3.5 Trigonometrische Funktionen

Riesenrad: alle 12 Minuten dieselbe Höhe

1. 0:00Eine Kabine im Riesenrad fährt zwei volle Umdrehungen. Wo ändert sich ihre Höhe schnell, wo kaum? Und wann wiederholt sich alles?
2. 0:09Eingestiegen wird auf fünf Metern. Nach einer Minute ist die Kabine erst rund neun Meter hoch, also nur vier Meter gestiegen. Unten ist die Kurve flach, oben zwischen Minute fünf und sechs genauso.
3. 0:21Nach drei Minuten ist die Kabine auf halber Höhe, fünfunddreissig Meter. In der Minute davor ist sie fünfzehn Meter gestiegen. Hier ist die Kurve am steilsten.
4. 0:31Nach vierzehn Minuten ist die Kabine zwanzig Meter hoch, genau wie nach zwei Minuten. Dazwischen liegt eine ganze Umdrehung von zwölf Minuten.
5. 0:41Merke: Nach zwölf Minuten wiederholt sich alles, h von t plus zwölf ist gleich h von t. Die Kurve ist periodisch mit der Periodendauer zwölf Minuten. Am Hoch- und Tiefpunkt ändert sich die Höhe kaum, auf halber Höhe am schnellsten.

Einheitskreis abrollen: die rote Strecke und der Pol

1. 0:00Links dreht sich der Punkt P auf dem Einheitskreis, rechts entsteht die Kurve. Woher kommt der Funktionswert, und warum reisst der Tangens ab?
2. 0:09Beim Winkel sieben pi Zwölftel liegt P links oben. Seine Höhe, die rote Strecke, ist rund null Komma neun sieben. Genau diesen Wert trägt die Kurve rechts ab.
3. 0:19Beim Tangens verlängert man den Radius bis zur Tangente bei x gleich eins. Die rote Strecke dort ist der Funktionswert: bei fünf pi Zwölftel schon rund drei Komma sieben drei. Sie reicht über das Bild hinaus.
4. 0:32Bei pi Halbe zeigt der Radius senkrecht nach oben, parallel zur Tangente. Es gibt keinen Schnittpunkt, der Tangens ist dort nicht definiert. Die Kurve rechts hat einen Pol und wiederholt sich schon nach pi.
5. 0:44Merke: Sinus und Cosinus pendeln zwischen minus eins und eins und wiederholen sich nach zwei pi, einer vollen Umdrehung. Der Tangens wächst gegen pi Halbe über alle Grenzen, dort hat er einen Pol. Seine Periode ist nur pi.

Drei Graphen nebeneinander: Nullstellen, Pole, Versatz

1. 0:00Drei Winkelfunktionen, drei Graphen. Wo werden sie null, wo springen sie, und wie hängen Sinus und Cosinus zusammen?
2. 0:09Die Sinuskurve schneidet die x-Achse bei null, bei plus minus pi und bei plus minus zwei pi. Allgemein bei k mal pi.
3. 0:19Die grüne Cosinuskurve schneidet die x-Achse genau in der Mitte dazwischen, bei pi Halbe plus k mal pi. Sie ist die blaue Sinuskurve, um pi Halbe nach links geschoben: Der Hochpunkt bei pi Halbe wandert nach null.
4. 0:32Der Tangens hat Pole bei pi Halbe plus k mal pi, dort, wo der Cosinus null ist. Links vom Pol steigt er gegen plus unendlich, rechts davon kommt er von minus unendlich. Schon nach pi wiederholt sich die Kurve.
5. 0:46Merke: Die Nullstellen von Sinus und Cosinus sind um pi Halbe versetzt. Der Cosinus ist die um pi Halbe nach links geschobene Sinuskurve. Der Tangens springt an jedem Pol von plus unendlich nach minus unendlich und hat die Periode pi.

