Schwerpunktfach · Lerngebiet 3 · Funktionen · 55 Lektionen

3.6 Betragsfunktionen

Ergänzung TALS · nicht Teil des RLP 2030

Die Betragsfunktion \(f(x) = |x|\) ist die einfachste Funktion mit einem Knick: Ihre Äste sind Geraden, ihr Graph ist ein V. Aus linearen und quadratischen Funktionen entstehen durch den Betrag neue Kurvenformen — mit dem Umklapp-Prinzip als grafischem Werkzeug: Alles unter der \(x\)-Achse wird nach oben gespiegelt. Damit lassen sich Abstände, Toleranzen und Abweichungen als Funktionen beschreiben — und Betragsgleichungen grafisch lösen.

📋 Kompetenzen — Ergänzung TALS (über den RLP 2030 hinaus)

die Betragsfunktion \(f(x) = |x|\) abschnittsweise definieren und ihren Graphen skizzieren auch ohne Hilfsmittel
Betragsfunktionen der Form \(y = a \cdot |x-u| + v\) skizzieren und die Parameter interpretieren auch ohne Hilfsmittel
den Betrag linearer und quadratischer Funktionen \(y = |f(x)|\) mit dem Umklapp-Prinzip grafisch darstellen
Betragsterme abschnittsweise (ohne Betragsstriche) schreiben und abschnittsweise definierte Funktionen lesen
Betragsgleichungen und -ungleichungen grafisch lösen und mit der algebraischen Lösung vergleichen

Dieses Teilgebiet ist eine Ergänzung des TALS-Lehrmittels und kein RLP-2030-Teilgebiet. Es verbindet die Betragsgleichungen aus 2.2c mit der Funktionssicht aus 3.1 — als Brücke zu Toleranzbändern, Abstandsfunktionen und abschnittsweise definierten Funktionen, wie sie in Technik und Analysis laufend auftreten.

🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite

Ich kann \(|x|\) abschnittsweise definieren und den V-Graphen mit Knickpunkt, Symmetrieachse und Ast-Steigungen \(\pm 1\) beschreiben.
Ich kann \(y = a \cdot |x-u| + v\) ohne Wertetabelle skizzieren: Knick bei \((u \mid v)\), Äste mit Steigung \(\pm a\).
Ich kann den Graphen von \(y = |f(x)|\) aus dem Graphen von \(f\) konstruieren — Umklappen der negativen Teile.
Ich kann Betragsterme wie \(|2x-6|\) abschnittsweise ohne Betragsstriche schreiben.
Ich kann Nullstellen und Schnittpunkte von Betragsfunktionen berechnen und grafisch kontrollieren.
Ich kann Abstands- und Toleranzsituationen als Betragsfunktionen modellieren.

Einstieg — der Abstand zum Bahnhof

Eine Velofahrerin fährt einer geraden Talstrasse entlang; ihre Position ist der Kilometer \(x\). Der Bahnhof liegt bei Kilometer \(6\). Ihr Abstand zum Bahnhof ist

\[ a(x) = |x - 6| \qquad [\text{km}] \]

— egal, ob sie vor oder hinter dem Bahnhof ist: Der Abstand ist nie negativ. Als Funktion gezeichnet entsteht das charakteristische V.

🚲 Abstandsfunktion: \(a(x) = |x - 6|\)

👁 Worauf achten?

Worauf achten?

Fahre am Bahnhof vorbei (über \(x = 6\) hinaus): Was macht der Abstand? Vergleiche die Positionen \(x = 4\) und \(x = 8\) — und schau dir die Form des Graphen am Knick genau an.

💡 Erkenntnis

Erkenntnis

Der Abstand nimmt bis zum Bahnhof ab (Gerade mit Steigung \(-1\)) und danach wieder zu (Steigung \(+1\)) — am Bahnhof selbst ist er null: der Knickpunkt \((6 \mid 0)\). Positionen mit gleichem Abstand liegen symmetrisch: \(a(4) = a(8) = 2\).

