3.5 Trigonometrische Funktionen
Die trigonometrischen Funktionen Sinus, Cosinus und Tangens sind periodisch — sie wiederholen ihre Werte in festen Abständen und beschreiben damit jede Schwingung: vom Wechselstrom über die Schallwelle bis zum Riesenrad. Hier leitest du ihre Graphen am Einheitskreis her, untersuchst Periodizität und Symmetrien, transformierst die Kurven mit Amplitude, Periode und Verschiebung und modellierst harmonische Schwingungen.
- den Funktionsverlauf der Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktion visualisieren sowie die elementaren Eigenschaften kennen (Periodizität, Symmetrien) mit und ohne Hilfsmittel
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann die Graphen von \(\sin x\), \(\cos x\) und \(\tan x\) am Einheitskreis herleiten und ohne Hilfsmittel skizzieren.
- Ich kann Definitions- und Wertemenge, Periodenlänge, Nullstellen und Symmetrien der drei Funktionen angeben — inklusive der Pole der Tangensfunktion.
- Ich kann die Kongruenz von Sinus- und Cosinuskurve nutzen: \(\cos x = \sin\left(x + \tfrac{\pi}{2}\right)\).
- Ich kann die Wirkung der Parameter in \(y = a \cdot \sin\bigl(b(x-u)\bigr) + v\) beschreiben und Graphen schrittweise entwickeln.
- Ich kann bei der allgemeinen Sinusfunktion \(y = a \sin(bx + c)\) Amplitude, Periodenlänge \(p = \tfrac{2\pi}{b}\) und Verschiebung \(x_0 = -\tfrac{c}{b}\) bestimmen — auch umgekehrt aus dem Graphen.
- Ich kann harmonische Schwingungen \(y = A \sin(\omega t + \varphi)\) mit Periodendauer, Frequenz und Phasenverschiebung deuten und berechnen.
Einstieg — eine Fahrt im Riesenrad
Ein Riesenrad hat den Radius \(30\) m, seine Achse liegt \(35\) m über dem Boden, und eine Umdrehung dauert \(12\) Minuten. Du steigst am tiefsten Punkt ein (\(5\) m). Wie hoch bist du nach \(t\) Minuten?
\[ h(t) = 35 - 30 \cdot \cos\!\left(\frac{2\pi}{12}\, t\right) \quad [\text{m}] \]Die Höhe pendelt zwischen \(5\) m und \(65\) m — und nach jeder vollen Umdrehung wiederholt sich alles. Genau dieses Verhalten heisst periodisch.
Die Höhe folgt keiner Geraden, keiner Parabel und keiner Exponentialkurve — sie schwingt:
- Die Werte wiederholen sich nach jeder Umlaufzeit: \(h(t+12) = h(t)\) — Periodizität.
- Die Kurve entsteht aus der Drehbewegung: Die Höhe des Punktes auf dem Rad ist eine Cosinus-Kurve — gestreckt, gespiegelt und verschoben.
✏️ Mini-Check — Einstieg
Nach welcher Zeit wiederholt sich die Höhe des Riesenrad-Punktes exakt?
- nach 6 Minuten
- nach 12 Minuten
- nach 30 Minuten
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Eine Funktion, deren Werte sich in festen Abständen wiederholen, heisst .
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Berechne die Höhe nach \(6\) Minuten.
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Zwischen welchen Höhen pendelt die Kabine, und wie liest man das an der Funktionsgleichung ab?
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Definition — vom Einheitskreis zur Funktion
Am ↩ Einheitskreis (5.4) gehört zu jedem Winkel \(x\) (im Bogenmass) ein Punkt \(P\) — seine \(y\)-Koordinate ist \(\sin x\), seine \(x\)-Koordinate ist \(\cos x\). Lässt man \(x\) alle reellen Zahlen durchlaufen, entsteht aus dieser Zuordnung eine Funktion:
Die Zuordnungen
\[ f(x) = \sin x, \qquad f(x) = \cos x \qquad (x \in \mathbb{R}) \] \[ f(x) = \tan x \qquad \left(x \in \mathbb{R} \setminus \left\{\tfrac{\pi}{2} + k\pi\right\},\ k \in \mathbb{Z}\right) \]heissen Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktion (Winkelfunktionen). Das Argument \(x\) ist der Winkel im Bogenmass; da der Punkt \(P\) beliebig viele Umdrehungen in beide Richtungen machen kann, sind Sinus und Cosinus für alle reellen \(x\) definiert.
