stützpunkt. Vergleiche danach mit der Lösung.
- \(y = 2^x - 3\) (mit Asymptote!)
- \(y = -3^x\)
- \(y = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{x-2}\)
- Blau: \(2^x\), um \(3\) nach unten verschoben; Asymptote \(y = -3\) (gestrichelt), Ordinatenabschnitt \(y_0 = -2\), Nullstelle bei \(x_0 = \log_2 3 \approx 1.58\).
- Grün: \(3^x\), an der \(x\)-Achse gespiegelt; fällt steil, Wertemenge \(\mathbb{R}^-\), Asymptote \(y = 0\).
- Violett: fallende Kurve \(\left(\tfrac{1}{2}\right)^x\), um \(2\) nach rechts verschoben; geht durch \((2 \mid 1)\), Asymptote \(y = 0\).
Bestimme die Basis \(a\) so, dass der Graph von \(y = a^x\) durch den Punkt geht:
- \(a^{3/2} = 8 \Rightarrow a = 8^{2/3} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 4\). Probe: \(4^{3/2} = 8\) ✓
- \(a^{-1} = 5 \Rightarrow \dfrac{1}{a} = 5 \Rightarrow a = \dfrac{1}{5} = 0.2\). Probe: \(0.2^{-1} = 5\) ✓
Die Kurve \(y = k \cdot a^x\) geht durch \(P = (1 \mid 6)\) und \(Q = (4 \mid 48)\). Bestimme \(a\) und \(k\).
Division der beiden Gleichungen \(48 = k \cdot a^4\) und \(6 = k \cdot a^1\):
\[ \frac{k \cdot a^4}{k \cdot a} = \frac{48}{6} \;\Longrightarrow\; a^3 = 8 \;\Longrightarrow\; a = 2, \qquad k = \frac{6}{a} = 3 \]Probe: \(y = 3 \cdot 2^x\) liefert \(3 \cdot 2^4 = 48\) ✓
Berechne Ordinatenabschnitt und Nullstelle von \(f:\ y = e^x - 5\).
Ordinatenabschnitt: \(y_0 = e^0 - 5 = 1 - 5 = -4\).
Nullstelle: \(e^x = 5 \Rightarrow x_0 = \ln 5 \approx 1.609\) (Taschenrechner: ln(5)).
Schreibe die Funktionsgleichung in der Form \(f(x) = a^x\) und gib \(a\) an:
- \(3^{2x} = \left(3^2\right)^x = 9^x \Rightarrow a = 9\)
- \(625^{0.25x} = \left(625^{0.25}\right)^x = \left(\sqrt[4]{625}\right)^x = 5^x \Rightarrow a = 5\)
Der Graph von \(g(x) = \tfrac{1}{16} \cdot 4^x\) entsteht aus dem Graphen von \(f(x) = 4^x\) durch Schieben in \(x\)-Richtung. Um wie viele Einheiten nach rechts?
Die Stauchung mit Faktor \(\tfrac{1}{16}\) entspricht einer Verschiebung um \(u = 2\) nach rechts.
Ein Bakterienstamm aus \(G_0 = 3000\) Bakterien wird in eine Petrischale gegeben. Die Bakterienzahl verdoppelt sich alle drei Stunden.
- Gib die Funktionsgleichung \(G(t)\) an (\(t\) in Stunden).
- Berechne die Bakterienzahl nach \(24\) Stunden.
- Nach wie vielen Stunden überschreitet die Bakterienzahl \(1\) Milliarde? (Grafisch oder durch systematisches Probieren — exakt geht es mit dem Logarithmus aus Teil 2.)
- Pro \(3\) Stunden Faktor \(2\), also \(G(t) = 3000 \cdot 2^{t/3}\).
- \(G(24) = 3000 \cdot 2^{24/3} = 3000 \cdot 2^8 = 3000 \cdot 256 = 768\,000\) Bakterien.
- Ansatz \(3000 \cdot 2^{t/3} = 10^9\), also \(2^{t/3} = \dfrac{10^9}{3000} \approx 333\,333\). Wegen \(2^{18} = 262\,144\) und \(2^{19} = 524\,288\) liegt \(t/3\) zwischen \(18\) und \(19\); exakt: \(t = 3 \cdot \log_2 333\,333 \approx 55.0\) h — nach gut zwei Tagen.
Bierschaum zerfällt exponentiell — das wird für Qualitätstests genutzt. Bei einer Biersorte nimmt die Höhe des Schaumkranzes pro Minute um \(30\) % ab; zu Beginn beträgt sie \(50\) mm.
- Gib die Funktionsgleichung \(h(t)\) an (\(t\) in Minuten, \(h\) in mm).
- Berechne die Schaumhöhe nach \(3\) Minuten.
- Nach wie vielen Minuten beträgt die Höhe noch genau \(25\) mm (die Hälfte)? (Mit dem Logarithmus aus 1.3, grafisch oder durch Probieren.)
- Pro Minute bleiben \(70\) % übrig: \(h(t) = 50 \cdot 0.7^t\).
- \(h(3) = 50 \cdot 0.7^3 = 50 \cdot 0.343 = 17.15\) mm.
- \(50 \cdot 0.7^t = 25 \Rightarrow 0.7^t = 0.5 \Rightarrow t = \log_{0.7} 0.5 \approx 1.94\) min — die „Halbwertszeit" des Schaums.
Ein Kapital von \(5000\) CHF wird zu \(2\) % Jahreszins angelegt. Der Zins wird jedes Jahr dem Kapital gutgeschrieben und mitverzinst.
- Gib die Funktionsgleichung \(K(n)\) für das Kapital nach \(n\) Jahren an.
- Berechne das Kapital nach \(10\) Jahren.
- Nach wie vielen Jahren hat sich das Kapital verdoppelt? (Mit dem Logarithmus aus 1.3, grafisch oder durch Probieren.)
- Pro Jahr Faktor \(1.02\): \(K(n) = 5000 \cdot 1.02^n\) — ein Wachstumsprozess mit Basis \(1.02\).
- \(K(10) = 5000 \cdot 1.02^{10} \approx 6094.97\) CHF.
- \(1.02^n = 2 \Rightarrow n = \log_{1.02} 2 \approx 35.0\) Jahre. Der Startwert spielt keine Rolle — die Verdopplungszeit hängt nur vom Zinssatz ab.
Woher kommt die Zahl \(e \approx 2.71828\)? Betrachte die Funktion \(f(x) = \left(1 + \tfrac{1}{x}\right)^x\) für \(x > 0\) — sie beschreibt ein Guthaben bei immer feinerer Zinsgutschrift (Zinssatz 100 %, aufgeteilt auf \(x\) Teilperioden).
- Berechne die Funktionswerte für \(x = 1,\ 10,\ 100,\ 1000,\ 10^6\) und vergleiche.
- Untersuche das Verhalten für \(x \to \infty\). Formuliere eine Vermutung.
- Schreibe \(f(x) = 5^x\) mithilfe von \(e\) als natürliche Exponentialfunktion.
- \(f(1) = 2\), \(f(10) \approx 2.5937\), \(f(100) \approx 2.7048\), \(f(1000) \approx 2.7169\), \(f(10^6) \approx 2.71828\).
- Die Werte wachsen, aber immer langsamer — sie nähern sich einem Grenzwert: \(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(1 + \tfrac{1}{x}\right)^x = e \approx 2.71828\). Genau so ist die Eulersche Zahl definiert.
- \(5 = e^{\ln 5}\), also \(5^x = e^{\ln 5 \cdot x} \approx e^{1.609 \cdot x}\).
Zusammenfassung
Bei der Exponentialfunktion \(y = a^x\) steht die Variable im Exponenten: Pro Schritt wird mit dem konstanten Faktor \(a\) multipliziert. Die Basis bestimmt den Verlauf (\(a > 1\) Wachstum, \(0 < a < 1\) Zerfall), alle Kurven laufen durch \((0 \mid 1)\) und haben die \(x\)-Achse als Asymptote. Verschieben und Strecken funktioniert wie gewohnt — mit der Besonderheit, dass horizontale Verschiebung und vertikale Streckung dasselbe bewirken (\(a^{x-u} = a^{-u} \cdot a^x\)). Mit \(a = e^{\ln a}\) lässt sich jede Exponentialfunktion auf die Basis \(e\) umschreiben.
