3.4b Logarithmusfunktionen
Logarithmusfunktionen \(f(x) = \log_a x\) sind die Umkehrfunktionen der Exponentialfunktionen: Sie beantworten die Frage „mit welchem Exponenten wird aus der Basis \(a\) der Wert \(x\)?". Hier lernst du, wie der Graph durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden entsteht, welche Eigenschaften sich daraus ergeben, wie Verschieben und Strecken funktioniert — und warum logarithmische Skalen (Lautstärke, pH-Wert, C-14-Datierung) so nützlich sind.
- Exponentialfunktionen \(f : x \longmapsto a^x\) mit \(a \in \mathbb{R}^+,\ a \neq 1\) grafisch darstellen auch ohne Hilfsmittel
- Wachstums-, Zerfalls- und Sättigungsprozesse mit Hilfe von Exponentialfunktionen interpretieren, modellieren, visualisieren und berechnen auch ohne Hilfsmittel
- die natürliche Exponentialfunktion (e-Funktion) visualisieren, Basiswechsel zu beliebiger Basis durchführen auch ohne Hilfsmittel
- die Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion berechnen und visualisieren auch ohne Hilfsmittel
Diese Seite behandelt die vierte Kompetenz: die Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion. Die Exponentialfunktionen als Grundlage werden in Teil 1 (s3-4a) behandelt.
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann die Logarithmusfunktion \(f(x) = \log_a x\) als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion herleiten und ihre Definitions- und Wertemenge angeben.
- Ich kann den Graphen von \(\log_a x\) durch Spiegelung des Graphen von \(a^x\) an der Winkelhalbierenden \(y = x\) konstruieren.
- Ich kann die Nullstelle \(x_0 = 1\), den gemeinsamen Punkt \((1 \mid 0)\) und die vertikale Asymptote aller Logarithmuskurven begründen.
- Ich kann die Wirkung der Parameter in \(k \cdot \log_a(x-u) + v\) beschreiben und weiss, dass Streckung in \(y\)-Richtung einem Basiswechsel entspricht.
- Ich kann jede Logarithmusfunktion mit \(\ln\) oder \(\lg\) schreiben (Basiswechsel) und Umkehrfunktionen von Exponential- und Logarithmusfunktionen berechnen.
- Ich kann logarithmische Skalen in Anwendungen deuten (Lautstärke, pH-Wert, radiometrische Datierung).
Einstieg — die Umkehrfrage
In Teil 1 wuchs eine Bakterienkultur nach \(N(t) = 2^t\) (in Tausend). Dort war die Frage: Wie viele Bakterien sind es nach \(t\) Stunden? Jetzt drehen wir die Frage um:
Wie lange dauert es, bis eine vorgegebene Bakterienzahl \(y\) erreicht ist?
Gesucht ist also der Exponent \(t\) mit \(2^t = y\) — und genau diese Frage beantwortet der Logarithmus:
\[ t = \log_2 y \]Die Wartezeit \(t\) als Funktion der Zielmenge \(y\) ist die Umkehrung des exponentiellen Wachstums:
- Verdopplung der Zielmenge → immer +1 Stunde: Der Logarithmus verwandelt den Faktor \(2\) in den Summanden \(1\).
- Die Kurve steigt anfangs steil und wird immer flacher — genau spiegelbildlich zur Exponentialkurve.
✏️ Mini-Check — Einstieg
Die Zielmenge wird verachtfacht. Um wie viele Stunden wächst die Wartezeit \(t = \log_2 y\)?
- um 8 Stunden
- um 3 Stunden
- um den Faktor 8
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Der Logarithmus \(\log_2 y\) beantwortet die Frage: Mit welchem wird aus der Basis \(2\) der Wert \(y\)?
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Berechne \(\log_2 256\) ohne Taschenrechner.
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Warum ist \(\log_2 y\) für \(y = 0\) oder negative \(y\) nicht definiert?
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Definition — die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion
Die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion erhalten wir in zwei Schritten: Wir lösen \(y = a^x\) durch Logarithmieren nach \(x\) auf und vertauschen anschliessend die Variablen:
\[ y = a^x \;\Longrightarrow\; \log_a y = \log_a a^x = x \qquad \xrightarrow{\ \text{Variablentausch}\ } \qquad f^{-1}:\ y = \log_a x \]Eine Funktion \(f : \mathbb{R}^+ \longrightarrow \mathbb{R}\) mit einer Gleichung der Form
\[ y = f(x) = \log_a x, \qquad a \in \mathbb{R}^+,\quad a \neq 1 \]heisst Logarithmusfunktion mit der Basis \(a\). Sie ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion \(y = a^x\).
Für den Umgang mit Logarithmusfunktionen sind die Logarithmengesetze zentral — sie werden auf der Seite ↩ 1.3 Logarithmen behandelt. Definitions- und Wertemenge tauschen beim Umkehren die Rollen: \(D_{f^{-1}} = W_f = \mathbb{R}^+\) und \(W_{f^{-1}} = D_f = \mathbb{R}\).
Grafisch entsteht der Graph der Umkehrfunktion durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden \(y = x\):
✏️ Mini-Check — Definition und Spiegelung
Welche Definitionsmenge hat die Logarithmusfunktion \(y = \log_a x\)?
- \(D = \mathbb{R}\)
- \(D = \mathbb{R}^+\)
- \(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\)
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Der Graph der Logarithmusfunktion entsteht aus dem Graphen der Exponentialfunktion durch Spiegelung an der .
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Bestimme die Umkehrfunktion von \(f:\ y = 3^x\).
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Der Punkt \(P = (2 \mid 9)\) liegt auf dem Graphen von \(y = 3^x\). Welcher Punkt liegt damit sicher auf dem Graphen von \(y = \log_3 x\)?
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Eigenschaften — alles spiegelbildlich zur Exponentialfunktion
| Eigenschaften | \(y = f(x) = \log_a x\), \(a > 0\) und \(a \neq 1\) | |
|---|---|---|
| Definitionsmenge | \(D = \mathbb{R}^+\) | |
| Wertemenge | \(W = \mathbb{R}\) | |
| Gemeinsamer Punkt | \((1 \mid 0)\) | |
| Ordinatenabschnitt | — | |
| Nullstelle | \(x_0 = 1\) | |
| Symmetrien | keine | |
| Verlauf | \(a > 1\): Kurve steigt von links nach rechts | \(a < 1\): Kurve fällt von links nach rechts |
| Asymptote | \(y\)-Achse (\(x = 0\)) | |
Die log-Leiter — warum der Logarithmus Grössenordnungen misst
Der Logarithmus verwandelt Multiplizieren in Addieren: gleiche Faktoren werden zu gleichen Abständen. Deshalb tragen Skalen für Erdbeben (Richter), Lautstärke (Dezibel) oder Säuregrad (pH) den Logarithmus schon eingebaut. Schiebe den Wert \(x\) und vergleiche seine Lage auf der gewöhnlichen und auf der logarithmischen Achse.
✏️ Mini-Check — Eigenschaften
Welche Aussage trifft auf alle Logarithmusfunktionen \(y = \log_a x\) zu?
- Sie haben die Nullstelle \(x_0 = 1\).
- Sie haben den Ordinatenabschnitt \(y_0 = 1\).
- Die \(x\)-Achse ist Asymptote.
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Die Logarithmuskurve schmiegt sich an die an — sie ist die vertikale Asymptote.
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Berechne \(\log_5 125\) und \(\log_5 \tfrac{1}{5}\) ohne Taschenrechner.
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Hat die Logarithmusfunktion eine horizontale Asymptote? Die Kurve wird doch immer flacher …
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Schieben, Strecken und die ln-Funktion
| Parameter | Wirkung auf den Graphen von \(y = \log_a x\) |
|---|---|
| \(u\) | Verschiebung um \(u\) in \(x\)-Richtung — die vertikale Asymptote wandert mit zu \(x = u\) |
| \(v\) | Verschiebung um \(v\) in \(y\)-Richtung (nach oben für \(v > 0\)) |
| \(|k|\) | Streckung (\(|k| > 1\)) bzw. Stauchung (\(|k| < 1\)) in \(y\)-Richtung |
| \(k < 0\) | zusätzlich Spiegelung an der \(x\)-Achse |
Die Nullstelle der verschobenen Kurve liegt bei \(x_0 = u + a^{-v/k}\).
Eine Streckung des Graphen von \(f(x) = \log_a x\) mit Faktor \(k\) in \(y\)-Richtung lässt sich als Logarithmusfunktion mit neuer Basis schreiben:
\[ h(x) = k \cdot \log_a x = \frac{\log_a x}{\log_a c} = \log_c x \qquad \text{wenn } k \cdot \log_a c = 1 \]Alle Logarithmuskurven sind also nur vertikal gestreckte Kopien voneinander.
Wird das Argument mit \(b\) multipliziert (Streckung um \(\tfrac{1}{b}\) in \(x\)-Richtung), liefern die Logarithmengesetze:
\[ h(x) = \log_a(b \cdot x) = \log_a x + \underbrace{\log_a b}_{v} = \log_a x + v \]Horizontale Streckung und vertikale Verschiebung sind bei Logarithmusfunktionen dieselbe Abbildung — das Gegenstück zur Besonderheit der Exponentialfunktionen aus Teil 1.
Die Logarithmusfunktion mit der irrationalen Basis \(e \approx 2.71828\):
\[ y = f(x) = \log_e x = \ln x \]Mit dem Basiswechsel lässt sich jede Logarithmusfunktion durch die ln-Funktion ausdrücken:
\[ \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} = k \cdot \ln x \qquad \text{mit } k = \frac{1}{\ln a} \]Darum genügen dem Taschenrechner die Tasten ln und log (= \(\lg\), Basis 10).
Gegeben sei \(f:\ y = 5^x - 4\). (a) Berechne die Umkehrfunktion \(f^{-1}\). (b) Wo liegt die Nullstelle von \(f^{-1}\)?
Lösung:
(a) Nach \(x\) auflösen: \(y + 4 = 5^x \Rightarrow x = \log_5(y + 4)\). Variablentausch:
\[ f^{-1}:\ y = \log_5(x + 4) \](b) \(0 = \log_5(x+4) \Rightarrow x + 4 = 5^0 = 1 \Rightarrow x_0 = -3\).
Welche der Funktionen sind identisch? \(f_1(x) = \tfrac{3}{4}\log_5 x\), \(f_2(x) = 3\log_{125} x\), \(f_3(x) = \tfrac{2}{3}\lg x\), \(f_4(x) = 3\log_{625} x\)
Lösung: Basiswechsel auf die Basis \(5\):
\[ f_2(x) = 3 \cdot \frac{\log_5 x}{\log_5 125} = 3 \cdot \frac{\log_5 x}{3} = \log_5 x \qquad f_4(x) = 3 \cdot \frac{\log_5 x}{\log_5 625} = 3 \cdot \frac{\log_5 x}{4} = \tfrac{3}{4}\log_5 x \]Also ist \(f_1 = f_4\). \(f_3\) hat nach dem Basiswechsel den Faktor \(\tfrac{2}{3 \log_5 10}\) — keine Übereinstimmung.
Bestimme die Umkehrfunktion von \(f:\ y = 2\ln(x+5) - 3\).
Lösung: Nach \(x\) auflösen:
\[ y + 3 = 2\ln(x+5) \;\Longrightarrow\; \ln(x+5) = \frac{y+3}{2} \;\Longrightarrow\; x = e^{\frac{y+3}{2}} - 5 \]Variablentausch: \(f^{-1}:\ y = e^{\frac{x+3}{2}} - 5\) — die Umkehrfunktion einer Logarithmusfunktion ist eine Exponentialfunktion.
Der Kaffee aus Teil 1 (3.4a) kühlt nach dem Modell für beschränktes Wachstum \(f(t) = 20 + 60\,e^{-kt}\) mit \(k = \tfrac{\ln 2}{10}\). Nach welcher Zeit ist er auf \(30\,°\text{C}\) abgekühlt?
Lösung: Die Unbekannte steht im Exponenten — nach dem Isolieren der e-Potenz hilft der natürliche Logarithmus:
\[ 30 = 20 + 60\,e^{-kt} \;\Rightarrow\; e^{-kt} = \tfrac{1}{6} \;\Rightarrow\; -kt = \ln\tfrac{1}{6} = -\ln 6 \;\Rightarrow\; t = \frac{\ln 6}{k} = \frac{10\ln 6}{\ln 2} \approx 25.8\ \text{min} \]So löst der Logarithmus die Sättigungsprozesse aus 3.4a nach der Zeit auf.
\(\lg(-10)\) und \(\ln 0\) existieren nicht: Die Definitionsmenge ist \(\mathbb{R}^+\). Bei verschobenen Funktionen wie \(y = \log_2(x-3)\) muss das Argument positiv sein: \(x - 3 > 0\), also \(D = \{x \mid x > 3\}\) — nicht \(x > 0\)!
Die Logarithmuskurve hat keine horizontale Asymptote: \(\ln x\) überschreitet jeden Wert, nur eben sehr spät (\(\ln x = 10\) erst bei \(x = e^{10} \approx 22\,026\)). Beschränkt wachsend und langsam wachsend sind zwei verschiedene Dinge.
Immer gleich vorgehen: (1) Funktionsgleichung nach \(x\) auflösen — bei \(x\) im Exponenten durch Logarithmieren, bei \(x\) im Logarithmus durch Exponenzieren. (2) Variablen \(x\) und \(y\) vertauschen. Kontrolle: Definitions- und Wertemenge müssen die Rollen tauschen.
✏️ Mini-Check — Transformationen und ln-Funktion
Welche vertikale Asymptote hat \(y = \ln(x + 2)\)?
- \(x = 2\)
- \(x = -2\)
- \(y = -2\)
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Jede Logarithmusfunktion lässt sich als \(k \cdot \ln x\) schreiben — mit dem Streckfaktor \(k = \) .
Lösung anzeigen
Bestimme die maximale Definitionsmenge von \(y = \lg(2x - 6)\).
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Zeige, dass \(y = \ln(x^2)\) für \(x > 0\) eine gestreckte ln-Funktion ist. Mit welchem Faktor?
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Aufgaben
Wähle einen Graphen und entscheide, welche Funktionsgleichung dazu passt.
Welche Gleichung gehört zum angezeigten Graphen?
Skizziere die folgenden Graphen von Hand auf Häuschenpapier. Nutze die Nullstelle der Grundfunktion, die Asymptote und je einen weiteren Stützpunkt. Vergleiche danach mit der Lösung.
- \(y = \ln x + 1\)
- \(y = -\lg x\)
- \(y = \log_2(x - 2)\) (mit Asymptote!)
- Blau: \(\ln x\), um \(1\) nach oben verschoben; Nullstelle bei \(x_0 = e^{-1} \approx 0.37\), Asymptote \(x = 0\).
- Grün: \(\lg x\), an der \(x\)-Achse gespiegelt; fällt, Nullstelle bleibt bei \(x_0 = 1\), Asymptote \(x = 0\).
- Violett: \(\log_2 x\), um \(2\) nach rechts verschoben; Asymptote \(x = 2\) (gestrichelt), Nullstelle bei \(x_0 = 3\).
Berechne die Nullstellen von \(f:\ y = \ln x - 1\) und \(g:\ y = \lg(x + 3)\).
- \(\ln x = 1 \Rightarrow x_0 = e^1 = e \approx 2.718\)
- \(\lg(x+3) = 0 \Rightarrow x + 3 = 10^0 = 1 \Rightarrow x_0 = -2\)
Bringe \(y = 3 \cdot \log_2 x\) in die Form \(y = k \cdot \lg x\). Bestimme \(k\).
Jede Logarithmusfunktion ist eine gestreckte \(\lg\)-Funktion.
Die Kurve \(y = k \cdot \log_4 x\) geht durch \(P = \left(\sqrt{2} \,\middle|\, \tfrac{3}{4}\right)\). Bestimme \(k\).
Wegen \(\sqrt{2} = 2^{1/2} = 4^{1/4}\) ist \(\log_4 \sqrt{2} = \tfrac{1}{4}\). Einsetzen:
\[ \tfrac{3}{4} = k \cdot \tfrac{1}{4} \;\Longrightarrow\; k = 3 \]Gegeben ist \(g:\ y = -\tfrac{5}{2} \cdot \lg(x + 3) + 5\). Berechne die Nullstelle und den Ordinatenabschnitt.