Bahnhof bei km 6 · Abstand als V-Kurve · Position verschiebbar

Position \(x\) [km] 2.0 km

Auswertung

a(2.0) = |2.0 − 6| = 4.0 km

📘 Was sehen wir?

Der Abstand als Funktion der Position hat eine besondere Gestalt:

Zwei gerade Äste mit den Steigungen \(-1\) und \(+1\) — die Betragsfunktion ist stückweise linear.
Der Knickpunkt liegt dort, wo das Argument null wird: bei \(x = 6\).

✏️ Mini-Check — Einstieg

Multiple Choice

Wo hat die Funktion \(a(x) = |x - 6|\) ihren Knickpunkt?

bei \(x = -6\)
bei \(x = 6\)
bei \(x = 0\)

Lösung anzeigen

B. Der Knick liegt dort, wo das Argument \(x - 6\) null wird — beim Bahnhof.

Lückentext

Die beiden Äste der V-Kurve von \(|x - 6|\) sind Geraden mit den Steigungen .

Lösung anzeigen

\(-1\) und \(+1\) — links fallend, rechts steigend.

Kurze Rechnung

Berechne den Abstand bei \(x = 9\).

Lösung anzeigen

\(a(9) = |9 - 6| = 3\) km.

Transfer

An welchen Positionen beträgt der Abstand genau \(4\) km? Löse grafisch und algebraisch.

Lösungsweg anzeigen

Grafisch: Die Horizontale \(y = 4\) schneidet das V zweimal. Algebraisch: \(|x - 6| = 4 \Rightarrow x - 6 = \pm 4 \Rightarrow x = 2\) oder \(x = 10\) — symmetrisch um den Bahnhof.

Definition — die Betragsfunktion

📘 Definition — Betragsfunktion

Die Funktion \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}_0^+\) mit

\[ y = f(x) = |x| = \begin{cases} x & \text{für } x \geq 0 \\ -x & \text{für } x < 0 \end{cases} \]

heisst Betragsfunktion. Sie ist abschnittsweise linear: Für \(x \geq 0\) stimmt sie mit \(y = x\) überein, für \(x < 0\) mit \(y = -x\).

Eigenschaften	\(y = f(x) = \|x\|\)
Definitionsmenge	\(D = \mathbb{R}\)
Wertemenge	\(W = \mathbb{R}_0^+\)
Nullstelle	\(x_0 = 0\)
Symmetrie	gerade Funktion: \(\|-x\| = \|x\|\) — achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse
Knickpunkt	\((0 \mid 0)\) — Steigungswechsel von \(-1\) auf \(+1\)

💡 Zwei Sichtweisen auf denselben Betrag

Als Zahl ist \(|x - m|\) der Abstand von \(x\) zu \(m\) (so in ↩ 2.2c Betragsgleichungen). Als Funktion beschreibt \(x \mapsto |x - m|\), wie sich dieser Abstand ändert — der Graph macht die Lösungsmengen von Betragsgleichungen und -ungleichungen sichtbar.

✏️ Mini-Check — Definition

Multiple Choice

Welche Wertemenge hat \(y = |x|\)?

\(\mathbb{R}\)
\(\mathbb{R}_0^+\)
\(\mathbb{R}^+\)

Lösung anzeigen

B. Beträge sind nie negativ, und die \(0\) wird bei \(x = 0\) erreicht.

Lückentext

Wegen \(|-x| = |x|\) ist die Betragsfunktion eine Funktion — ihr Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

Lösung anzeigen

gerade — wie \(x^2\) (vgl. 3.2a).

Kurze Rechnung

Schreibe \(f(x) = |x|\) für \(x = -3\) und \(x = 5\) aus.

Lösung anzeigen

\(f(-3) = -(-3) = 3\) (Fall \(x < 0\)) und \(f(5) = 5\) (Fall \(x \geq 0\)).

Transfer

Worin unterscheidet sich der Knickpunkt von \(|x|\) vom Scheitel der Parabel \(x^2\) — beide liegen doch bei \((0 \mid 0)\)?

