Sechs Anwendungsaufgaben aus Technik und Naturwissenschaft, nach zunehmendem Schwierigkeitsgrad geordnet. Die Musterlösungen folgen am Ende des Dokuments. Alle Graphen mit beschrifteten Achsen (Grösse und Einheit) skizzieren.
| Nr. | Bereich | Titel | Schwierigkeit |
|---|---|---|---|
| 1 | Akustik | Schallpegel | ●●○ |
| 2 | Chemie | pH-Wert | ●●○ |
| 3 | Geologie | Erdbeben-Magnitude | ●●○ |
| 4 | Archäologie | C-14-Datierung | ●●● |
| 5 | Finanzmathematik | Verdopplungszeit | ●●● |
| 6 | Elektrotechnik | Entladezeit eines Kondensators | ●●● |
Das Lautstärkeempfinden folgt dem Weber-Fechner-Gesetz \( L = 10 \cdot \lg\dfrac{J}{J_0} \) (\(L\) in Phon, \(J_0\): Hörschwelle).
(a) Ein Düsentriebwerk erreicht \( J = 10^{12} \cdot J_0 \). Berechne \(L\).
(b) Zwei gleich laute Schallquellen verdoppeln die Intensität. Um wie viele Phon steigt der Pegel?
(c) Warum ist eine logarithmische Skala hier sinnvoll?
Der pH-Wert ist definiert als \( \text{pH} = -\lg c \) (\(c\): Wasserstoffionen-Konzentration in mol/l).
(a) Berechne den pH-Wert einer Lösung mit \( c = 2 \cdot 10^{-5} \) mol/l.
(b) Um wie viel ändert sich der pH-Wert, wenn die Konzentration verzehnfacht wird?
(c) Welche Konzentration hat eine Lösung mit pH \(9\)?
Die Magnitude eines Erdbebens ist näherungsweise \( M = \lg\dfrac{A}{A_0} \) (\(A\): Amplitude im Seismogramm, \(A_0\): Referenzamplitude).
(a) Ein Beben hat die tausendfache Referenzamplitude. Berechne \(M\).
(b) Beben B hat Magnitude \(6\), Beben C Magnitude \(4\). Um welchen Faktor unterscheiden sich die Amplituden?
(c) Was bedeutet ein Magnitudenschritt von \(+1\) für die Amplitude?
C-14 zerfällt mit Halbwertszeit \( T = 5730 \) Jahren: \( \dfrac{N(t)}{N_0} = 0.5^{\,t/T} \).
(a) Löse die Gleichung allgemein nach \(t\) auf.
(b) In einem Fund werden noch \(60\) % des ursprünglichen C-14 gemessen. Wie alt ist er?
(c) Warum ist die Methode für sehr junge Funde (unter 100 Jahren) ungenau? Argumentiere mit der Flachheit der Kurve.
Ein Kapital wird zu \(2.5\) % Jahreszins mit Zinseszins angelegt: \( K(n) = K_0 \cdot 1.025^n \).
(a) Leite mit dem Logarithmus eine Formel für die Verdopplungszeit her.
(b) Berechne die Verdopplungszeit.
(c) Faustregel: „Verdopplungszeit \( \approx 70 / p \)" (\(p\) in %). Prüfe die Regel an diesem Beispiel.
Ein Kondensator entlädt sich nach \( U(t) = 9 \cdot e^{-t/3} \) (\(U\) in Volt, \(t\) in Sekunden).
(a) Löse die Gleichung allgemein nach \(t\) auf (Umkehrfunktion).
(b) Nach welcher Zeit ist die Spannung auf \( 0.5 \) V gesunken?
(c) Skizziere \(U(t)\) und die Umkehrfunktion \(t(U)\) — welche Kurventypen entstehen?
(a) \( L = 10 \cdot \lg 10^{12} = 120 \) Phon.
(b) \( \Delta L = 10 \cdot \lg 2 \approx 3 \) Phon — Verdopplung der Intensität gibt immer \(+3\) Phon.
(c) Das Ohr verarbeitet Intensitäten über \(12\) Grössenordnungen; der Logarithmus bildet diese auf eine handliche Skala von \(0\) bis \(120\) ab (Faktoren werden Summanden).
(a) \( \text{pH} = -\lg(2 \cdot 10^{-5}) \approx 4.7 \).
(b) \( -\lg(10 c) = -\lg c - 1 \) — der pH-Wert sinkt um \(1\).
(c) \( c = 10^{-9} \) mol/l (Exponenzieren als Umkehrung).
(a) \( M = \lg 1000 = 3 \).
(b) \( \Delta M = 2 \Rightarrow \) Faktor \( 10^2 = 100 \).
(c) Ein Schritt \(+1\) bedeutet zehnfache Amplitude — die Skala ist logarithmisch.
(a) Logarithmieren: \( t = T \cdot \dfrac{\ln(N/N_0)}{\ln 0.5} \).
(b) \( t = 5730 \cdot \dfrac{\ln 0.6}{\ln 0.5} \approx 4223 \) Jahre.
(c) Nach \(100\) Jahren sind noch \( 0.5^{100/5730} \approx 98.8 \) % vorhanden — die Kurve ist dort fast flach. Kleine Messfehler im Anteil ergeben grosse Fehler in \(t\).
(a) \( 1.025^n = 2 \Rightarrow n = \dfrac{\ln 2}{\ln 1.025} \).
(b) \( n \approx 28.1 \) Jahre.
(c) Faustregel: \( 70 / 2.5 = 28 \) — sehr nahe am exakten Wert \(28.1\); die Regel nutzt \( \ln 2 \approx 0.7 \) und \( \ln(1+p/100) \approx p/100 \) für kleine \(p\).
(a) \( \dfrac{U}{9} = e^{-t/3} \Rightarrow t = -3 \ln\dfrac{U}{9} = 3 \ln\dfrac{9}{U} \).
(b) \( t = 3 \ln\dfrac{9}{0.5} = 3 \ln 18 \approx 8.67 \) s.
(c) \( U(t) \) ist eine fallende Exponentialkurve mit Asymptote \( U = 0 \); die Umkehrfunktion \( t(U) \) ist eine Logarithmuskurve mit vertikaler Asymptote \( U = 0 \) — gespiegelt an der Winkelhalbierenden.