| Typ | \(a > 1\) (z.B. \(2^x\), \(e^x\)) | \(0 < a < 1\) (z.B. \(\left(\tfrac{1}{2}\right)^x\)) |
|---|---|---|
| Prozesstyp | Wachstum | Zerfall |
| \(D\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(W\) | \(\mathbb{R}^+\) | \(\mathbb{R}^+\) |
| Gemeinsamer Punkt | \((0 \mid 1)\) | \((0 \mid 1)\) |
| Verlauf | steigend | fallend |
| Asymptote | \(y = 0\) (für \(x \to -\infty\)) | \(y = 0\) (für \(x \to +\infty\)) |
| Nullstellen | — | — |
Clips
Clips zu den Animationen — was jede Animation zeigt
Transkripte — der gesprochene Text zum Mitlesen
Bakterienkultur: Faktor fest, Zuwachs wächst mit
- 0:00In der Animation schiebst du die Zeit t. Tausend Bakterien verdoppeln sich jede Stunde. Wie viele kommen pro Stunde dazu?
- 0:09Von Stunde drei auf Stunde vier werden aus achttausend Bakterien sechzehntausend. Faktor zwei, Zuwachs achttausend.
- 0:19Von Stunde acht auf neun: wieder Faktor zwei. Doch jetzt kommen zweihundertsechsundfünfzigtausend dazu, so viele, wie vorher schon da waren.
- 0:28Nach zehn Stunden sind es über eine Million. In der letzten Stunde kamen fünfhundertzwölftausend dazu. Die Grenze fällt knapp vor der zehnten Stunde.
- 0:38Merke: Pro Stunde wird immer mit zwei multipliziert. Darum kommt jede Stunde so viel dazu, wie schon da ist, und der Zuwachs wächst mit.
Basis im Vergleich: (0|1) bleibt, die Werte bleiben positiv
- 0:00In der Animation wählst du die Basis a und den Eingabewert x. Welcher Punkt bleibt gleich, egal welche Basis du nimmst?
- 0:09Mit a gleich zwei und x gleich null ergibt sich eins. Der grüne Punkt liegt genau auf dem roten Punkt null eins.
- 0:19Mit a gleich fünf ist f von eins gleich fünf statt zwei. Links dagegen ist f von minus eins nur null Komma zwei statt null Komma fünf. Durch null eins geht die Kurve trotzdem.
- 0:30Mit a gleich ein Halb fällt die Kurve. Bei minus zwei steht vier, so viel wie zwei hoch zwei: das Spiegelbild von zwei hoch x. Nach rechts werden die Werte klein, aber nie null.
- 0:41Merke: Weil a hoch null gleich eins ist, geht jede Kurve durch null eins. Die Werte sind immer positiv. Eine grössere Basis macht die Kurve steiler, die Basis eins durch a spiegelt sie.
Kurvenfamilie aˣ: wo die Basen die Plätze tauschen
- 0:00In der Animation klickst du dich durch sechs Exponentialfunktionen. Welche Kurve liegt oben, und wo überholen sie sich?
- 0:09Bei x gleich eins liefern zwei, drei und fünf hoch x die Werte zwei, drei und fünf. Bei minus eins ist es umgekehrt. Die Kurven tauschen die Plätze im Punkt null eins.
- 0:21Ein Halb hoch x ist zwei hoch minus x. Das ist das Spiegelbild von zwei hoch x an der y-Achse: Die Kurve fällt.
- 0:30Die e-Funktion hat die Basis e, ungefähr zwei Komma sieben eins acht. Diese liegt zwischen zwei und drei, also auch die Kurve zwischen zwei hoch x und drei hoch x.
- 0:41Merke: Alle Kurven gehen durch null eins und bleiben über der x-Achse. Für a grösser eins steigen sie, für a zwischen null und eins fallen sie. Je grösser die Basis, desto steiler rechts der y-Achse.
Verschieben: die Asymptote folgt v, u wirkt wie Strecken
- 0:00In der Animation verschiebst du eine Exponentialkurve um u zur Seite und um v nach oben oder unten, hier mit der Basis zwei. Wohin wandert die Asymptote, und wann gibt es eine Nullstelle?