Vom Kreis zur Kurve — die drei Graphen
Drehe den Punkt auf dem Einheitskreis — rechts entsteht der Funktionsgraph. Wechsle zwischen \(\sin\), \(\cos\) und \(\tan\):
✏️ Mini-Check — Definition und Herleitung
Was ist \(\sin x\) am Einheitskreis?
- die \(x\)-Koordinate des Punktes \(P\)
- die \(y\)-Koordinate des Punktes \(P\)
- die Länge des Kreisbogens
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Die Tangensfunktion ist bei \(x = \tfrac{\pi}{2} + k\pi\) nicht definiert — dort hat sie einen .
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Gib \(\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)\), \(\cos(\pi)\) und \(\tan(0)\) ohne Taschenrechner an.
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Warum ist die Sinusfunktion für alle reellen Zahlen definiert, obwohl ein Winkel doch nur bis \(360°\) geht?
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Eigenschaften — Periodizität und Symmetrien
| Eigenschaften | \(y = \sin x\) | \(y = \cos x\) | \(y = \tan x\) |
|---|---|---|---|
| Definitionsmenge | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R} \setminus \left\{\tfrac{\pi}{2} + k\pi\right\}\) |
| Wertemenge | \([-1;\, 1]\) | \([-1;\, 1]\) | \(\mathbb{R}\) |
| Periodenlänge | \(2\pi\) | \(2\pi\) | \(\pi\) |
| Nullstellen | \(x_0 = k\pi\) | \(x_0 = \tfrac{\pi}{2} + k\pi\) | \(x_0 = k\pi\) |
| Symmetrieachsen | \(x = \tfrac{\pi}{2} + k\pi\) | \(x = k\pi\) | — |
| Symmetriezentren | \((k\pi \mid 0)\) | \(\left(\tfrac{\pi}{2} + k\pi \,\middle|\, 0\right)\) | \(\left(\tfrac{k\pi}{2} \,\middle|\, 0\right)\) |
| Pole | — | — | \(x = \tfrac{\pi}{2} + k\pi\) |
Die Symmetrieachsen sind die senkrechten Geraden durch die Hoch- und Tiefpunkte — dort spiegelt sich die Kurve an sich selbst (Achsensymmetrie). Die Symmetriezentren liegen auf den Nullstellen: Um diese Punkte ist der Graph punktsymmetrisch.
(jeweils \(k \in \mathbb{Z}\); alle Angaben gelten analog in Altgrad)
Die beiden Kurven sind kongruent: Eine horizontale Verschiebung um \(\tfrac{\pi}{2}\) führt sie ineinander über. Für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt:
\[ \cos x = \sin\!\left(x + \tfrac{\pi}{2}\right) \qquad\qquad \sin x = \cos\!\left(x - \tfrac{\pi}{2}\right) \]| Sinus | Cosinus | Tangens |
|---|---|---|
| \(\sin(\pi - x) = \sin x\) | \(\cos(\pi - x) = -\cos x\) | \(\tan(\pi - x) = -\tan x\) |
| \(\sin(\pi + x) = -\sin x\) | \(\cos(\pi + x) = -\cos x\) | \(\tan(\pi + x) = \tan x\) |
| \(\sin(2\pi - x) = -\sin x\) | \(\cos(2\pi - x) = \cos x\) | \(\tan(2\pi - x) = -\tan x\) |
✏️ Mini-Check — Eigenschaften
Welche Periodenlänge hat die Tangensfunktion?
- \(2\pi\)
- \(\pi\)
- \(\tfrac{\pi}{2}\)
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Die Wertemenge von Sinus und Cosinus ist das Intervall — die des Tangens dagegen ganz \(\mathbb{R}\).
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Berechne \(\sin 150°\) exakt ohne Taschenrechner.
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Bestimme alle Lösungen von \(\sin x = \tfrac{1}{2}\) mit \(\cos x < 0\) im Intervall \([0;\, 2\pi]\).
