Am Einheitskreis gehört zu jedem Winkel \(x\) (Bogenmass) ein Punkt \(P\): seine \(y\)-Koordinate ist \(\sin x\), seine \(x\)-Koordinate \(\cos x\), der Tangentenabschnitt bei \(x = 1\) ist \(\tan x\). Als Funktionen von \(x\) heissen
\[ f(x) = \sin x, \qquad f(x) = \cos x, \qquad f(x) = \tan x \]Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktion (Winkelfunktionen).
| \( \sin x \) | \( \cos x \) | \( \tan x \) | |
|---|---|---|---|
| Definitionsmenge | \( \mathbb{R} \) | \( \mathbb{R} \) | \( \mathbb{R} \setminus \{\tfrac{\pi}{2} + k\pi\} \) |
| Wertemenge | \( [-1;\,1] \) | \( [-1;\,1] \) | \( \mathbb{R} \) |
| Periodenlänge | \( 2\pi \) | \( 2\pi \) | \( \pi \) |
| Nullstellen | \( k\pi \) | \( \tfrac{\pi}{2} + k\pi \) | \( k\pi \) |
| Symmetrieachsen | \( x = \tfrac{\pi}{2} + k\pi \) | \( x = k\pi \) | — |
| Symmetriezentren | \( (k\pi \mid 0) \) | \( (\tfrac{\pi}{2} + k\pi \mid 0) \) | \( (\tfrac{k\pi}{2} \mid 0) \) |
| Pole | — | — | \( x = \tfrac{\pi}{2} + k\pi \) |
(jeweils \( k \in \mathbb{Z} \)) Die Tangensfunktion springt an jedem Pol von \(+\infty\) nach \(-\infty\); ihre Periode ist nur halb so lang.
Sinus- und Cosinuskurve sind kongruent — horizontale Verschiebung um \(\tfrac{\pi}{2}\):
\[ \cos x = \sin\left(x + \tfrac{\pi}{2}\right), \qquad \sin x = \cos\left(x - \tfrac{\pi}{2}\right) \]| Sinus | Cosinus | Tangens |
|---|---|---|
| \( \sin(\pi - x) = \sin x \) | \( \cos(\pi - x) = -\cos x \) | \( \tan(\pi - x) = -\tan x \) |
| \( \sin(\pi + x) = -\sin x \) | \( \cos(\pi + x) = -\cos x \) | \( \tan(\pi + x) = \tan x \) |
| \( \sin(2\pi - x) = -\sin x \) | \( \cos(2\pi - x) = \cos x \) | \( \tan(2\pi - x) = -\tan x \) |
Ausgangsfunktion \( y = \sin x \), Bildfunktion \( y = a \cdot \sin\bigl(b(x-u)\bigr) + v \) (analog für Cosinus und Tangens):
| Parameter | Wirkung |
|---|---|
| \(a\) | Streckung/Stauchung in \(y\)-Richtung — die Amplitude |
| \(b\) | Streckung/Stauchung mit Faktor \(\tfrac{1}{b}\) in \(x\)-Richtung — neue Periode \( p = \tfrac{2\pi}{b} \) |
| \(u\) | Verschiebung in \(x\)-Richtung (nach rechts für \(u > 0\)) |
| \(v\) | Verschiebung in \(y\)-Richtung — Mittellinie \( y = v \) |
Negative \(a\), \(b\) sind entbehrlich: \( \sin(-x) = -\sin x = \sin(x - \pi) \).
Amplitude \(a\), Periodenlänge \( p = \tfrac{2\pi}{b} \), Wertebereich \( -a \leq y \leq a \), Verschiebung («Startpunkt») \( x_0 = -\tfrac{c}{b} \). Ausklammern verbindet beide Formen: \( a\sin(bx + c) = a\sin\bigl(b(x + \tfrac{c}{b})\bigr) \).
Amplitude \(A\), Kreisfrequenz \(\omega\) [rad/s], Phasenwinkel \(\varphi\) (Bogenmass). Periodendauer \( T = \tfrac{2\pi}{\omega} \), Frequenz \( f = \tfrac{1}{T} = \tfrac{\omega}{2\pi} \) [Hz], Phasenverschiebung \( t_0 = -\tfrac{\varphi}{\omega} \). Es gilt \( \omega = 2\pi f \).
Sinus und Cosinus pendeln mit Periode \(2\pi\) zwischen \(-1\) und \(1\) und sind kongruent; der Tangens hat Periode \(\pi\) und Pole. In \( a\sin\bigl(b(x-u)\bigr) + v \) bestimmt \(a\) die Amplitude und \(b\) die Periode \( \tfrac{2\pi}{b} \) — zeitabhängig beschreibt dieselbe Form als \( A\sin(\omega t + \varphi) \) jede harmonische Schwingung.