Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion \( y = a^x \) entsteht durch Auflösen nach \(x\) (Logarithmieren) und Variablentausch:
\[ y = a^x \;\Longrightarrow\; x = \log_a y \qquad \Longrightarrow \qquad f^{-1}:\ y = \log_a x \]Eine Funktion \( f : \mathbb{R}^+ \longrightarrow \mathbb{R} \) mit einer Gleichung der Form
\[ y = f(x) = \log_a x, \qquad a \in \mathbb{R}^+,\quad a \neq 1 \]heisst Logarithmusfunktion mit der Basis \(a\).
Der Graph ist die an der Winkelhalbierenden \( y = x \) gespiegelte Exponentialkurve — alle Eigenschaften folgen aus dieser Spiegelung.
| Eigenschaften | \( y = \log_a x \), \( a > 0 \), \( a \neq 1 \) | |
|---|---|---|
| Definitionsmenge | \( D = \mathbb{R}^+ \) | |
| Wertemenge | \( W = \mathbb{R} \) | |
| Gemeinsamer Punkt | \( (1 \mid 0) \), denn \( \log_a 1 = 0 \) | |
| Nullstelle | \( x_0 = 1 \) | |
| Verlauf | \( a > 1 \): steigend, immer flacher | \( a < 1 \): fallend |
| Asymptote | \(y\)-Achse (\( x = 0 \)) | |
Ausgangsfunktion \( y = \log_a x \), Bildfunktion \( y = k \cdot \log_a(x-u) + v \):
| Parameter | Wirkung |
|---|---|
| \(u\) | Verschiebung in \(x\)-Richtung — die vertikale Asymptote wandert mit zu \( x = u \) |
| \(v\) | Verschiebung in \(y\)-Richtung |
| \(|k|\) | Streckung (\(|k| > 1\)) bzw. Stauchung (\(|k| < 1\)) in \(y\)-Richtung |
| \(k < 0\) | zusätzlich Spiegelung an der \(x\)-Achse |
Streckung in \(y\) = Basiswechsel: \( k \cdot \log_a x = \log_c x \), wenn \( k \cdot \log_a c = 1 \). Alle Logarithmuskurven sind vertikal gestreckte Kopien voneinander.
Streckung in \(x\) = Verschiebung in \(y\): \( \log_a(b \cdot x) = \log_a x + \log_a b = \log_a x + v \) mit \( v = \log_a b \).
Logarithmusfunktion mit der irrationalen Basis \( e \approx 2.71828 \): \( y = \log_e x = \ln x \). Basiswechsel:
\[ \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} = k \cdot \ln x \qquad \text{mit } k = \frac{1}{\ln a} \]Vorgehen: (1) Funktionsgleichung nach \(x\) auflösen — bei \(x\) im Exponenten durch Logarithmieren, bei \(x\) im Logarithmus durch Exponenzieren. (2) Variablen vertauschen. Kontrolle: \(D\) und \(W\) tauschen die Rollen.
Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion: Spiegelung an \( y = x \) vertauscht \( (0 \mid 1) \leftrightarrow (1 \mid 0) \), horizontale und vertikale Asymptote sowie \(D\) und \(W\). Der Logarithmus macht aus Faktoren Summanden — darum eignet er sich für Skalen über viele Grössenordnungen (Phon, pH, Magnitude).