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Transformationen, allgemeine Sinusfunktion und Schwingungen
| Parameter | Wirkung auf den Graphen von \(y = \sin x\) |
|---|---|
| \(a\) | Streckung (\(a > 1\)) bzw. Stauchung (\(a < 1\)) mit Faktor \(a\) in \(y\)-Richtung — die Amplitude |
| \(b\) | Streckung bzw. Stauchung mit Faktor \(\tfrac{1}{b}\) in \(x\)-Richtung — ändert die Periodenlänge |
| \(u\) | Verschiebung um \(u\) in \(x\)-Richtung (nach rechts für \(u > 0\)) |
| \(v\) | Verschiebung um \(v\) in \(y\)-Richtung — die Mittellinie liegt bei \(y = v\) |
Für \(a\) und \(b\) genügen positive Werte: Negative lassen sich durch eine Verschiebung um \(\pi\) darstellen, denn \(\sin(-x) = -\sin x = \sin(x - \pi)\). Die Regeln gelten analog für Cosinus und Tangens.
Skizziere den Graphen von \(y = 3\sin(2x - 4) + 1\).
Lösung: Zuerst in die Form \(y = a\sin\bigl(b(x-u)\bigr) + v\) bringen: \(3\sin(2x-4)+1 = 3\sin\bigl(2(x-2)\bigr)+1\). Dann in vier Schritten aus \(g(x) = \sin x\) entwickeln:
- Stauchen mit Faktor \(\tfrac{1}{2}\) in \(x\)-Richtung: \(y_1 = \sin 2x\) (Periode \(\pi\))
- Strecken mit Faktor \(3\) in \(y\)-Richtung: \(y_2 = 3\sin 2x\) (Amplitude \(3\))
- Schieben um \(2\) nach rechts: \(y_3 = 3\sin\bigl(2(x-2)\bigr)\)
- Schieben um \(1\) nach oben: \(y_4 = 3\sin\bigl(2(x-2)\bigr) + 1\) (Mittellinie \(y = 1\))
| Amplitude (maximale Auslenkung) | \(a\) |
| Periodenlänge | \(p = \dfrac{2\pi}{b}\) |
| Wertemenge | \(-a \leq y \leq a\) |
| Verschiebung auf der \(x\)-Achse («Startpunkt») | \(x_0 = -\dfrac{c}{b}\) |
Ausklammern von \(b\) verbindet beide Schreibweisen: \(a\sin(bx + c) = a\sin\bigl(b\bigl(x + \tfrac{c}{b}\bigr)\bigr)\), also \(u = -\tfrac{c}{b}\). Für die allgemeine Cosinusfunktion gilt alles analog.
Gegeben ist \(y = \tfrac{1}{2}\cos\!\left(\tfrac{3}{4}x - \tfrac{\pi}{4}\right)\). Berechne (a) den Schnittpunkt \(Q\) mit der \(y\)-Achse, (b) die Periodenlänge \(p\), (c) die kleinste positive Nullstelle \(x_N\).
Lösung:
(a) \(x = 0\) einsetzen: \(y = \tfrac{1}{2}\cos\!\left(-\tfrac{\pi}{4}\right) = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{\sqrt{2}}{2} = \tfrac{\sqrt{2}}{4} \approx 0.354\), also \(Q = \left(0 \,\middle|\, \tfrac{\sqrt{2}}{4}\right)\).
(b) \(b = \tfrac{3}{4}\): \(p = \dfrac{2\pi}{3/4} = \dfrac{8\pi}{3} \approx 8.38\).
(c) Die erste positive Nullstelle von \(\cos\) liegt bei \(\tfrac{\pi}{2}\) — Argument gleichsetzen: \(\tfrac{3}{4}x_N - \tfrac{\pi}{4} = \tfrac{\pi}{2} \Rightarrow x_N = \pi\).
Von \(y = a\sin(bx + c)\) kennt man den ersten Hochpunkt \(H = \left(\tfrac{1}{5} \,\middle|\, \tfrac{6}{5}\right)\) und die Nullstelle \(x_N = \tfrac{4}{5}\) (fallend). Bestimme die Gleichung.