Lösungsweg anzeigen

Die Parabel läuft glatt durch ihren Scheitel (Steigung ändert sich stetig, ist im Scheitel null); das V hat einen echten Knick: Die Steigung springt von \(-1\) auf \(+1\), im Knickpunkt selbst ist keine eindeutige Steigung definierbar.

Transformationen — das V verschieben und strecken

Das Transformations-Schema aus ↩ 3.1 gilt unverändert — mit dem Knickpunkt als Ankerpunkt:

📘 Transformationen: \(y = a \cdot |x - u| + v\)

Parameter	Wirkung auf den Graphen von \(y = \|x\|\)
\(u\), \(v\)	Der Knickpunkt wandert nach \((u \mid v)\); Symmetrieachse \(x = u\)
\(\|a\|\)	Die Äste werden Geraden mit Steigung \(\pm a\) — Streckung in \(y\)-Richtung
\(a < 0\)	Das V klappt zum Dach: Öffnung nach unten

Nullstellen gibt es genau dann, wenn der Knick unter (bei \(a > 0\)) bzw. über (bei \(a < 0\)) der \(x\)-Achse liegt: \(a|x-u| + v = 0 \Rightarrow x = u \pm \left|\tfrac{v}{a}\right|\) für \(\tfrac{v}{a} < 0\).

V-Labor: \(y = a \cdot |x - u| + v\)

👁 Worauf achten?

Worauf achten?

Verfolge den grünen Knickpunkt beim Verschieben. Stelle dann \(a = 2\) und \(a = 0.5\) ein: Was passiert mit den Ästen? Und bei negativem \(a\)?

💡 Erkenntnis

Erkenntnis

Der Knick sitzt immer bei \((u \mid v)\) — wie der Scheitel in der Scheitelform der Parabel. \(|a|\) ist die Ast-Steigung: grosses \(a\) macht das V spitz, kleines flach; negatives \(a\) öffnet es nach unten.

Grundfunktion \(|x|\) grau gestrichelt · Knickpunkt grün · Äste mit Steigung \(\pm a\)

Faktor \(a\)1

Verschiebung \(u\)0

Verschiebung \(v\)0

Funktionsgleichung und Knickpunkt

y = |x|

Knick (0|0) · Ast-Steigungen ±1

✏️ Mini-Check — Transformationen

Multiple Choice

Wo liegt der Knickpunkt von \(y = 3|x - 2| + 1\)?

\((2 \mid 1)\)
\((-2 \mid 1)\)
\((3 \mid 2)\)

Lösung anzeigen

A. \(u = 2\), \(v = 1\) — der Faktor \(3\) steilt nur die Äste auf.

Lückentext

Die Äste von \(y = a|x-u| + v\) sind Geraden mit den Steigungen .

Lösung anzeigen

\(-a\) und \(+a\) — darum heisst das Ganze «stückweise linear».

Kurze Rechnung

Gib die Gleichung der V-Kurve mit Knick \((-1 \mid 2)\) und Ast-Steigungen \(\pm 1\) an.

Lösung anzeigen

\(y = |x + 1| + 2\) — denn \(x + 1 = x - (-1)\).

Transfer

Berechne die Nullstellen von \(y = 2|x - 1| - 4\) und deute sie am Graphen.

Lösungsweg anzeigen

\(2|x-1| = 4 \Rightarrow |x-1| = 2 \Rightarrow x = -1\) oder \(x = 3\). Der Knick \((1 \mid -4)\) liegt unter der Achse; die beiden Äste (Steigung \(\pm 2\)) kreuzen sie symmetrisch zur Achse \(x = 1\).