Sinus-Baukasten: grösseres b, kürzere Periode

1. 0:00Im Baukasten veränderst du vier Parameter der Sinuskurve. Welcher streckt, welcher staucht, welcher schiebt?
2. 0:09Mit a gleich zwei liegen die Hochpunkte bei zwei, die Tiefpunkte bei minus zwei. Die Kurve wird nur senkrecht gestreckt: Nullstellen und Periode bleiben wie beim grauen Sinus.
3. 0:20Mit b gleich zwei passen doppelt so viele Wellen ins Bild. Die Periode ist zwei pi durch zwei, also pi. Ein grösseres b macht die Periode kürzer, nicht länger.
4. 0:30Jetzt u gleich pi Halbe und v gleich eins. Die Kurve schwingt um die gestrichelte Mittellinie y gleich eins, zwischen null und zwei. u schiebt das Wellenmuster um pi Halbe nach rechts, die Form bleibt.
5. 0:43Merke: a streckt nur senkrecht und ist die Amplitude. b staucht waagrecht: Die Periode ist zwei pi durch b, ein grösseres b gibt eine kürzere Periode. Die Kurve schwingt um die Mittellinie y gleich v, und u schiebt sie seitlich.

Zeiger und Welle: eine Umdrehung, eine Periode

1. 0:00Links dreht sich ein Zeiger, rechts wächst eine Welle. Wie hängen die beiden zusammen?
2. 0:09Der Zeiger hat die Länge zwei und steht bei zweihundert Grad. Seine Spitze liegt rund null Komma sechs acht unter der Mittellinie. Die gestrichelte Linie trägt genau diese Höhe in die Kurve ein.
3. 0:21Nach dreihundertsechzig Grad, also zwei pi, steht der Zeiger wieder am Anfang. Eine Umdrehung hat genau eine ganze Welle gezeichnet.
4. 0:31Mit einem Zeiger der Länge drei und vierhundertfünfzig Grad zeigt die Spitze senkrecht nach oben. Die Kurve erreicht ihren grössten Ausschlag: drei. Die Zeigerlänge ist die Amplitude.
5. 0:42Merke: Die Sinuskurve ist die Höhe eines rotierenden Zeigers über der Zeit. Eine volle Umdrehung, zwei pi, ergibt eine Periode. Die Zeigerlänge A ist die Amplitude, der grösste Ausschlag.

Winkelfunktion erkennen: Startwert, Höhe, Periode

1. 0:00In Aufgabe A1 ordnest du einem Graphen seine Gleichung zu. Drei Merkmale genügen: der Startwert, der Höchstwert und die Periode.
2. 0:09Zuerst der Startwert: Graph zwei beginnt bei x gleich null auf eins. Das ist der Cosinus. Der Sinus würde bei null starten.
3. 0:19Graph vier startet bei null, also Sinus. Er pendelt aber zwischen minus zwei und zwei: Der Faktor vor dem Sinus ist die Amplitude zwei. Die Periode bleibt zwei pi.
4. 0:30Graph drei startet bei null und reicht bis eins. Er wiederholt sich aber schon nach pi, bis zwei pi passen zwei Wellen. Das ist Sinus von zwei x.
5. 0:39Merke: Der Startwert unterscheidet Sinus und Cosinus. Der Faktor vor der Funktion ist die Amplitude. Nur der Faktor im Argument ändert die Periode, die Amplitude lässt sie unberührt.