Lösung: Die Amplitude \(a = \tfrac{6}{5}\) liest man am Hochpunkt ab. \(\sin x\) hat den ersten Hochpunkt bei \(\tfrac{\pi}{2}\) und die anschliessende Nullstelle bei \(\pi\) — das gibt ein Gleichungssystem:
\[ \tfrac{1}{5}b + c = \tfrac{\pi}{2}, \qquad \tfrac{4}{5}b + c = \pi \]Subtrahieren: \(\tfrac{3}{5}b = \tfrac{\pi}{2} \Rightarrow b = \tfrac{5\pi}{6}\), dann \(c = \tfrac{\pi}{2} - \tfrac{1}{5} \cdot \tfrac{5\pi}{6} = \tfrac{\pi}{3}\):
\[ y = \tfrac{6}{5}\sin\!\left(\tfrac{5\pi}{6}x + \tfrac{\pi}{3}\right) \]Ändert sich eine Grösse sinusförmig mit der Zeit \(t\), spricht man von einer harmonischen Schwingung:
\[ y = f(t) = A \cdot \sin(\omega t + \varphi) \]| Amplitude (maximale Auslenkung) | \(A\) |
| Kreisfrequenz (Winkelgeschwindigkeit) | \(\omega = 2\pi f = \dfrac{2\pi}{T}\) \([\text{rad/s}]\) |
| Phasenwinkel (Bogenmass) | \(\varphi\) |
| Periodendauer (Zeit für eine Schwingung) | \(T = \dfrac{2\pi}{\omega}\) |
| Frequenz (Wiederholungen pro Sekunde) | \(f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{\omega}{2\pi}\) \([\text{Hz}]\) |
| Phasenverschiebung («Startpunkt») | \(t_0 = -\dfrac{\varphi}{\omega}\) |
Die Einheit der Frequenz ist Hertz: \(1\ \text{Hz} = 1\ \text{s}^{-1}\). Da \(\omega\) und \(f\) dieselbe Einheit tragen, muss stets klar sein, mit welcher Grösse gerechnet wird.
\(\sin 30\) ergibt im DEG-Modus \(0.5\), im RAD-Modus aber \(-0.988\). Bei Funktionsgraphen und Schwingungen wird immer im Bogenmass gerechnet — vor jeder Rechnung den Modus prüfen und Gradwerte zuerst umrechnen (\(x_{\text{rad}} = x° \cdot \tfrac{\pi}{180}\)).
Genau umgekehrt: \(p = \tfrac{2\pi}{b}\). Der Faktor \(b = 2\) halbiert die Periode (\(\sin 2x\) schwingt doppelt so schnell), \(b = \tfrac{1}{2}\) verdoppelt sie. Kontrolle: Wellen im Intervall \([0;\, 2\pi]\) zählen — es sind genau \(b\) Stück.
Erst die Gleichung in die Form \(a\sin\bigl(b(x-u)\bigr)+v\) bringen (Ausklammern von \(b\)!), dann in dieser Reihenfolge entwickeln: (1) Strecken in \(x\) (Periode), (2) Strecken in \(y\) (Amplitude), (3) Schieben in \(x\), (4) Schieben in \(y\). Hoch- und Tiefpunkte findet man, indem man das Argument gleich \(\tfrac{\pi}{2}\) bzw. \(\tfrac{3\pi}{2}\) (Sinus) oder \(0\) bzw. \(\pi\) (Cosinus) setzt.
✏️ Mini-Check — Transformationen und Schwingungen
Welche Periodenlänge hat \(y = \sin(4x)\)?
- \(8\pi\)
- \(4\pi\)
- \(\tfrac{\pi}{2}\)
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Bei \(y = 5\sin(2x) - 3\) beträgt die Amplitude und die Mittellinie liegt bei \(y = -3\).
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Eine Schwingung hat die Periodendauer \(T = 0.02\) s. Berechne Frequenz und Kreisfrequenz.
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Bestimme die Verschiebung \(x_0\) der Funktion \(y = \sin\!\left(\pi x - \tfrac{\pi}{2}\right)\) und deute sie am Graphen.
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Aufgaben
Wähle einen Graphen und entscheide, welche Funktionsgleichung dazu passt.
Welche Gleichung gehört zum angezeigten Graphen?
Skizziere die folgenden Graphen von Hand im Intervall \(-\pi \leq x \leq 2\pi\). Gehe von der Grundfunktion aus und wende die Transformationsschritte der Reihe nach an. Vergleiche danach mit der Lösung.
- \(y = 2\sin\!\left(x - \tfrac{\pi}{6}\right) - 1\)
- \(y = \cos x + 1\)
- \(y = -\sin\!\left(\tfrac{1}{2}x\right)\)
- Blau: Amplitude \(2\), um \(\tfrac{\pi}{6}\) nach rechts und \(1\) nach unten verschoben; Mittellinie \(y = -1\), pendelt zwischen \(-3\) und \(1\).
- Grün: Cosinuskurve, um \(1\) nach oben; pendelt zwischen \(0\) und \(2\), berührt die \(x\)-Achse bei \(x = \pi + 2k\pi\).
- Violett: Periode verdoppelt (\(p = 4\pi\)) und an der \(x\)-Achse gespiegelt — startet fallend.