Das Umklapp-Prinzip: \(y = |f(x)|\)

📘 Vom Graphen von \(f\) zum Graphen von \(|f|\)

Der Betrag wirkt auf die Funktionswerte: Wo \(f(x) \geq 0\) ist, bleibt alles unverändert; wo \(f(x) < 0\) ist, wird das Vorzeichen gedreht. Grafisch:

Graph von \(f\) zeichnen.
Alle Teile unterhalb der \(x\)-Achse an der \(x\)-Achse nach oben spiegeln («umklappen»).
Teile oberhalb bleiben, wie sie sind. An den Nullstellen von \(f\) entstehen Knicke.

Schalte durch drei Grundfunktionen — gestrichelt die Original-Funktion \(f\), ausgezogen ihr Betrag \(|f|\):

Umklapp-Labor — von \(f\) zu \(|f|\)

👁 Worauf achten?

Worauf achten?

Vergleiche gestrichelte und ausgezogene Kurve: Wo sind sie identisch, wo gespiegelt? Zähle bei der Parabel die Knicke — und beachte, was mit dem Scheitel unterhalb der Achse passiert.

💡 Erkenntnis

Erkenntnis

Aus der Geraden wird ein V mit Knick an der Nullstelle. Aus der Parabel \(x^2 - 4\) wird ein W: Der Bogen zwischen den Nullstellen \(\pm 2\) klappt nach oben, der Scheitel \((0 \mid -4)\) landet bei \((0 \mid 4)\). Ohne negative Teile (wie bei \(x^2 + 1\)) ändert der Betrag nichts.

Original \(f\) grau gestrichelt · Betrag \(|f|\) violett · Knicke an den Nullstellen

Funktion und Beschreibung

⚠ Häufiger Fehler — die ganze Kurve spiegeln

\(|f(x)|\) ist nicht \(-f(x)\): Gespiegelt werden nur die Teile unterhalb der \(x\)-Achse. Was schon oberhalb liegt, bleibt liegen. Kontrolle: Der Graph von \(|f|\) verläuft nie unterhalb der \(x\)-Achse.

✏️ Mini-Check — Umklapp-Prinzip

Multiple Choice

Wie viele Knicke hat der Graph von \(y = |x^2 - 4|\)?

einen
zwei
keinen

Lösung anzeigen

B. Je einen an jeder Nullstelle von \(f\): bei \(x = -2\) und \(x = 2\).

Lückentext

Beim Umklappen entstehen Knicke genau an den der ursprünglichen Funktion.

Lösung anzeigen

Nullstellen — dort wechselt \(f\) das Vorzeichen.

Kurze Rechnung

Wohin klappt der Scheitel \((0 \mid -4)\) der Parabel \(y = x^2 - 4\) beim Übergang zu \(y = |x^2 - 4|\)?

Lösung anzeigen

Nach \((0 \mid 4)\) — er wird zum lokalen Hochpunkt des W.

Transfer

Warum verändert der Betrag die Funktion \(y = x^2 + 1\) überhaupt nicht?

Lösungsweg anzeigen

\(x^2 + 1 \geq 1 > 0\) für alle \(x\) — es gibt nichts umzuklappen: \(|x^2 + 1| = x^2 + 1\). Der Betrag wirkt nur auf negative Funktionswerte.

Abschnittsweise schreiben und grafisch lösen

📘 Betragsterme abschnittsweise schreiben

Jeder Betragsterm lässt sich ohne Betragsstriche schreiben — mit einer Fallunterscheidung an der Nullstelle des Arguments:

\[ |2x - 6| = \begin{cases} 2x - 6 & \text{für } x \geq 3 \\ -2x + 6 & \text{für } x < 3 \end{cases} \]

Die Grenze \(x = 3\) ist die Nullstelle von \(2x - 6\); links davon wird das Vorzeichen des ganzen Terms gedreht.

🟢 Beispiel 1 — Skizzieren über die abschnittsweise Form

Skizziere \(y = |2x - 6|\).

Lösung: Knick an der Nullstelle des Arguments: \(x = 3\), also Knickpunkt \((3 \mid 0)\). Rechts davon die Gerade \(y = 2x - 6\) (Steigung \(+2\)), links \(y = -2x + 6\) (Steigung \(-2\)). Kontrollpunkt: \(y(1) = |{-4}| = 4\) ✓

🟢 Beispiel 2 — Betragsgleichung grafisch: vier Lösungen!