Nullstelle: \(-\tfrac{5}{2}\lg(x+3) + 5 = 0 \Rightarrow \lg(x+3) = 2 \Rightarrow x + 3 = 10^2 \Rightarrow x_0 = 97\).
Ordinatenabschnitt: \(y_0 = g(0) = -\tfrac{5}{2}\lg 3 + 5 \approx -2.5 \cdot 0.477 + 5 \approx 3.81\).
Bestimme die Umkehrfunktion von \(f:\ y = 2\ln(x + 5) - 3\) und werte \(f^{-1}(0)\) aus.
Auflösen nach \(x\) (siehe Beispiel 3): \(f^{-1}:\ y = e^{\frac{x+3}{2}} - 5\). Auswerten:
\[ f^{-1}(0) = e^{3/2} - 5 \approx 4.482 - 5 \approx -0.52 \]Der Schallpegel \(L\) (in Dezibel, dB) wächst nicht proportional, sondern logarithmisch zur Schallintensität \(J\):
\[ L = 10 \cdot \lg\frac{J}{J_0} \qquad J_0: \text{Hörschwelle} \]- Welche Lautstärken gehören zu \(J = J_0\), \(J = 10 \cdot J_0\), \(J = 100 \cdot J_0\), \(J = 10^n \cdot J_0\)?
- Ein Motorrad erzeugt \(80\) dB. Welche Schallintensität ist das, ausgedrückt als Vielfaches von \(J_0\)?
- Das Ticken einer Armbanduhr misst \(20\) dB. Um wie viele dB erhöht sich die Lautstärke, wenn zu einer Uhr eine zweite dazukommt? (Intensitäten addieren sich.)
- \(L(J_0) = 10 \lg 1 = 0\), \(L(10 J_0) = 10\), \(L(100 J_0) = 20\), allgemein \(L(10^n J_0) = 10n\) dB — jede Verzehnfachung der Intensität gibt \(+10\) dB.
- \(80 = 10 \lg\frac{J}{J_0} \Rightarrow \lg\frac{J}{J_0} = 8 \Rightarrow J = 10^8 \cdot J_0\) — hundert Millionen Mal die Hörschwelle.
- Zwei Uhren: \(L = 10\lg\frac{2 J_1}{J_0} = 10\lg\frac{J_1}{J_0} + 10\lg 2 \approx 20 + 3.01\) — der Zuwachs beträgt nur \(\approx 3\) dB, obwohl sich die Intensität verdoppelt. (Bei \(100\) Uhren bringt eine weitere sogar nur noch \(10\lg\frac{101}{100} \approx 0.04\) dB.)
Der pH-Wert einer Lösung ist der negative Zehnerlogarithmus der Wasserstoffionen-Konzentration \(c\) (in mol/l):
\[ \text{pH} = -\lg c \]- Reines Wasser hat \(c = 10^{-7}\) mol/l. Berechne den pH-Wert.
- Essig hat einen pH-Wert von \(2.5\). Berechne die Konzentration \(c\).
- Um welchen Faktor ist die Konzentration bei pH \(4\) grösser als bei pH \(7\)?
- \(\text{pH} = -\lg 10^{-7} = 7\) — neutral.
- \(2.5 = -\lg c \Rightarrow c = 10^{-2.5} \approx 0.00316\) mol/l (Umkehrung: Exponenzieren).
- \(\dfrac{10^{-4}}{10^{-7}} = 10^{3} = 1000\) — drei pH-Stufen sind Faktor \(1000\): Die pH-Skala ist logarithmisch.
Das radioaktive Kohlenstoffisotop C-14 zerfällt mit einer Halbwertszeit von \(5730\) Jahren. Für den verbleibenden Anteil gilt:
\[ \frac{N(t)}{N_0} = 0.5^{\,t/5730} \]- Kontrolliere: Welcher Anteil ist nach \(5730\) Jahren übrig?
- In einem Fundstück werden noch \(70\) % des ursprünglichen C-14-Gehalts gemessen. Wie alt ist es? (Nach \(t\) auflösen — logarithmieren!)
- Warum braucht diese Rechnung zwingend den Logarithmus?
