Sechs Anwendungsaufgaben aus Technik und Naturwissenschaft, nach zunehmendem Schwierigkeitsgrad geordnet. Die Musterlösungen folgen am Ende des Dokuments. Taschenrechner im RAD-Modus! Alle Graphen mit beschrifteten Achsen (Grösse und Einheit) skizzieren.
| Nr. | Bereich | Titel | Schwierigkeit |
|---|---|---|---|
| 1 | Elektrotechnik | Netzspannung | ●●○ |
| 2 | Geografie | Gezeiten | ●●○ |
| 3 | Mechanik | Federpendel | ●●○ |
| 4 | Akustik | Kammerton a | ●●● |
| 5 | Astronomie | Tageslänge im Jahresverlauf | ●●● |
| 6 | Mechanik | Sekundenpendel | ●●● |
Die Spannung im Stromnetz verläuft sinusförmig: \( U(t) = 325 \cdot \sin(100\pi\, t) \) (\(U\) in Volt, \(t\) in Sekunden).
(a) Gib Amplitude, Periodendauer und Frequenz an.
(b) Berechne die Spannung zum Zeitpunkt \( t = 0.002 \) s.
(c) Die Netzspannung wird mit «230 V» angegeben, die Amplitude beträgt aber 325 V. Woran könnte das liegen? (Stichwort: Effektivwert — keine Rechnung verlangt.)
In einem Hafen schwankt der Wasserstand näherungsweise sinusförmig: \( h(t) = 5 + 3 \cdot \sin\left(\tfrac{2\pi}{12.4}\, t\right) \) (\(h\) in m, \(t\) in Stunden seit Mittelwasser bei steigender Flut).
(a) Gib mittleren Wasserstand, Tidenhub (Differenz Hoch-/Niedrigwasser) und Periode an.
(b) Berechne den Wasserstand nach \( 3.1 \) Stunden.
(c) Wie viele Stunden nach \( t = 0 \) tritt das erste Niedrigwasser ein?
Eine Masse an einer Feder schwingt harmonisch: \( y(t) = 8 \cdot \sin(4\pi\, t) \) (\(y\) in cm, \(t\) in s).
(a) Gib Amplitude, Kreisfrequenz, Periodendauer und Frequenz an.
(b) Berechne die Auslenkung nach \( 0.1 \) s.
(c) Zu welchen Zeitpunkten ist die Auslenkung maximal?
Der Kammerton a ist eine Schallschwingung mit der Frequenz \( f = 440 \) Hz.
(a) Berechne Periodendauer und Kreisfrequenz.
(b) Gib die Funktionsgleichung \( p(t) = A \sin(\omega t) \) für die Amplitude \( A = 0.2 \) Pa an.
(c) Die Oktave darüber hat die doppelte Frequenz. Wie ändern sich \(T\) und \(\omega\)?
Die Tageslänge (Sonnenaufgang bis -untergang) lässt sich näherungsweise beschreiben durch \( L(d) = 12.2 + 4.3 \cdot \sin\left(\tfrac{2\pi}{365}(d - 80)\right) \) (\(L\) in Stunden, \(d\): Tag des Jahres).
(a) Gib den kürzesten und den längsten Tag (Stundenzahl) sowie die Periode an.
(b) An welchem Tag \(d\) ist der Tag am längsten?
(c) Berechne die Tageslänge am Tag \( d = 355 \) (21. Dezember).
Ein Uhrenpendel schwingt mit Periodendauer \( T = 2 \) s und maximaler Auslenkung \( 3 \) cm. Beim Start (\( t = 0 \)) ist die Auslenkung maximal.
(a) Bestimme \(\omega\) und den Phasenwinkel \(\varphi\) in \( x(t) = A\sin(\omega t + \varphi) \).
(b) Zeige, dass sich die Schwingung auch als \( x(t) = 3\cos(\pi t) \) schreiben lässt.
(c) Wo befindet sich das Pendel bei \( t = 0.5 \) s und bei \( t = 1 \) s?
(a) Amplitude \( 325 \) V; \( \omega = 100\pi \Rightarrow T = \tfrac{2\pi}{100\pi} = 0.02 \) s; \( f = \tfrac{1}{T} = 50 \) Hz.
(b) \( U(0.002) = 325\sin(0.2\pi) \approx 191 \) V.
(c) 230 V ist der Effektivwert — ein zeitlicher Mittelwert der Leistung; die Spitzenspannung (Amplitude) ist um den Faktor \( \sqrt{2} \) grösser: \( 230 \cdot \sqrt{2} \approx 325 \) V.
(a) Mittelwasser \( 5 \) m; Tidenhub \( 2 \cdot 3 = 6 \) m; Periode \( 12.4 \) h.
(b) \( t = 3.1 = \tfrac{12.4}{4} \): Argument \( = \tfrac{\pi}{2} \), also \( h = 5 + 3 = 8 \) m — Hochwasser.
(c) Niedrigwasser beim Argument \( \tfrac{3\pi}{2} \): \( t = \tfrac{3}{4} \cdot 12.4 = 9.3 \) h.
(a) \( A = 8 \) cm; \( \omega = 4\pi \approx 12.57\ \text{s}^{-1} \); \( T = \tfrac{2\pi}{4\pi} = 0.5 \) s; \( f = 2 \) Hz.
(b) \( y(0.1) = 8\sin(0.4\pi) \approx 7.61 \) cm.
(c) Beim Argument \( \tfrac{\pi}{2} + 2k\pi \): \( t = 0.125 + 0.5k \) s (\( k \in \mathbb{N}_0 \)).
(a) \( T = \tfrac{1}{440} \approx 0.00227 \) s; \( \omega = 2\pi \cdot 440 \approx 2765\ \text{rad/s} \).
(b) \( p(t) = 0.2 \cdot \sin(2765\, t) \) [Pa].
(c) Doppelte Frequenz (880 Hz): \(T\) halbiert sich, \(\omega\) verdoppelt sich (\( \omega \approx 5529\ \text{rad/s} \)).
(a) Kürzester Tag \( 12.2 - 4.3 = 7.9 \) h, längster \( 12.2 + 4.3 = 16.5 \) h; Periode \( 365 \) Tage.
(b) Maximum beim Argument \( \tfrac{\pi}{2} \): \( d = 80 + \tfrac{365}{4} \approx 171 \) (etwa 20. Juni — Sommersonnenwende).
(c) \( L(355) = 12.2 + 4.3\sin\left(\tfrac{2\pi \cdot 275}{365}\right) \approx 7.9 \) h — der kürzeste Tag.
(a) \( \omega = \tfrac{2\pi}{T} = \pi\ \text{s}^{-1} \); Start am Maximum: \( \sin\varphi = 1 \Rightarrow \varphi = \tfrac{\pi}{2} \); also \( x(t) = 3\sin\left(\pi t + \tfrac{\pi}{2}\right) \).
(b) Kongruenz: \( \sin\left(x + \tfrac{\pi}{2}\right) = \cos x \), also \( x(t) = 3\cos(\pi t) \).
(c) \( x(0.5) = 3\cos\tfrac{\pi}{2} = 0 \) (Nulldurchgang); \( x(1) = 3\cos\pi = -3 \) cm (Gegenseite, maximal ausgelenkt).