Sechs Anwendungsaufgaben, nach zunehmendem Schwierigkeitsgrad geordnet. Die Musterlösungen folgen am Ende des Dokuments. Erster Schritt jeder Zylinderaufgabe: \( r = d/2 \) notieren!
| Nr. | Bereich | Titel | Schwierigkeit |
|---|---|---|---|
| 1 | Haustechnik | Regentonne | ●●○ |
| 2 | Aquaristik | Aquarium | ●●○ |
| 3 | Bauwesen | Halle mit Satteldach | ●●○ |
| 4 | Verpackung | Die optimale Dose | ●●● |
| 5 | Maschinenbau | Werkstück mit Bohrung | ●●● |
| 6 | Logistik | Beton für ein Fundament | ●●● |
Zylindrische Tonne: Durchmesser 80 cm, Höhe 120 cm.
(a) Wie viele Liter fasst sie?
(b) Ein Gewitter liefert 35 l. Um wie viele cm steigt der Spiegel?
(c) Bei welcher Füllhöhe ist die halbe Tonne voll — und warum ist das trivial?
Offener Glasquader, innen \( 80 \times 35 \times 40 \) cm.
(a) Volumen in Litern?
(b) Verbaute Glasfläche (Boden + 4 Seiten)?
(c) Der Wasserstand soll 5 cm unter dem Rand bleiben. Wie viele Liter passen hinein?
Quader \( 10 \times 6 \times 3 \) m plus Satteldach-Prisma (Basis 6 m, Firsthöhe 1.5 m über Traufe, Länge 10 m).
(a) Umbautes Gesamtvolumen?
(b) Volumenanteil des Dachs in Prozent?
Eine Dose soll \( 330\ \text{cm}^3 \) fassen; materialoptimal ist \( h = 2r \).
(a) Setze \( h = 2r \) in \( V = \pi r^2 h \) ein und stelle nach \(r\) um.
(b) Berechne \(r\) und \(h\).
(c) Reale Dosen sind schlanker. Nenne zwei mögliche Gründe.
Stahlquader \( 8 \times 6 \times 4 \) cm mit durchgehender Zylinderbohrung (\( r = 1.5 \) cm) senkrecht zur \( 8 \times 6 \)-Fläche. Dichte Stahl: \( 7.85\ \text{g/cm}^3 \).
(a) Berechne das Restvolumen.
(b) Berechne die Masse des Werkstücks.
Ein Streifenfundament: L-förmiger Querschnitt aus zwei Rechtecken (\( 0.8 \times 0.3 \) m und \( 0.3 \times 0.5 \) m), Länge 12 m. Beton wiegt \( 2.4\ \text{t/m}^3 \).
(a) Berechne Querschnittsfläche und Volumen.
(b) Wie viele Tonnen Beton werden gebraucht?
(a) \( r = 40 \): \( V \approx 603 \) l.
(b) \( \Delta h = 35000/(\pi \cdot 1600) \approx 6.96 \) cm.
(c) Bei 60 cm — das Volumen wächst beim Zylinder linear mit der Füllhöhe.
(a) 112 l.
(b) \( 12\,000\ \text{cm}^2 = 1.2\ \text{m}^2 \).
(c) Füllhöhe 35 cm: \( 80 \cdot 35 \cdot 35 = 98\,000\ \text{cm}^3 = 98 \) l.
(a) \( 180 + 45 = 225\ \text{m}^3 \).
(b) \( 45/225 = 20\ \% \).
(a) \( V = 2\pi r^3 \Rightarrow r = \sqrt[3]{V/(2\pi)} \).
(b) \( r \approx 3.74 \) cm, \( h \approx 7.49 \) cm.
(c) Z.B. Greifbarkeit/Trinkkomfort, Regalnormen, dickeres Material an Deckel und Boden.
(a) \( V = 192 - \pi \cdot 2.25 \cdot 4 \approx 192 - 28.27 \approx 163.73\ \text{cm}^3 \).
(b) \( m \approx 163.73 \cdot 7.85 \approx 1285 \) g \( \approx 1.29 \) kg.
(a) \( G = 0.24 + 0.15 = 0.39\ \text{m}^2 \); \( V = 0.39 \cdot 12 = 4.68\ \text{m}^3 \).
(b) \( 4.68 \cdot 2.4 \approx 11.2 \) t.