Trigonometrische Funktionen: vom Kreis zur Kurve

1. 0:00Am Einheitskreis gehört zu jedem Winkel eine Höhe. Bisher war das ein Wert zu einem Winkel. Jetzt tragen wir alle diese Werte nebeneinander auf — und aus dem Kreis wird eine Kurve.
2. 0:11Vier Stellen genügen, um die Kurve zu legen. Bei null ist die Höhe null. Bei einem viertel Umlauf, also pi halbe, ist sie eins. Bei pi wieder null, bei drei pi halbe minus eins — und bei zwei pi sind wir zurück am Anfang.
3. 0:24Trägt man alle Werte auf, entsteht diese Welle. Sie schwingt zwischen minus eins und eins und wiederholt sich nach zwei pi.
4. 0:32Der Cosinus ist die Breite statt der Höhe. Seine Kurve sieht gleich aus, startet aber oben statt in der Mitte.
5. 0:40Zum Mitnehmen: Die Sinuskurve ist der abgerollte Einheitskreis. Der Winkel läuft nach rechts, die Höhe nach oben.

Trigonometrische Funktionen: die Tangenskurve und ihre Pole

1. 0:00Der Tangens ist kein neuer Baustein. Er ist Sinus durch Cosinus. Und genau das entscheidet, wie seine Kurve aussieht.
2. 0:08Die erste Frage bei einem Bruch: Wann wird der Nenner null? Der Cosinus ist null bei pi halbe, und dann wieder nach jedem pi. Genau dort ist der Tangens nicht definiert.
3. 0:18So sieht sie aus. Zwischen zwei Polen steigt sie von minus unendlich bis plus unendlich — und dann fängt derselbe Ast wieder an.
4. 0:26Und noch ein Unterschied. Sinus und Cosinus wiederholen sich nach zwei pi. Der Tangens schon nach pi — halb so früh.
5. 0:36Zum Mitnehmen: Der Tangens ist ein Bruch. Wo sein Nenner null wird, hat er eine Lücke — und zwischen zwei Lücken liegt genau eine Periode.

Trigonometrische Funktionen: Periode, Nullstellen, Symmetrie

1. 0:00Drei Kurven, drei Steckbriefe. Wer sie einmal nebeneinander gesehen hat, muss sie nicht auswendig lernen — man liest sie am Bild ab.
2. 0:08Zuerst die Nullstellen. Der Sinus ist null bei null, pi, zwei pi — also bei jedem Vielfachen von pi. Der Cosinus ist um pi halbe versetzt. Und der Tangens hat dieselben Nullstellen wie der Sinus, denn sein Zähler ist der Sinus.
3. 0:22Die Symmetrie sieht man sofort. Der Cosinus ist spiegelbildlich zur y-Achse. Der Sinus dagegen dreht sich um den Ursprung: links unten, was rechts oben steht.
4. 0:34In Formeln heisst das: Beim Cosinus ändert ein Vorzeichen im Argument nichts. Beim Sinus und beim Tangens wandert es nach vorn.
5. 0:43Zum Mitnehmen: Sinus und Cosinus laufen zwischen minus eins und eins und wiederholen sich nach zwei pi. Der Tangens kennt keine Schranken und wiederholt sich schon nach pi.

Trigonometrische Funktionen: dieselbe Kurve, um π/2 versetzt

1. 0:00Wer die beiden Kurven nebeneinander legt, sieht es sofort: Das ist zweimal dieselbe Welle. Nur beginnt die eine dort, wo die andere schon oben ist.
2. 0:09Der Cosinus ist bei null schon oben. Der Sinus erreicht das erst bei pi halbe. Der Cosinus ist also der Sinus, um pi halbe nach links geschoben.
3. 0:19Als Formel: Cosinus von x ist Sinus von x plus pi halbe. Nach links schieben heisst im Argument plus — das ist die übliche Stolperstelle.
4. 0:28Kurz nachprüfen, statt es zu glauben. Bei null: Sinus von pi halbe ist eins, und Cosinus von null ist auch eins. Bei pi halbe: Sinus von pi ist null, Cosinus von pi halbe ist null. Es stimmt.
5. 0:42Zum Mitnehmen: Es gibt nur eine Wellenform. Sinus und Cosinus sind zwei Namen für denselben Verlauf, um pi halbe gegeneinander versetzt.