- 0:12Mit v gleich zwei rutscht die ganze Kurve nach oben, die Asymptote mit ihr auf y gleich zwei. Die Kurve bleibt darüber: keine Nullstelle.
- 0:22Mit v gleich minus zwei liegt die Asymptote unter der x-Achse. Jetzt schneidet die Kurve die Achse, bei x gleich eins.
- 0:31Mit u gleich minus eins wandert die Kurve um eins nach links. Nach dem Potenzgesetz ist das zwei mal zwei hoch x: eine Streckung mit Faktor zwei. Die Kurve schneidet die y-Achse bei zwei.
- 0:43Merke: v verschiebt die Asymptote auf y gleich v. Eine Nullstelle gibt es nur, wenn v negativ ist. Und eine Verschiebung um u in x-Richtung wirkt wie eine Streckung mit dem Faktor a hoch minus u.
Zinseszins in n Schritten: gegen e, nie bis 3
- 0:00Ein Kapital von eins wird mit hundert Prozent verzinst, aufgeteilt in n Teilschritte. Wächst das Endkapital ohne Grenze, wenn n immer grösser wird?
- 0:10Zehn Schritte zu je zehn Prozent ergeben rund zwei Komma fünf neun. Ein einziger Schritt zu hundert Prozent gäbe nur zwei.
- 0:19Mit tausend Schritten sind es zwei Komma sieben eins sechs neun. Hundertmal mehr Schritte, und der Abstand zu e schrumpft nur von null Komma eins zwei auf null Komma null null eins vier.
- 0:30Mit einer Million Schritten liegt der Wert praktisch auf der Linie e, ungefähr zwei Komma sieben eins acht zwei acht. Die Kurve steigt nicht darüber hinaus.
- 0:40Merke: Je feiner verzinst wird, desto mehr Kapital, aber nie das Dreifache. Die Werte streben gegen die Eulersche Zahl e. Zehnmal mehr Schritte bringen etwa eine Dezimalstelle mehr.
Graph erkennen: y-Achse, Richtung, Steilheit
- 0:00In Aufgabe A1 ordnest du vier Graphen ihren Gleichungen zu. Worauf schaut man zuerst?
- 0:09Das Vorgehen: Zuerst den Schnitt mit der y-Achse ablesen. Dann schauen, ob die Kurve steigt oder fällt. Zuletzt die Steilheit: Bei x gleich eins steht die Basis selbst.
- 0:20Graph zwei geht durch null eins und fällt. Die Basis liegt also zwischen null und eins: ein Halb hoch x. Probe: Bei minus eins steht zwei.
- 0:30Graph drei geht durch null eins und steigt, wie zwei hoch x. Doch bei x gleich eins steht drei, nicht zwei. Also drei hoch x.
- 0:39Graph vier liegt ganz unter der x-Achse und schneidet die y-Achse bei minus eins. Das Minus steht vor der Potenz und spiegelt zwei hoch x an der x-Achse.
- 0:50Merke: Erst die y-Achse, dann steigend oder fallend, dann die Steilheit bei x gleich eins. Ein Minus vor der Potenz spiegelt an der x-Achse.
Exponentialfunktionen: gleicher Faktor je Schritt
- 0:00Bei der linearen Funktion kommt in jedem Schritt dasselbe dazu. Bei der Exponentialfunktion wird in jedem Schritt mit demselben Faktor multipliziert.
- 0:09Am Beispiel: Zwei hoch x verdoppelt sich in jedem Schritt — eins, zwei, vier, acht, sechzehn. Die Gerade zwei x wächst dagegen immer um zwei.
- 0:19Drei Dinge liest man direkt ab: a ist der Startwert bei x gleich null, b ist der Faktor je Schritt, und die x-Achse ist Asymptote — der Graph erreicht die Null nie.
- 0:27Das b entscheidet über die Richtung: grösser als eins heisst wachsen, zwischen null und eins heisst zerfallen. Ein Faktor null Komma fünf halbiert in jedem Schritt.
- 0:38Zum Mitnehmen: gleicher Faktor je Schritt statt gleichem Zuwachs. Der Startwert steht vorn, der Faktor unten — und die Null wird nie erreicht.
Zusatzmaterial
Materialien zum Mitnehmen, Üben und Wiederholen. Druckseiten öffnen in neuem Tab.