12 Aufgaben mit ansteigendem Schwierigkeitsgrad. Bearbeite alle Aufgaben in einem Zug, ohne in die Lösungen zu schauen — diese stehen am Ende. Hilfsmittel: nur Formelsammlung Promath. Zeitvorgabe: ca. 45 Minuten.
Vervollständige die Aussage und schreibe in die Lücken:
Berechne:
(a) \( \log_2 32 \) (b) \( \log_3 \dfrac{1}{9} \) (c) \( \lg 10\,000 \) (d) \( \ln e \)
Gib die Umkehrfunktion an:
(a) \( y = 4^x \) (b) \( y = \lg x \)
Gib \(D\) und \(W\) an:
(a) \( y = \log_5 x \) (b) \( y = \ln(x - 2) \)
Durch welchen Punkt verlaufen alle Logarithmuskurven \( y = \log_a x \)? Begründe.
Entscheide ohne zu zeichnen, ob die Kurve steigt oder fällt:
(a) \( y = \log_3 x \) (b) \( y = \log_{1/3} x \) (c) \( y = -\ln x \)
Der Graph von \( y = \ln x \) wird um \(2\) Einheiten nach rechts und \(1\) Einheit nach oben verschoben. Gib die Gleichung der Bildfunktion und ihre vertikale Asymptote an.
Bestimme die Nullstelle von \( f(x) = \log_2 x - 3 \).
Schreibe \( y = \log_4 x \) in der Form \( y = k \cdot \ln x \). Bestimme \(k\) auf drei Dezimalen.
Die Kurve \( y = k \cdot \log_2 x \) geht durch \( P(8 \mid 6) \). Bestimme \(k\).
Der Punkt \( P(3 \mid 8) \) liegt auf dem Graphen von \( y = 2^x \). Gib ohne Rechnung einen Punkt des Graphen von \( y = \log_2 x \) an und begründe.
Zeige durch Basiswechsel, dass \( f(x) = 2 \cdot \log_9 x \) und \( g(x) = \log_3 x \) identisch sind.
\( f(x) = \log_a x \) ist die Umkehrfunktion von \( y = a^x \); \( D = \mathbb{R}^+ \), Nullstelle \( x_0 = 1 \).
(a) \( 2^5 = 32 \Rightarrow 5 \) · (b) \( 3^{-2} = \tfrac{1}{9} \Rightarrow -2 \) · (c) \( 10^4 \Rightarrow 4 \) · (d) \( e^1 = e \Rightarrow 1 \).
(a) \( y = \log_4 x \) · (b) \( y = 10^x \) — die Umkehrfunktion der Logarithmusfunktion ist eine Exponentialfunktion.
(a) \( D = \mathbb{R}^+ \), \( W = \mathbb{R} \) · (b) \( x - 2 > 0 \Rightarrow D = \{ x \mid x > 2 \} \), \( W = \mathbb{R} \).
\( (1 \mid 0) \) — denn \( \log_a 1 = 0 \) für jede zulässige Basis (\( a^0 = 1 \)).
(a) steigend (\( a = 3 > 1 \)) · (b) fallend (\( a < 1 \)) · (c) fallend — \( \ln x \) an der \(x\)-Achse gespiegelt.
\( y = \ln(x-2) + 1 \); vertikale Asymptote \( x = 2 \).
\( \log_2 x = 3 \Rightarrow x_0 = 2^3 = 8 \).
\( \log_4 x = \dfrac{\ln x}{\ln 4} \approx 0.721 \cdot \ln x \) — also \( k = \dfrac{1}{\ln 4} \approx 0.721 \).
\( \log_2 8 = 3 \), also \( 6 = k \cdot 3 \Rightarrow k = 2 \).
\( P'(8 \mid 3) \) — die Spiegelung an \( y = x \) vertauscht die Koordinaten. Kontrolle: \( \log_2 8 = 3 \) ✓
\( f(x) = 2 \cdot \log_9 x = 2 \cdot \dfrac{\log_3 x}{\log_3 9} = 2 \cdot \dfrac{\log_3 x}{2} = \log_3 x = g(x) \) ✓