Trigonometrische Funktionen: was a, b, u und v bewirken

1. 0:00Aus der einen Sinuskurve wird jede andere — mit vier Zahlen. Jede hat genau eine Aufgabe.
2. 0:08a streckt in die Höhe: die Amplitude, der Abstand von der Mitte bis zum Hochpunkt. v hebt die ganze Kurve an — es legt die Mittellinie fest.
3. 0:17b staucht in die Breite. Nicht b ist die Periode, sondern zwei pi durch b — je grösser b, desto enger die Wellen. Und u schiebt nach rechts, weil es vom x abgezogen wird.
4. 0:28Alles zusammen an einem Beispiel: zwei mal Sinus von drei mal Klammer x minus pi sechstel, plus eins. Amplitude zwei, Periode zwei pi durch drei, um pi sechstel nach rechts, Mittellinie bei eins. Die Kurve pendelt also zwischen minus eins und drei.
5. 0:45Zum Mitnehmen: a und v arbeiten senkrecht, b und u waagrecht. Und die einzige Zahl, die man nicht direkt abliest, ist die Periode — sie ist zwei pi durch b.

Allgemeine Sinusfunktion: Amplitude, Periode und Verschiebung ablesen

1. 0:00In Aufgaben steht die Klammer meist ausmultipliziert: a mal Sinus von b x plus c. Dann liest man die Verschiebung nicht mehr direkt ab — man muss sie ausrechnen.
2. 0:10Der Grund steht in einer Zeile. Klammert man b aus, wird aus c geteilt durch b die Verschiebung — mit umgekehrtem Vorzeichen.
3. 0:18Ein Beispiel: drei mal Sinus von zwei x minus pi halbe. Die Amplitude ist drei. Die Periode ist zwei pi durch zwei, also pi. Und die Verschiebung: minus c durch b, das ist pi halbe durch zwei, also pi viertel nach rechts.
4. 0:33Und im Bild stimmt es: Die Kurve läuft bei pi viertel steigend durch die Achse, ihr Hochpunkt liegt bei drei, und nach pi beginnt sie von vorn.
5. 0:42Rückwärts geht es genauso. Aus dem Bild liest man Amplitude und Periode ab, daraus folgt b, und aus der Nullstelle die Verschiebung. Erst dann schreibt man die Gleichung hin.
6. 0:52Zum Mitnehmen: Amplitude direkt, Periode durch Teilen, Verschiebung durch Teilen und Vorzeichenwechsel.

Harmonische Schwingung: Periodendauer, Frequenz und Phase

1. 0:00In der Anwendung heisst dieselbe Funktion anders. Aus x wird die Zeit t, aus b die Kreisfrequenz omega, aus der Verschiebung die Phase.
2. 0:09Zwei Grössen kommen dazu. Die Periodendauer T ist die Zeit für eine volle Schwingung — zwei pi durch omega. Und die Frequenz f ist ihr Kehrwert: wie viele Schwingungen in einer Zeiteinheit.
3. 0:21Das Riesenrad vom Anfang der Seite: Radius dreissig Meter, Achse fünfunddreissig Meter hoch, eine Umdrehung in zwölf Minuten. Die Höhe ist fünfunddreissig minus dreissig mal Cosinus von zwei pi durch zwölf mal t.
4. 0:35Periodendauer: zwei pi geteilt durch pi sechstel ergibt zwölf Minuten — genau eine Umdrehung. Und die Frequenz ist ein Zwölftel pro Minute, also eine Umdrehung je zwölf Minuten.
5. 0:46Zwei Umdrehungen im Bild: Start bei fünf Metern, nach drei Minuten auf Achshöhe, nach sechs Minuten oben bei fünfundsechzig, nach zwölf wieder unten.
6. 0:56Zum Mitnehmen: Eine Schwingung ist eine Sinusfunktion mit anderen Buchstaben. Wer die Kreisfrequenz hat, hat Periodendauer und Frequenz.