Löse \(|x^2 - 4| = 3\).

Lösung: Grafisch: Die Horizontale \(y = 3\) schneidet das W von \(|x^2 - 4|\) viermal. Algebraisch (zwei Fälle):

\[ x^2 - 4 = 3 \;\Rightarrow\; x = \pm\sqrt{7} \qquad\quad x^2 - 4 = -3 \;\Rightarrow\; x = \pm 1 \]

\(L = \{-\sqrt{7};\ -1;\ 1;\ \sqrt{7}\}\) — ohne die Skizze würde man leicht Lösungen übersehen (vgl. das Frühwarnsystem aus ↩ 2.1).

Die Waagrechte am W — wie viele Lösungen hat \(|x^2-4| = c\)?

👁 Worauf achten?

Worauf achten?

Schiebe die Höhe \(c\) langsam von unten nach oben durch das W. An welchen zwei Höhen springt die Anzahl der Schnittpunkte — und auf welche Werte?

💡 Erkenntnis

Erkenntnis

Der W-Buckel ist genau \(4\) hoch (der umgeklappte Scheitel \((0\mid 4)\)). Darum: \(c<0\) keine Lösung, \(c=0\) zwei (die Knicke \(\pm2\)), \(04\) nur noch zwei. Die Skizze zählt schneller als jede Fallunterscheidung.

\(|x^2-4|\) violett · Waagrechte \(y=c\) orange · Schnittpunkte rot gezählt

Höhe \(c\) 3.0

Anzahl Lösungen

c = 3 (0 < c < 4) ⇒ 4 Lösungen

🟢 Beispiel 3 — Betragsungleichung am Graphen

Löse \(|x + 1| > 2\).

Lösung: Das V mit Knick \((-1 \mid 0)\) liegt oberhalb der Horizontalen \(y = 2\) links und rechts der Schnittstellen. Schnittstellen: \(x + 1 = \pm 2 \Rightarrow x = -3\) oder \(x = 1\):

\[ L = \{x \mid x < -3 \ \vee\ x > 1\} \]

📘 Summe zweier Beträge — die «Wanne»

Addiert man zwei Betragsterme, \(y = |x-a| + |x-b|\), so misst \(y\) die Summe der Abstände von \(x\) zu den beiden Stellen \(a\) und \(b\). Zwischen \(a\) und \(b\) ist diese Summe konstant gleich \(|a-b|\) — der Graph hat einen flachen Boden und sieht aus wie eine Wanne.

Wannen-Labor: \(y = |x-a| + |x-b|\)

👁 Worauf achten?

Worauf achten?

Verschiebe \(a\) und \(b\). Wie breit ist der flache Boden, wie hoch liegt er? Und was passiert mit dem Boden, wenn du \(a\) und \(b\) aufeinander schiebst?

💡 Erkenntnis

Erkenntnis

Der flache Boden reicht von \(a\) bis \(b\) und liegt auf der Höhe \(|a-b|\) — das ist der kleinste mögliche Wert, und er wird auf dem ganzen Intervall \([a;b]\) angenommen. Ausserhalb steigen beide Seiten mit Steigung \(2\). Fallen \(a\) und \(b\) zusammen, schrumpft der Boden zu einem Punkt: aus der Wanne wird das gewohnte V von \(2|x-a|\).

Boden \([a;b]\) auf Höhe \(|a-b|\) · Knicke bei \(a\) und \(b\) · Äste mit Steigung \(\pm 2\)

Stelle \(a\)-2

Stelle \(b\)3

Boden und Minimum

Boden [−2; 3] · Minimum |a−b| = 5

⚠ Häufiger Fehler — Knick an der falschen Stelle

Der Knick von \(|2x - 6|\) liegt bei \(x = 3\) (Nullstelle des Arguments), nicht bei \(x = 6\). Immer zuerst das Argument null setzen — wie bei den Transformationen: \(|2x-6| = 2|x-3|\).

💡 Strategie — Betragsfunktionen im Griff

Aufgabe	Werkzeug
\(a\|x-u\|+v\) skizzieren	Knick \((u \mid v)\), Äste mit Steigung \(\pm a\)
\(\|f(x)\|\) skizzieren	Umklapp-Prinzip: negative Teile hochspiegeln
Betragsstriche loswerden	Fallunterscheidung an der Argument-Nullstelle
\(\|T(x)\| = c\) lösen	Skizze für die Anzahl, zwei Fälle für die Werte

✏️ Mini-Check — abschnittsweise und grafisch

Multiple Choice

Wo liegt der Knick von \(y = |3x + 9|\)?

bei \(x = 9\)
bei \(x = -3\)
bei \(x = 3\)

Lösung anzeigen

B. Argument null setzen: \(3x + 9 = 0 \Rightarrow x = -3\).

Lückentext

Beim abschnittsweisen Schreiben von \(|T(x)|\) wird links der Argument-Nullstelle das des ganzen Terms gedreht.

Lösung anzeigen

Vorzeichen — aus \(2x-6\) wird \(-2x+6\).

Kurze Rechnung

Wie viele Lösungen hat \(|x^2 - 4| = 5\)? (Skizze!)

Lösung anzeigen

Zwei: Die Horizontale \(y = 5\) liegt über dem W-Buckel (Höhe \(4\)) — nur die äusseren Äste schneiden: \(x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3\).

Transfer

Für welche \(c\) hat \(|x^2 - 4| = c\) genau vier, genau drei, genau zwei Lösungen?

Lösungsweg anzeigen

Die Horizontale wandert am W entlang: vier Lösungen für \(0 < c < 4\), drei für \(c = 4\) (Berührung am Buckel), zwei für \(c > 4\) oder \(c = 0\) — und keine für \(c < 0\).

Aufgaben

🟠 A1V-Kurve am Graphen erkennen

Wähle einen Graphen und entscheide, welche Funktionsgleichung dazu passt — achte auf Knickpunkt, Ast-Steigung und Öffnung.

A1 · V-Kurve am Graphen erkennen

👁 Worauf achten?

Worauf achten?

Suche zuerst den Knickpunkt und lies beide Koordinaten ab. Prüfe dann, wie steil die Äste ansteigen und ob sich das V nach oben oder nach unten öffnet.

💡 Erkenntnis

Erkenntnis

In der Form \(y = a\,|x-u| + v\) liegt der Knickpunkt genau bei \((u \mid v)\): \(|x+3|\) knickt bei \(x = -3\), \(|x-1| - 2\) bei \((1\mid -2)\). Der Faktor \(a\) macht die Äste steiler; ist er negativ, kippt das V zum \(\Lambda\). Die Äste bleiben immer geradlinig — eine Betragsfunktion ist abschnittsweise linear.

Welche Gleichung gehört zum angezeigten Graphen?

🟠 A2Graphen skizzieren

Skizziere die folgenden Graphen von Hand: Knickpunkt bzw. Nullstellen bestimmen, dann Äste zeichnen bzw. umklappen. Vergleiche danach mit der Lösung.

\(y = |x| - 3\)
\(y = |x + 2| - 1\)
\(y = |x^2 - 4|\) (Umklapp-Prinzip!)

🟢 Lösung

Blau: V mit Knick \((0 \mid -3)\); Nullstellen bei \(x = \pm 3\).
Grün: V mit Knick \((-2 \mid -1)\); Nullstellen bei \(x = -3\) und \(x = -1\).
Violett: W-Kurve — die Parabel \(x^2 - 4\), zwischen den Nullstellen \(\pm 2\) nach oben geklappt; lokaler Hochpunkt \((0 \mid 4)\).

🟠 A3Rechnen mit Betragsfunktionen

🟠 a) Knickpunkt ablesen

Gib den Knickpunkt \(K = (x_K \mid y_K)\) von \(y = 3|x - 2| + 1\) an.

x_K =

y_K =

🟢 Lösung

\(K = (2 \mid 1)\); die Äste haben die Steigungen \(\pm 3\). Da der Knick über der Achse liegt und das V nach oben öffnet: keine Nullstellen.

🟠 b) Nullstellen berechnen

Berechne die Nullstellen von \(y = |x - 1| - 4\).

x₁ =

x₂ =

🟢 Lösung

\[ |x-1| = 4 \;\Rightarrow\; x - 1 = \pm 4 \;\Rightarrow\; x_1 = -3,\quad x_2 = 5 \]

Symmetrisch um die Knick-Achse \(x = 1\) ✓

🟠 c) Abschnittsweise schreiben

Schreibe \(y = |2x - 6|\) ohne Betragsstriche. Gib die Steigung des linken Astes und den Funktionswert bei \(x = 1\) an.

Steigung links =

y(1) =

🟢 Lösung

Grenze bei \(x = 3\): rechts \(y = 2x - 6\), links \(y = -2x + 6\) (Steigung \(-2\)). Kontrolle: \(y(1) = -2 + 6 = 4 = |2 - 6|\) ✓

🟠 d) Betragsgleichung mit vier Lösungen

Löse \(|x^2 - 4| = 3\). Wie viele Lösungen gibt es, und wie lautet die grösste (zwei Dezimalen)?

Anzahl Lösungen =

grösste Lösung ≈

🟢 Lösung

Zwei Fälle: \(x^2 - 4 = 3 \Rightarrow x = \pm\sqrt{7} \approx \pm 2.65\) und \(x^2 - 4 = -3 \Rightarrow x = \pm 1\). Vier Lösungen — die Skizze (W-Kurve gegen \(y = 3\)) zeigt es sofort.

🟠 e) Betragsungleichung

Löse \(|x + 1| > 2\) und gib die beiden Grenzen an.

x <

oder x >

🟢 Lösung

Abstand von \(-1\) grösser als \(2\): \(L = \{x \mid x < -3 \ \vee\ x > 1\}\). Grafisch: Das V liegt aussen oberhalb der Horizontalen \(y = 2\).

🟠 A4Abfüllanlage — Kosten der Abweichung

Eine Abfüllanlage soll \(500\) ml abfüllen. Jede Abweichung kostet — Nacharbeit oder verschenkter Inhalt — näherungsweise

\[ K(x) = 0.5 \cdot |x - 500| \qquad [\text{Rappen pro Flasche},\ x \text{ in ml}] \]

Skizziere \(K(x)\) und deute den Knickpunkt.
Berechne die Kosten bei \(x = 508\) ml.
Bis zu welcher Füllmenge bleiben die Kosten unter \(3\) Rappen? (Betragsungleichung!)

K(508) =

obere Grenze =

🟢 Lösung

V-Kurve mit Knick \((500 \mid 0)\): Bei exakter Füllmenge entstehen keine Kosten; jede Abweichung kostet symmetrisch.
\(K(508) = 0.5 \cdot 8 = 4\) Rappen.
\(0.5|x-500| < 3 \Rightarrow |x-500| < 6 \Rightarrow 494 < x < 506\) ml — obere Grenze \(506\) ml.

🟠 A5Der beste Standort

An einer geraden Strasse wohnen Ari bei km \(2\) und Bea bei km \(8\). Für einen Treffpunkt bei Position \(x\) ist der Gesamtweg beider Personen

\[ d(x) = |x - 2| + |x - 8| \]

Berechne \(d(0)\), \(d(5)\) und \(d(10)\).
Wo ist der Gesamtweg minimal — und wie gross ist er dort?

d(0) =

Minimum =

🟢 Lösung

\(d(0) = 2 + 8 = 10\); \(d(5) = 3 + 3 = 6\); \(d(10) = 8 + 2 = 10\) km.
Zwischen den beiden Wohnorten ist der Gesamtweg konstant gleich dem Abstand der Wohnorte: \(d(x) = 6\) km für alle \(2 \leq x \leq 8\) — jeder Treffpunkt dazwischen ist optimal. Ausserhalb wächst \(d\) linear an (Wannenform mit flachem Boden).

🟠 A6Materialabtrag an der Fräse

Das Profil eines Werkstücks weicht vom Sollniveau ab: \(f(x) = x^2 - 4\) (Abweichung in mm, Position \(x\) in cm, \(-3 \leq x \leq 3\)). Die Fräse muss an jeder Stelle den Betrag der Abweichung abtragen:

\[ A(x) = |x^2 - 4| \]

Wie viel Material wird bei \(x = 1\) abgetragen, wie viel bei \(x = 3\)?
An welchen Positionen ist gar nichts abzutragen?

A(1) =

nichts abzutragen bei x = ±

🟢 Lösung

\(A(1) = |1 - 4| = 3\) mm (Profil liegt unter dem Soll, der Betrag zählt trotzdem); \(A(3) = |9 - 4| = 5\) mm.
An den Nullstellen von \(f\): \(x = \pm 2\) cm — dort trifft das Profil genau das Sollniveau (die Knicke der W-Kurve).

🟠 A7Die Wanne komplett zerlegt Vertiefung

Betrachte die Standort-Funktion aus A5: \(d(x) = |x - 2| + |x - 8|\).

Schreibe \(d(x)\) abschnittsweise ohne Betragsstriche (drei Abschnitte: \(x < 2\), \(2 \leq x \leq 8\), \(x > 8\)).
Kontrolliere mit \(d(0)\) und \(d(10)\) aus A5.
Begründe mit der abschnittsweisen Form, warum das Minimum ein ganzes Intervall ist.

🟢 Lösung

Für \(x < 2\): beide Argumente negativ — \(d(x) = (2-x) + (8-x) = -2x + 10\). Für \(2 \leq x \leq 8\): \(d(x) = (x-2) + (8-x) = 6\). Für \(x > 8\): \(d(x) = (x-2) + (x-8) = 2x - 10\).
\(d(0) = 10\) ✓ und \(d(10) = 10\) ✓ — passt zu A5.
Im mittleren Abschnitt heben sich die \(x\)-Terme exakt auf: \(d\) ist dort konstant \(6\). Links fällt die Funktion (Steigung \(-2\)), rechts steigt sie (Steigung \(+2\)) — der «Boden der Wanne» ist das gesamte Intervall \([2;\ 8]\).

Zusammenfassung

⭐ Merksatz

Die Betragsfunktion ist stückweise linear: \(y = a|x-u| + v\) ist ein V mit Knick bei \((u \mid v)\), Symmetrieachse \(x = u\) und Ast-Steigungen \(\pm a\) — der Knick spielt die Rolle des Parabel-Scheitels. Für beliebige Funktionen gilt das Umklapp-Prinzip: \(|f(x)|\) spiegelt die negativen Teile von \(f\) nach oben, mit Knicken an den Nullstellen (aus der Parabel \(x^2-4\) wird ein W). Betragsstriche verschwinden durch Fallunterscheidung an der Argument-Nullstelle — und die Skizze verrät bei Betragsgleichungen die Lösungsanzahl, bevor gerechnet wird.

Form	Gestalt	Kenndaten
\(y = \|x\|\)	V	Knick \((0 \mid 0)\), Steigungen \(\pm 1\), gerade Funktion, \(W = \mathbb{R}_0^+\)
\(y = a\|x-u\|+v\)	V bzw. Dach	Knick \((u \mid v)\), Steigungen \(\pm a\), Achse \(x = u\)
\(y = \|mx+b\|\)	V	Knick an der Nullstelle \(-\tfrac{b}{m}\), Steigungen \(\pm\|m\|\)
\(y = \|f(x)\|\), \(f\) quadratisch	W (bei zwei Nullstellen)	Knicke an den Nullstellen von \(f\), Buckel = geklappter Scheitel