- \(0.5^{5730/5730} = 0.5^1 = 0.5\) — die Hälfte, wie es die Halbwertszeit verlangt. ✓
- \(0.5^{t/5730} = 0.7\). Logarithmieren: \(\dfrac{t}{5730} = \log_{0.5} 0.7 = \dfrac{\ln 0.7}{\ln 0.5} \approx 0.5146\), also \(t \approx 5730 \cdot 0.5146 \approx 2949\) Jahre.
- Die Unbekannte \(t\) steht im Exponenten — nur der Logarithmus holt sie herunter. Ohne ihn bliebe nur systematisches Probieren.
Alle Logarithmusfunktionen sind vertikal gestreckte Kopien voneinander — dieselbe Kurve kann darum unter verschiedenen Namen auftreten.
- Zeige allgemein: Jede Funktion \(y = \log_a x\) lässt sich in der Form \(y = k \cdot \lg x\) schreiben. Wie hängt \(k\) von \(a\) ab?
- Welche der folgenden Funktionen sind identisch? \(g_1(x) = \tfrac{1}{2}\log_3 x\), \(g_2(x) = 2\log_{81} x\), \(g_3(x) = 3\log_{27} x\)
- Erkläre, warum dem Taschenrechner die zwei Tasten
lnundloggenügen, um jeden Logarithmus zu berechnen.
- Basiswechsel: \(\log_a x = \dfrac{\lg x}{\lg a} = k \cdot \lg x\) mit \(k = \dfrac{1}{\lg a}\).
- Basiswechsel auf Basis \(3\): \(g_2(x) = 2 \cdot \dfrac{\log_3 x}{\log_3 81} = 2 \cdot \dfrac{\log_3 x}{4} = \tfrac{1}{2}\log_3 x\) und \(g_3(x) = 3 \cdot \dfrac{\log_3 x}{\log_3 27} = 3 \cdot \dfrac{\log_3 x}{3} = \log_3 x\). Also ist \(g_1 = g_2\), während \(g_3\) doppelt so stark gestreckt ist.
- Jeder Logarithmus ist ein Quotient zweier natürlicher (oder Zehner-) Logarithmen: \(\log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a}\). Beispiel: \(\log_7 50 = \dfrac{\ln 50}{\ln 7} \approx 2.01\).
Zusammenfassung
Die Logarithmusfunktion \(y = \log_a x\) ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion: Ihr Graph ist die an der Winkelhalbierenden \(y = x\) gespiegelte Exponentialkurve. Dabei tauschen alle Eigenschaften die Rollen — aus \((0 \mid 1)\) wird \((1 \mid 0)\), aus der horizontalen die vertikale Asymptote, aus \(D = \mathbb{R}\) wird \(D = \mathbb{R}^+\). Der Logarithmus macht aus Faktoren Summanden; alle Logarithmuskurven sind vertikal gestreckte Kopien voneinander (\(\log_a x = \tfrac{\ln x}{\ln a}\)).
| Eigenschaft | \(y = a^x\) (Teil 1) | \(y = \log_a x\) (Teil 2) |
|---|---|---|
| \(D\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}^+\) |
| \(W\) | \(\mathbb{R}^+\) | \(\mathbb{R}\) |
| Gemeinsamer Punkt | \((0 \mid 1)\) | \((1 \mid 0)\) |
| Nullstelle | — | \(x_0 = 1\) |
| Asymptote | \(x\)-Achse (\(y = 0\)) | \(y\)-Achse (\(x = 0\)) |
| Verlauf \(a > 1\) | steigend, immer steiler | steigend, immer flacher |
| Spezialfall Basis \(e\) | \(e^x\) (e-Funktion) | \(\ln x\) (ln-Funktion) |
Clips
Clips zu den Animationen — was jede Animation zeigt
Transkripte — der gesprochene Text zum Mitlesen
Wartezeit: jede Verdopplung kostet eine Stunde
- 0:00Eine Bakterienkultur wächst nach zwei hoch t. Wie lange dauert es, bis eine Zielmenge y erreicht ist? Die Antwort ist der Logarithmus zur Basis zwei von y.
- 0:11Von sechzehn auf zweiunddreissig Tausend steigt die Wartezeit von vier auf fünf Stunden. Denn zwei hoch fünf ist zweiunddreissig.
- 0:20Von zweiunddreissig auf vierundsechzig: wieder genau eine Stunde mehr, jetzt sechs. Der Logarithmus macht aus dem Faktor zwei den Summanden eins.