Berechne exakt (spezielle Dreiecke und Symmetriebeziehungen nutzen) und gib den Wert als Dezimalzahl an:
- \(\sin 150° = \sin(180° - 150°) = \sin 30° = \tfrac{1}{2} = 0.5\)
- \(\cos 135° = -\cos 45° = -\tfrac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707\)
- \(\tan 225° = \tan(180° + 45°) = \tan 45° = 1\)
Gegeben ist \(y = 3\sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}x + \pi\right)\). Bestimme Periodenlänge \(p\) und Verschiebung \(x_0\).
\(b = \tfrac{\pi}{3}\), also \(p = \dfrac{2\pi}{\pi/3} = 6\). Verschiebung: \(x_0 = -\dfrac{c}{b} = -\dfrac{\pi}{\pi/3} = -3\) (nach links). Amplitude \(a = 3\); Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(y(0) = 3\sin\pi = 0\).
Gegeben ist \(y = \tfrac{1}{2}\cos\!\left(\tfrac{3}{4}x - \tfrac{\pi}{4}\right)\). Bestimme die \(x\)-Koordinate des ersten Hochpunktes und die Periodenlänge.
\(\cos x\) hat den ersten Hochpunkt bei Argument \(0\): \(\tfrac{3}{4}x_H - \tfrac{\pi}{4} = 0 \Rightarrow x_H = \tfrac{\pi}{3} \approx 1.047\); Höhe \(y_H = \tfrac{1}{2}\). Periode: \(p = \dfrac{2\pi}{3/4} = \dfrac{8\pi}{3} \approx 8.38\).
Von \(y = a\sin(bx + c)\) sind der erste Hochpunkt \(H = \left(\tfrac{1}{5} \,\middle|\, \tfrac{6}{5}\right)\) und die folgende Nullstelle \(x_N = \tfrac{4}{5}\) bekannt. Bestimme \(b\) und \(c\).
Hochpunkt: \(\tfrac{1}{5}b + c = \tfrac{\pi}{2}\); Nullstelle: \(\tfrac{4}{5}b + c = \pi\). Subtrahieren: \(\tfrac{3}{5}b = \tfrac{\pi}{2} \Rightarrow b = \tfrac{5\pi}{6} \approx 2.618\), dann \(c = \tfrac{\pi}{3} \approx 1.047\). (Amplitude \(a = \tfrac{6}{5}\) direkt aus \(H\).)
Bestimme die Lösung von \(\sin x = \tfrac{1}{2}\) mit \(\cos x < 0\) im Intervall \([0;\, 2\pi]\) (Bogenmass, drei Dezimalen).
\(x_1 = \arcsin\tfrac{1}{2} = \tfrac{\pi}{6}\) und \(x_2 = \pi - \tfrac{\pi}{6} = \tfrac{5\pi}{6}\). Nur bei \(x_2\) ist der Cosinus negativ: \(x = \tfrac{5\pi}{6} \approx 2.618\).
Die Spannung eines Wechselstroms wird beschrieben durch
\[ U(t) = 200 \cdot \sin(50\pi\, t - 0.683) \qquad [U \text{ in V},\ t \text{ in s}] \]- Gib Amplitude, Periodendauer, Frequenz und Phasenverschiebung an.
- Berechne \(U\) zum Zeitpunkt \(t = 0\).
- Wann ist \(U\) erstmals maximal?
- Amplitude \(A = 200\) V; \(\omega = 50\pi \Rightarrow T = \tfrac{2\pi}{50\pi} = 0.04\) s; \(f = \tfrac{1}{T} = 25\) Hz; Phasenverschiebung \(t_0 = -\tfrac{\varphi}{\omega} = \tfrac{0.683}{50\pi} \approx 0.0043\) s.
- \(U(0) = 200\sin(-0.683) \approx -126.2\) V (Taschenrechner im RAD-Modus!).
- Maximal, wenn das Argument \(\tfrac{\pi}{2}\) beträgt: \(50\pi t - 0.683 = \tfrac{\pi}{2} \Rightarrow t = \tfrac{\pi/2 + 0.683}{50\pi} \approx 0.0143\) s.
Die Stromstärke \(I\) eines Wechselstroms hat den Maximalwert \(30\) A und die Frequenz \(50\) Hz; zum Zeitpunkt \(t = 0\) beträgt sie \(0\) A (steigend). Drücke \(I\) in der Form \(I = B\sin(\omega t)\) aus.
