12 Aufgaben mit ansteigendem Schwierigkeitsgrad. Bearbeite alle Aufgaben in einem Zug, ohne in die Lösungen zu schauen — diese stehen am Ende. Hilfsmittel: nur Formelsammlung Promath. Zeitvorgabe: ca. 45 Minuten.
Vervollständige die Aussage und schreibe in die Lücken:
Gib exakt an:
(a) \( \sin\tfrac{\pi}{2} \) (b) \( \cos \pi \) (c) \( \tan 0 \) (d) \( \sin\tfrac{\pi}{6} \)
Gib Definitionsmenge, Wertemenge und Periodenlänge an:
(a) \( y = \sin x \) (b) \( y = \tan x \)
Gib alle Nullstellen der Cosinusfunktion an (mit \( k \in \mathbb{Z} \)).
Zeige mit der Bedingung \( f(-x) = \pm f(x) \): Die Sinusfunktion ist ungerade, die Cosinusfunktion gerade.
Vereinfache mithilfe der Symmetrie-Beziehungen:
(a) \( \sin(\pi - x) \) (b) \( \cos(\pi + x) + \cos x \)
Gib Amplitude, Periodenlänge und Mittellinie von \( y = 4\sin(2x) - 1 \) an.
Welche Periodenlänge hat \( y = \cos\left(\tfrac{1}{2}x\right) \)?
Wie geht der Graph von \( y = \sin\left(x - \tfrac{\pi}{3}\right) \) aus dem Graphen von \( y = \sin x \) hervor? Wo liegt seine erste positive Nullstelle?
Gegeben ist \( y = 2\sin\left(\tfrac{\pi}{4}x - \tfrac{\pi}{2}\right) \). Bestimme die Periodenlänge \(p\) und die Verschiebung \(x_0\).
Eine Sinuskurve durch den Ursprung (steigend) hat die Amplitude \(3\) und die Periodenlänge \(\pi\). Gib die Funktionsgleichung an.
Schreibe \( y = \cos x \) als verschobene Sinusfunktion und begründe mit dem Einheitskreis oder den Graphen.
\( \sin x \) ist die \(y\)-Koordinate von \(P\). Periode von Sinus und Cosinus: \(2\pi\); Tangens: \(\pi\), Pole bei \( x = \tfrac{\pi}{2} + k\pi \).
(a) \(1\) · (b) \(-1\) · (c) \(0\) · (d) \(\tfrac{1}{2}\).
(a) \( D = \mathbb{R} \), \( W = [-1;\,1] \), \( p = 2\pi \) · (b) \( D = \mathbb{R} \setminus \{\tfrac{\pi}{2} + k\pi\} \), \( W = \mathbb{R} \), \( p = \pi \).
\( x_0 = \tfrac{\pi}{2} + k\pi \), \( k \in \mathbb{Z} \) — versetzt zu den Sinus-Nullstellen \( k\pi \).
\( \sin(-x) = -\sin x \) (Punktsymmetrie zum Ursprung → ungerade); \( \cos(-x) = \cos x \) (Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse → gerade) — am Einheitskreis: Spiegeln von \(P\) an der \(x\)-Achse wechselt das Vorzeichen der \(y\)-Koordinate, nicht aber das der \(x\)-Koordinate.
(a) \( \sin(\pi - x) = \sin x \) · (b) \( \cos(\pi + x) + \cos x = -\cos x + \cos x = 0 \).
Amplitude \(4\); Periode \( p = \tfrac{2\pi}{2} = \pi \); Mittellinie \( y = -1 \) (Kurve pendelt zwischen \(-5\) und \(3\)).
\( p = \dfrac{2\pi}{1/2} = 4\pi \) — kleines \(b\) heisst lange Periode.
Verschiebung um \( \tfrac{\pi}{3} \) nach rechts; die Nullstelle wandert von \(0\) zu \( x = \tfrac{\pi}{3} \).
\( b = \tfrac{\pi}{4} \Rightarrow p = \tfrac{2\pi}{\pi/4} = 8 \); \( x_0 = -\tfrac{c}{b} = \tfrac{\pi/2}{\pi/4} = 2 \) (nach rechts).
Amplitude \( a = 3 \); \( p = \pi \Rightarrow b = \tfrac{2\pi}{p} = 2 \): \( y = 3\sin(2x) \).
\( \cos x = \sin\left(x + \tfrac{\pi}{2}\right) \) — die Cosinuskurve ist die um \( \tfrac{\pi}{2} \) nach links verschobene Sinuskurve. Am Einheitskreis: Die \(x\)-Koordinate von \(P(x)\) ist gleich der \(y\)-Koordinate des um \( \tfrac{\pi}{2} \) weitergedrehten Punktes.