12 Aufgaben mit ansteigendem Schwierigkeitsgrad. Bearbeite alle Aufgaben in einem Zug, ohne in die Lösungen zu schauen — diese stehen am Ende. Hilfsmittel: nur Formelsammlung Promath. Zeitvorgabe: ca. 45 Minuten.
Vervollständige die Aussage und schreibe in die Lücken:
Berechne: (a) \( f(-4) \) für \( f(x) = |x| \) (b) \( g(1) \) für \( g(x) = |2x - 6| \) (c) \( h(0) \) für \( h(x) = |x - 3| + 2 \)
Gib für \( y = |x| \) an: Definitionsmenge, Wertemenge, Symmetrie.
Wo liegt der Knickpunkt? (a) \( y = |x - 5| \) (b) \( y = |x + 2| - 3 \) (c) \( y = 2|x| + 1 \)
Gib die Gleichung der V-Kurve mit Knick \( (3 \mid -2) \) und Ast-Steigungen \( \pm 1 \) an und berechne ihre Nullstellen.
Wo knickt der Graph von \( y = |3x + 9| \)? Schreibe die Funktion in der Form \( a|x - u| \).
Skizziere \( y = |x - 2| \), ausgehend von der Geraden \( y = x - 2 \). Wo entsteht der Knick?
Skizziere \( y = |x^2 - 4| \). Welche Form entsteht, und wohin klappt der Scheitel?
Warum gilt \( |x^2 + 1| = x^2 + 1 \) für alle \(x\)?
Schreibe \( y = |2x - 6| \) ohne Betragsstriche (zwei Abschnitte mit Bedingung).
Wie viele Lösungen hat \( |x^2 - 4| = 3 \)? Skizziere und berechne alle.
Löse \( |x + 1| > 2 \) grafisch und algebraisch.
linear · Knickpunkt · \( \pm 1 \).
(a) \( 4 \) · (b) \( |{-4}| = 4 \) · (c) \( |-3| + 2 = 5 \).
\( D = \mathbb{R} \), \( W = \mathbb{R}_0^+ \); gerade Funktion — achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.
(a) \( (5 \mid 0) \) · (b) \( (-2 \mid -3) \) · (c) \( (0 \mid 1) \).
\( y = |x - 3| - 2 \); Nullstellen: \( |x-3| = 2 \Rightarrow x = 1 \) und \( x = 5 \).
Argument null: \( 3x + 9 = 0 \Rightarrow x = -3 \) — Knick bei \( (-3 \mid 0) \); \( |3x + 9| = 3\,|x + 3| \).
Der Teil der Geraden links von \( x = 2 \) (dort negativ) wird hochgeklappt — Knick an der Nullstelle \( (2 \mid 0) \), V mit Steigungen \( \pm 1 \).
Ein W: Der Parabelbogen zwischen den Nullstellen \( \pm 2 \) klappt nach oben; der Scheitel \( (0 \mid -4) \) wird zum Buckel \( (0 \mid 4) \).
\( x^2 + 1 \geq 1 > 0 \) — die Funktion hat keine negativen Werte, der Betrag ändert nichts.
\( |2x-6| = \begin{cases} 2x-6 & x \geq 3 \\ -2x+6 & x < 3 \end{cases} \) — Grenze an der Argument-Nullstelle \( x = 3 \).
Vier (Skizze: Horizontale \( y = 3 \) schneidet das W viermal): \( x^2 - 4 = 3 \Rightarrow x = \pm\sqrt{7} \) und \( x^2 - 4 = -3 \Rightarrow x = \pm 1 \).
Schnittstellen \( x + 1 = \pm 2 \Rightarrow x = -3, 1 \); das V liegt aussen oberhalb: \( L = \{x \mid x < -3 \ \vee\ x > 1\} \).