Sechs Anwendungsaufgaben aus Technik und Alltag, nach zunehmendem Schwierigkeitsgrad geordnet. Die Musterlösungen folgen am Ende des Dokuments. Immer zuerst skizzieren — das V bzw. W zeigt Lösungsanzahl und Lage.
| Nr. | Bereich | Titel | Schwierigkeit |
|---|---|---|---|
| 1 | Verkehr | Abstand zum Bahnhof | ●●○ |
| 2 | Fertigung | Kosten der Abweichung | ●●○ |
| 3 | Elektrotechnik | Spannungstoleranz | ●●○ |
| 4 | Logistik | Der beste Standort | ●●● |
| 5 | Maschinenbau | Materialabtrag | ●●● |
| 6 | Mathematik | Lösungsanzahl am W | ●●● |
Auf einer geraden Strasse liegt der Bahnhof bei km \(6\); der Abstand einer Position \(x\) ist \( a(x) = |x - 6| \).
(a) Skizziere \(a(x)\) für \( 0 \leq x \leq 12 \) und beschrifte den Knick.
(b) Berechne \( a(2) \) und \( a(9) \).
(c) Welche Positionen haben Abstand \(4\) km? (Gleichung und Skizze.)
Eine Abfüllanlage (Soll \(500\) ml) verursacht Abweichungskosten \( K(x) = 0.5 \cdot |x - 500| \) (Rappen pro Flasche).
(a) Deute den Knickpunkt der Kostenfunktion.
(b) Berechne \( K(508) \).
(c) Für welche Füllmengen bleiben die Kosten unter \(3\) Rappen?
Ein Netzteil soll \(12\) V liefern; zulässig ist \( |U - 12| \leq 0.5 \) V.
(a) Skizziere die Abweichungsfunktion \( f(U) = |U - 12| \) samt Toleranzgrenze.
(b) Gib den zulässigen Bereich als Intervall an.
(c) Ist \( U = 12.6 \) V zulässig?
Ari wohnt bei km \(2\), Bea bei km \(8\); der Gesamtweg zu einem Treffpunkt \(x\) ist \( d(x) = |x - 2| + |x - 8| \).
(a) Berechne \( d(0) \), \( d(5) \), \( d(10) \).
(b) Schreibe \( d(x) \) abschnittsweise (drei Abschnitte).
(c) Wo ist der Gesamtweg minimal? Begründe mit der abschnittsweisen Form.
Ein Werkstückprofil weicht um \( f(x) = x^2 - 4 \) (mm) vom Soll ab; die Fräse trägt \( A(x) = |x^2 - 4| \) ab (\( -3 \leq x \leq 3 \), \(x\) in cm).
(a) Skizziere \( A(x) \) — welche Form entsteht?
(b) Berechne den Abtrag bei \( x = 1 \) und \( x = 3 \).
(c) Wo ist nichts abzutragen, und wo ist der Abtrag im Innenbereich maximal?
Betrachte die Gleichung \( |x^2 - 4| = c \) mit dem Parameter \( c \geq 0 \).
(a) Skizziere \( y = |x^2 - 4| \) und verschiedene Horizontalen \( y = c \).
(b) Für welche \(c\) gibt es vier, drei bzw. zwei Lösungen?
(c) Berechne alle Lösungen für \( c = 3 \).
(a) V mit Knick \( (6 \mid 0) \), Steigungen \( \pm 1 \).
(b) \( a(2) = 4 \) km, \( a(9) = 3 \) km.
(c) \( |x - 6| = 4 \Rightarrow x = 2 \) oder \( x = 10 \) — symmetrisch um den Bahnhof.
(a) Knick \( (500 \mid 0) \): exakte Füllmenge kostet nichts, jede Abweichung symmetrisch mehr.
(b) \( K(508) = 0.5 \cdot 8 = 4 \) Rappen.
(c) \( 0.5|x-500| < 3 \Rightarrow |x-500| < 6 \Rightarrow 494 < x < 506 \) ml.
(a) V mit Knick \( (12 \mid 0) \), Toleranzgrenze als Horizontale \( y = 0.5 \).
(b) \( [11.5;\ 12.5] \) V.
(c) \( |12.6 - 12| = 0.6 > 0.5 \) — nicht zulässig.
(a) \( d(0) = 10 \), \( d(5) = 6 \), \( d(10) = 10 \) km.
(b) \( x < 2 \): \( -2x + 10 \); \( 2 \leq x \leq 8 \): \( 6 \); \( x > 8 \): \( 2x - 10 \).
(c) Im mittleren Abschnitt ist \(d\) konstant \(6\) — jeder Punkt zwischen den Wohnorten ist optimal («Wanne mit flachem Boden»).
(a) Ein W — die Parabel zwischen \( \pm 2 \) hochgeklappt.
(b) \( A(1) = 3 \) mm, \( A(3) = 5 \) mm.
(c) Nichts bei \( x = \pm 2 \) (Nullstellen); im Innenbereich maximal beim geklappten Scheitel: \( A(0) = 4 \) mm.
(b) Vier Lösungen für \( 0 < c < 4 \), drei für \( c = 4 \) (Berührung am Buckel), zwei für \( c > 4 \) oder \( c = 0 \).
(c) \( x^2 - 4 = \pm 3 \Rightarrow x = \pm\sqrt{7} \approx \pm 2.65 \) und \( x = \pm 1 \).