- 0:30Von fünfhundertzwölf auf tausend Tausend ist knapp eine Verdopplung, und die Wartezeit wächst um knapp eine Stunde, auf neun Komma neun sieben. Die Kurve wird flacher, doch jede weitere Verdopplung bringt wieder eine Stunde.
- 0:43Merke: Der Logarithmus macht aus Faktoren Summanden. Jede Verdopplung kostet eine Stunde. Die Kurve wird flacher, wächst aber über alle Grenzen.
Spiegelung an y = x: aus (0 | 1) wird (1 | 0)
- 0:00Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Ihr Graph entsteht durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden. Was wird dabei aus dem Punkt null eins?
- 0:11Zwei hoch x läuft durch null eins. Die Spiegelung an der Winkelhalbierenden vertauscht die Koordinaten: Der Punkt landet bei eins null. Darum hat Logarithmus zwei von x die Nullstelle eins.
- 0:22Mit der Basis zehn bleibt das Punktepaar gleich. Die x-Achse, an die sich zehn hoch x links anschmiegt, wird durch die Spiegelung zur y-Achse: An sie schmiegt sich die Logarithmuskurve nach unten.
- 0:33Bei der Basis ein Halb fallen beide Kurven. Trotzdem wird null eins zu eins null, und die Logarithmuskurve schmiegt sich an die y-Achse, diesmal nach oben.
- 0:43Merke: Die Spiegelung an y gleich x vertauscht die Koordinaten. Darum hat jede Logarithmuskurve die Nullstelle eins, und aus der waagrechten Asymptote wird die senkrechte, die y-Achse.
Log-Typen: je grösser die Basis, desto flacher
- 0:00Die Animation zeigt sechs Logarithmusfunktionen, eine nach der anderen. Welche steigt am langsamsten, und was haben alle gemeinsam?
- 0:09Logarithmus zwei von x läuft durch eins null und schmiegt sich links an die y-Achse. Bei x gleich acht ist der Wert drei, denn zwei hoch drei ist acht.
- 0:20Der Zehnerlogarithmus steigt viel langsamer: Bei acht ist er erst null Komma neun null. Logarithmus fünf liegt mit eins Komma zwei neun dazwischen. Je grösser die Basis, desto flacher die Kurve.
- 0:31Mit der Basis ein Halb fällt die Kurve: Bei acht ist der Wert minus drei, das Gegenteil von Logarithmus zwei. Sie ist die an der x-Achse gespiegelte Kurve.
- 0:41Merke: Alle Logarithmuskurven laufen durch eins null und haben die y-Achse als Asymptote. Je grösser die Basis, desto flacher. Eine Basis unter eins spiegelt die Kurve an der x-Achse.
log-Leiter: Verzehnfachen ist ein fester Schritt
- 0:00Zwei Achsen, dieselben Zahlen: oben gleichmässig von null bis tausend, unten logarithmisch von eins bis tausend. Wie weit springt der Zeiger, wenn man x verzehnfacht?
- 0:10Von eins auf zehn: Oben kommt der Zeiger kaum vom Anfang weg, er steht bei einem Prozent der Achse. Unten springt er schon ein Drittel weit, der Logarithmus ist eins.
- 0:21Von zehn auf hundert: Unten wieder genau ein Drittel weiter. Oben ist der Sprung zehnmal so gross wie vorher, und trotzdem steht der Zeiger erst bei zehn Prozent.
- 0:30Von hundert auf tausend: Oben springt der Zeiger über neunzig Prozent der Achse bis ans Ende. Unten ist es wieder derselbe Schritt, ein Drittel.
- 0:40Merke: Auf der logarithmischen Achse ist mal zehn immer derselbe Schritt nach rechts. Der Abstand vom Anfang ist der Zehnerlogarithmus. So macht der Logarithmus Grössenordnungen sichtbar.
Verschobene Log-Kurve: wohin Asymptote und Nullstelle wandern
- 0:00Die Kurve y gleich Logarithmus a von x minus u plus v lässt sich waagrecht und senkrecht verschieben. Wohin wandern dabei die Asymptote und die Nullstelle?