\(\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 50 = 100\pi \approx 314.16\ \text{rad/s}\). Da \(I(0) = 0\) und steigend, braucht es keinen Phasenwinkel:
\[ I(t) = 30 \cdot \sin(100\pi\, t) \quad [\text{A}] \]Eine Punktmasse an einer Feder wird um \(\hat{y} = 5.3\) cm ausgelenkt und schwingt harmonisch mit Periodendauer \(T = 5\) s. Zum Zeitpunkt \(t = 0\) befindet sie sich bei \(y = 2.65\) cm und bewegt sich nach oben.
- Bestimme die Kreisfrequenz \(\omega\).
- Bestimme den Phasenwinkel \(\varphi\) und die Funktionsgleichung \(y = A\sin(\omega t + \varphi)\).
- Wo befindet sich die Masse zum Zeitpunkt \(t_1 = 1.3\) s?
- \(\omega = \tfrac{2\pi}{T} = \tfrac{2\pi}{5} \approx 1.257\ \text{s}^{-1}\).
- \(y(0) = 2.65 = \tfrac{A}{2}\), also \(\sin\varphi = 0.5 \Rightarrow \varphi = \tfrac{\pi}{6} \approx 0.524\) (steigend!). Gleichung: \(y = 5.3\sin(1.257\,t + 0.524)\).
- \(y(1.3) = 5.3\sin(1.257 \cdot 1.3 + 0.524) \approx 4.41\) cm.
Ein Pendel schwingt harmonisch mit maximaler seitlicher Auslenkung \(30\) cm und Frequenz \(0.5\) Hz. Zum Startzeitpunkt wird es bei maximaler Auslenkung losgelassen.
- Drücke die Position in der Form \(P(t) = A\sin(\omega t + \varphi)\) aus.
- Zeige, dass sich dieselbe Schwingung auch als reine Cosinusfunktion schreiben lässt.
- Begründe mit der Kongruenzbeziehung, warum das immer geht.
- \(\omega = 2\pi f = \pi\ \text{s}^{-1}\). Start am Maximum heisst \(\sin\varphi = 1\), also \(\varphi = \tfrac{\pi}{2}\): \(P(t) = 30\sin\!\left(\pi t + \tfrac{\pi}{2}\right)\) [cm].
- Mit \(\sin\!\left(x + \tfrac{\pi}{2}\right) = \cos x\) folgt \(P(t) = 30\cos(\pi t)\) — Kontrolle: \(P(0) = 30\) ✓, \(P(1) = -30\) ✓ (nach einer halben Periode auf der Gegenseite).
- Sinus- und Cosinuskurve sind kongruent; jede Sinusschwingung mit Phasenwinkel ist eine verschobene Cosinusschwingung und umgekehrt. Welche Form man wählt, ist nur eine Frage des bequemsten «Startpunkts».
Zusammenfassung
Sinus, Cosinus und Tangens entstehen am Einheitskreis und sind periodisch: \(\sin\) und \(\cos\) pendeln mit Periode \(2\pi\) zwischen \(-1\) und \(1\) und sind kongruent (\(\cos x = \sin(x + \tfrac{\pi}{2})\)); \(\tan\) hat Periode \(\pi\) und Pole bei \(\tfrac{\pi}{2} + k\pi\). In \(y = a\sin\bigl(b(x-u)\bigr) + v\) bestimmt \(a\) die Amplitude, \(b\) die Periode \(p = \tfrac{2\pi}{b}\), \(u\) und \(v\) die Verschiebung. Zeitabhängig als \(y = A\sin(\omega t + \varphi)\) beschreibt dieselbe Mathematik jede harmonische Schwingung — mit \(T = \tfrac{2\pi}{\omega}\) und \(f = \tfrac{1}{T}\).
| \(\sin x\) | \(\cos x\) | \(\tan x\) | |
|---|---|---|---|
| \(D\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R} \setminus \{\tfrac{\pi}{2} + k\pi\}\) |
| \(W\) | \([-1;\,1]\) | \([-1;\,1]\) | \(\mathbb{R}\) |
| Periode | \(2\pi\) | \(2\pi\) | \(\pi\) |
| Nullstellen | \(k\pi\) | \(\tfrac{\pi}{2} + k\pi\) | \(k\pi\) |
| Besonderes | ungerade (punktsym.) | gerade (achsensym.) | Pole, \(W = \mathbb{R}\) |
Zusatzmaterial
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