Eine Funktion \( f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^+ \) mit einer Gleichung der Form
\[ y = f(x) = a^x, \qquad a \in \mathbb{R}^+,\quad a \neq 1 \]heisst Exponentialfunktion mit der Basis \(a\). Die Variable steht im Exponenten.
Ausgeschlossene Basen: \(a = 1\) ergäbe die konstante Funktion \(y = 1\); Basen \(a \leq 0\) sind nicht für alle reellen Exponenten definiert.
| Eigenschaften | \( y = a^x \), \( a > 0 \), \( a \neq 1 \) | |
|---|---|---|
| Definitionsmenge | \( D = \mathbb{R} \) | |
| Wertemenge | \( W = \mathbb{R}^+ \) | |
| Gemeinsamer Punkt | \( (0 \mid 1) \), denn \( a^0 = 1 \) | |
| Nullstellen | — | |
| Verlauf | \( a > 1 \): steigend (Wachstum) | \( a < 1 \): fallend (Zerfall) |
| Asymptote | \(x\)-Achse (\( y = 0 \)) | |
Spiegelung an der \(y\)-Achse wechselt zwischen Wachstum und Zerfall: \( a^{-x} = \left(\tfrac{1}{a}\right)^{x} \).
Ausgangsfunktion \( y = a^x \), Bildfunktion \( y = k \cdot a^{x-u} + v \):
| Parameter | Wirkung |
|---|---|
| \(u\) | Verschiebung in \(x\)-Richtung (nach rechts für \(u > 0\)) |
| \(v\) | Verschiebung in \(y\)-Richtung — die Asymptote wandert mit zu \( y = v \) |
| \(|k|\) | Streckung (\(|k| > 1\)) bzw. Stauchung (\(|k| < 1\)) in \(y\)-Richtung |
| \(k < 0\) | zusätzlich Spiegelung an der \(x\)-Achse |
Streckung in \(x\) = Basiswechsel: \( a^{b \cdot x} = \left(a^b\right)^x = c^x \) mit \( c = a^b \).
Streckung in \(y\) = Verschiebung in \(x\): \( a^{x-u} = a^{-u} \cdot a^x = k \cdot a^x \). Die Graphen von \( k \cdot a^x \) und \( a^{x-u} \) sind identisch, wenn \( k \cdot a^u = 1 \), d.h. \( u = -\log_a k \).
Exponentialfunktion mit der irrationalen Basis \( e \approx 2.71828 \) (Eulersche Zahl): \( y = e^x \). Jede Exponentialfunktion lässt sich mit Basis \(e\) schreiben:
\[ a^x = e^{b \cdot x} \qquad \text{mit } b = \ln a \]Startwert \(N_0\), pro Schritt Faktor \(a\): \( N(t) = N_0 \cdot a^t \). Prozentuale Änderung um \(p\,\%\) pro Schritt: \( a = 1 \pm \tfrac{p}{100} \). Verdopplung alle \(T\) Schritte: \( N(t) = N_0 \cdot 2^{t/T} \); Halbierung alle \(T\) Schritte: \( N(t) = N_0 \cdot 0.5^{\,t/T} \).
Exponentialfunktionen wachsen mit konstantem Faktor pro Schritt — nicht mit konstantem Summand. Alle Kurven laufen durch \( (0 \mid 1) \), bleiben positiv und haben die \(x\)-Achse als Asymptote. Die Basis entscheidet: \( a > 1 \) Wachstum, \( a < 1 \) Zerfall.