- 0:11Mit u gleich zwei rückt die ganze Kurve um zwei nach rechts, und mit ihr die senkrechte Asymptote: Sie liegt jetzt bei x gleich zwei. Die Nullstelle wandert von eins nach drei.
- 0:21v gleich eins hebt die Kurve um eins an. Die Nullstelle rückt näher an die Asymptote, auf zwei Komma fünf. Der Abstand ist nur noch ein halb.
- 0:30Bei der Basis zehn schrumpft der Abstand bei demselben Schritt auf ein Zehntel: Die Nullstelle liegt bei zwei Komma eins, ganz dicht an der Asymptote.
- 0:40Merke: Die Asymptote liegt bei x gleich u. Die Nullstelle liegt bei u plus a hoch minus v. Jeder Schritt in v multipliziert ihren Abstand zur Asymptote mit eins durch a.
Radiokarbon: jede Halbierung kostet 5730 Jahre
- 0:00Kohlenstoff vierzehn zerfällt mit der Halbwertszeit T gleich fünftausendsiebenhundertdreissig Jahre. Aus dem Restanteil soll das Alter werden. Dafür lösen wir nach t auf, mit dem Logarithmus zur Basis ein Halb.
- 0:12Bei fünfzig Prozent ist der Restanteil einmal halbiert. Das Alter ist genau eine Halbwertszeit, fünftausendsiebenhundertdreissig Jahre.
- 0:21Von fünfzig auf fünfundzwanzig Prozent vergehen wieder fünftausendsiebenhundertdreissig Jahre, gleich viel wie von hundert auf fünfzig. Das Alter ist elftausendvierhundertsechzig Jahre.
- 0:33Bei dreiundfünfzig Prozent ist noch nicht einmal halbiert, die Probe ist jünger als eine Halbwertszeit. Den Zwischenwert liefert der Logarithmus: rund fünftausendzweihundertachtundvierzig Jahre.
- 0:45Merke: Jede Halbierung des Restanteils kostet eine Halbwertszeit. Das Alter liefert der Logarithmus: T mal Logarithmus des Restanteils durch Logarithmus von ein Halb.
Log-Graph erkennen: Asymptote, Nullstelle, Richtung
- 0:00In Aufgabe A1 ordnest du vier Graphen ihren Gleichungen zu. Das Vorgehen: zuerst die senkrechte Asymptote und die Nullstelle suchen, dann prüfen, ob die Kurve steigt oder fällt.
- 0:11Graph drei schmiegt sich an die Gerade x gleich zwei und schneidet die x-Achse bei drei. Asymptote und Nullstelle sind um zwei nach rechts gerückt.
- 0:21Graph zwei hat die Nullstelle eins und die y-Achse als Asymptote, fällt aber. Also ist die Basis kleiner als eins: y gleich Logarithmus ein Halb von x. Probe: Bei zwei ist der Wert minus eins.
- 0:34Graph vier hat keine senkrechte, sondern eine waagrechte Asymptote, die x-Achse, und läuft durch null eins. Das ist keine Logarithmusfunktion, sondern zwei hoch x.
- 0:45Merke: Jede Funktion Logarithmus a von x hat die Nullstelle eins und die y-Achse als senkrechte Asymptote. Eine Basis unter eins lässt sie fallen, eine Verschiebung um u nimmt Asymptote und Nullstelle mit.
Logarithmusfunktionen: die gespiegelte Exponentialfunktion
- 0:00Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrung der Exponentialfunktion. Ihr Graph entsteht durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden — und damit vertauscht sich alles.
- 0:09Konkret: Was bei der Exponentialfunktion die Definitionsmenge war, ist hier die Wertemenge — und umgekehrt. Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert, liefert dafür jede reelle Zahl.
- 0:21Auch die Asymptote kippt mit: Bei der Exponentialfunktion war es die waagrechte x-Achse, hier ist es die senkrechte y-Achse.
- 0:30Ein Punkt liegt fest: Jede Logarithmusfunktion geht durch eins und null. Denn log von eins ist null, bei jeder Basis.
- 0:38Zum Mitnehmen: Umkehrfunktion heisst gespiegelt, und gespiegelt heisst vertauscht — Definitions- und Wertemenge, Achse und Asymptote, und die Koordinaten der festen Punkte.
Zusatzmaterial
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