12 Aufgaben mit ansteigendem Schwierigkeitsgrad. Bearbeite alle Aufgaben in einem Zug, ohne in die Lösungen zu schauen — diese stehen am Ende. Hilfsmittel: nur Formelsammlung Promath. Zeitvorgabe: ca. 45 Minuten.
Vervollständige die Aussage und schreibe in die Lücken:
Welche der folgenden Funktionen sind Exponentialfunktionen? Kreuze an und begründe kurz:
(a) \( f(x) = 3 \cdot x^4 \) (b) \( g(x) = 2^x \) (c) \( h(x) = 5^{1-x} \) (d) \( k(x) = x^2 + 2^x \)
Entscheide ohne zu zeichnen, ob die Kurve steigt oder fällt:
(a) \( y = 3^x \) (b) \( y = \left(\tfrac{1}{4}\right)^{x} \) (c) \( y = 0.9^x \) (d) \( y = \left(\tfrac{5}{2}\right)^{x} \)
Gib \(D\) und \(W\) an:
(a) \( y = 2^x \) (b) \( y = 2^x - 4 \)
Durch welchen Punkt verlaufen alle Exponentialkurven \( y = a^x \)? Begründe.
Berechne ohne Taschenrechner:
(a) \( f(x) = 3 \cdot 2^x \): \( f(4) = \,? \) (b) \( g(x) = \left(\tfrac{1}{3}\right)^{x} \): \( g(-2) = \,? \)
Der Graph von \( y = 2^x \) wird um \(3\) Einheiten nach links und \(1\) Einheit nach unten verschoben. Gib die Gleichung der Bildfunktion an.
Bestimme die horizontale Asymptote und die Nullstelle von \( y = 2^x - 8 \).
Schreibe \( f(x) = 5^{2x} \) in der Form \( f(x) = a^x \).
Die Exponentialkurve \( y = a^x \) geht durch \( P(3 \mid 125) \). Bestimme \(a\).
Die Kurve \( y = k \cdot a^x \) geht durch \( P(0 \mid 4) \) und \( Q(3 \mid 32) \). Bestimme \(k\) und \(a\).
Zeige, dass \( g(x) = \tfrac{1}{9} \cdot 3^x \) eine verschobene Kopie von \( f(x) = 3^x \) ist. Um wie viele Einheiten und in welche Richtung?
\( f(x) = a^x \) mit \( a \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\} \). Für \( a > 1 \): Wachstumsprozess, für \( 0 < a < 1 \): Zerfallsprozess.
(a) nein — \(x\) steht in der Basis (Potenzfunktion) · (b) ja · (c) ja — \( 5^{1-x} = 5 \cdot \left(\tfrac{1}{5}\right)^{x} \) · (d) nein — Summe aus Potenz- und Exponentialterm.
(a) steigend (\( a = 3 > 1 \)) · (b) fallend (\( a = \tfrac{1}{4} < 1 \)) · (c) fallend (\( a = 0.9 < 1 \)) · (d) steigend (\( a = \tfrac{5}{2} > 1 \)).
(a) \( D = \mathbb{R} \), \( W = \mathbb{R}^+ \) · (b) \( D = \mathbb{R} \), \( W = \{ y \mid y > -4 \} \) — die Verschiebung nimmt die Wertemenge mit.
\( (0 \mid 1) \) — denn \( a^0 = 1 \) für jede zulässige Basis \(a\).
(a) \( f(4) = 3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48 \) · (b) \( g(-2) = \left(\tfrac{1}{3}\right)^{-2} = 3^2 = 9 \).
Asymptote \( y = -8 \) (Verschiebung um \(-8\)); Nullstelle: \( 2^x = 8 \Rightarrow x_0 = 3 \).
\( 5^{2x} = \left(5^2\right)^x = 25^x \) — also \( a = 25 \).
\( a^3 = 125 = 5^3 \;\Longrightarrow\; a = 5 \).
Aus \(P\): \( k \cdot a^0 = k = 4 \). Aus \(Q\): \( 4 \cdot a^3 = 32 \Rightarrow a^3 = 8 \Rightarrow a = 2 \). Also \( y = 4 \cdot 2^x \).
\( \tfrac{1}{9} = 3^{-2} \), also \( g(x) = 3^{-2} \cdot 3^x = 3^{x-2} \) — Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts.