\( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_0^+ \) mit \( f(x) = |x| = \begin{cases} x & x \geq 0 \\ -x & x < 0 \end{cases} \) — abschnittsweise linear, Graph ist ein V.
| \(D\) / \(W\) | \( \mathbb{R} \) / \( \mathbb{R}_0^+ \) |
| Nullstelle | \( x_0 = 0 \) |
| Symmetrie | gerade Funktion (\( |-x| = |x| \)), achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse |
| Knickpunkt | \( (0 \mid 0) \) — Steigungswechsel von \(-1\) auf \(+1\) |
Hinweis: Teilgebiet 3.6 ist eine Ergänzung des TALS-Lehrmittels und kein RLP-2030-Teilgebiet.
| Knickpunkt | \( (u \mid v) \) — Rolle des Parabel-Scheitels; Symmetrieachse \( x = u \) |
| Ast-Steigungen | \( \pm a \) — grosses \(|a|\): spitzes V; \( a < 0 \): Dach (Öffnung unten) |
| Nullstellen | \( x = u \pm |v/a| \), falls Knick auf der «falschen» Seite der Achse liegt |
Alle Kurventeile unterhalb der \(x\)-Achse an der \(x\)-Achse nach oben spiegeln; Teile oberhalb bleiben. An den Nullstellen von \(f\) entstehen Knicke. Beispiele: Gerade → V; Parabel \( x^2 - 4 \) → W (Scheitel \( (0 \mid -4) \) wird Buckel \( (0 \mid 4) \)); \( x^2 + 1 \) bleibt unverändert (nie negativ).
Fallunterscheidung an der Nullstelle des Arguments:
\[ |2x - 6| = \begin{cases} 2x - 6 & x \geq 3 \\ -2x + 6 & x < 3 \end{cases} \]Der Knick liegt bei \( x = 3 \) (Argument-Nullstelle), nicht bei \(6\)! Es gilt \( |2x-6| = 2\,|x-3| \).
\( |T(x)| = c \): Schnittstellen der Betragskurve mit der Horizontalen \( y = c \) — die Skizze verrät die Lösungsanzahl (z.B. hat \( |x^2-4| = 3 \) vier Lösungen: \( \pm 1, \pm\sqrt{7} \)). Ungleichungen: oberhalb/unterhalb ablesen (\( |x+1| > 2 \Rightarrow x < -3 \vee x > 1 \)).
Das V von \( a|x-u|+v \) hat seinen Knick bei \( (u \mid v) \) und Ast-Steigungen \( \pm a \). Für beliebige \(f\) gilt das Umklapp-Prinzip mit Knicken an den Nullstellen. Betragsstriche verschwinden per Fallunterscheidung — und die Skizze zählt die Lösungen, bevor gerechnet wird.