4.2a Prismen und Zylinder
Vom Aquarium bis zur Litfasssäule: Prismen und Zylinder sind die Körper mit konstantem Querschnitt — Grundfläche mal Höhe, fertig ist das Volumen. Auf dieser Seite lernst du Quader, Würfel, allgemeine Prismen und den Kreiszylinder kennen: Schrägbild und Netz, Volumen und Oberfläche, Flächen- und Raumdiagonalen — und mit dem Satz von Cavalieri das Prinzip dahinter.
- geometrische Sachverhalte von elementaren Objekten (Prisma, Pyramide, Pyramidenstumpf, Kreiszylinder, Kreiskegel, Kreiskegelstumpf, Kugel) beschreiben
- deren Elemente (Körperdiagonale, Höhen, Öffnungswinkel, Mantellinie) und Zusammenhänge (Volumen, Oberfläche) berechnen
- die Ähnlichkeit für Berechnungen im Raum nutzen
Diese Seite behandelt Prisma und Kreiszylinder (inkl. Grundlagen: Schrägbild, Netz, Lagebeziehungen, Cavalieri). Es folgen Teil 2: Pyramiden, Kegel und Stümpfe (s4-2b) und Teil 3: Kugel und zusammengesetzte Körper (s4-2c).
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann Körper im Schrägbild darstellen und ihr Netz (die Abwicklung) zeichnen.
- Ich kann Volumen und Oberfläche von Quader, Würfel und geradem Prisma berechnen: \(V = G \cdot h\), \(O = 2G + M\) mit \(M = U \cdot h\).
- Ich kann Flächen- und Raumdiagonalen mit Pythagoras berechnen (\(d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\) im Quader).
- Ich kann Volumen, Mantel und Oberfläche des geraden Kreiszylinders berechnen und sein Netz deuten.
- Ich kann Formeln nach einer gesuchten Grösse umstellen (z.B. Radius aus Volumen und Höhe).
- Ich kann mit dem Satz von Cavalieri begründen, warum schiefe Körper dasselbe Volumen haben wie gerade.
Einstieg — der Münzstapel von Cavalieri
Ein Stapel Münzen steht senkrecht: ein Zylinder. Schiebt man ihn schräg, entsteht ein schiefer Zylinder — aber keine einzige Münze hat ihr Volumen geändert. Der Stapel enthält immer noch gleich viel Metall.
Genau das ist die Kernidee der Stereometrie: Grundfläche × Höhe zählt — nicht, wie der Körper «lehnt».
Der Scherungs-Regler ändert die Form, nicht den Inhalt:
- Jede Schicht behält ihre Fläche — also bleibt \(V = G \cdot h\) mit der senkrechten Höhe \(h\).
- Länger wird nur die Seitenlinie — sie ist beim schiefen Körper keine Höhe mehr!
✏️ Mini-Check — Einstieg
Was besagt der Satz von Cavalieri?
- Alle Zylinder haben gleiches Volumen.
- Gleiche Querschnittsflächen in jeder Höhe → gleiches Volumen.
- Schiefe Körper haben kein berechenbares Volumen.
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Beim schiefen Prisma gilt \(V = G \cdot h\) mit der Höhe, nicht mit der Seitenlinie.
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Der Münzstapel hat \(r = 2\) cm und \(h = 6\) cm. Berechne sein Volumen.
Lösung anzeigen
Zwei Bücherstapel: einer gerade, einer schräg verschoben — beide aus denselben 20 Büchern. Vergleiche Volumen und Höhe.
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Definitionen — Prisma, Quader, Würfel
Ein gerades Prisma entsteht, wenn ein Vieleck (die Grundfläche \(G\)) senkrecht um die Höhe \(h\) verschoben wird. Grund- und Deckfläche sind kongruent und parallel; die Seitenflächen sind Rechtecke und bilden zusammen den Mantel \(M\).
\[ V = G \cdot h, \qquad M = U \cdot h, \qquad O = 2G + M \](\(U\) = Umfang der Grundfläche.) Das Netz (die Abwicklung) zeigt alle Flächen aufgeklappt in der Ebene — der Mantel wird zum Rechteck \(U \times h\).
| Grösse | Quader (Kanten \(a, b, c\)) | Würfel (Kante \(a\)) |
|---|---|---|
| Volumen | \(V = a b c\) | \(V = a^3\) |
| Oberfläche | \(O = 2(ab + ac + bc)\) | \(O = 6a^2\) |
| Flächendiagonale | z.B. \(d_{ab} = \sqrt{a^2 + b^2}\) | \(d_F = a\sqrt{2}\) |
| Raumdiagonale (auch Körperdiagonale) | \(d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\) | \(d = a\sqrt{3}\) |
Die Raumdiagonale kommt von zweimal Pythagoras: erst in der Grundfläche (\(\sqrt{a^2+b^2}\)), dann senkrecht dazu mit \(c\) — genau wie beim Betrag eines Raumvektors in ↗ 4.3a.
✏️ Mini-Check — Quader und Prisma
Was ist der Mantel eines geraden Prismas, aufgeklappt im Netz?
- ein Rechteck mit den Seiten \(U\) und \(h\)
- ein Kreis
- so viele Dreiecke wie Ecken
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Die Raumdiagonale des Quaders entsteht durch -malige Anwendung des Satzes von Pythagoras.
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Quader \(4 \times 3 \times 2\) cm: Berechne \(V\), \(O\) und die Raumdiagonale.
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Ein Würfel hat Volumen \(64\ \text{cm}^3\). Wie lang ist seine Raumdiagonale?
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Der gerade Kreiszylinder
Der gerade Kreiszylinder ist das «Prisma mit Kreis-Grundfläche»: Radius \(r\), Höhe \(h\).
\[ V = \pi r^2 h, \qquad M = 2\pi r h, \qquad O = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r (r + h) \]Im Netz besteht der Zylinder aus zwei Kreisen und einem Rechteck: Der Mantel rollt sich ab zur Breite \(U = 2\pi r\) und Höhe \(h\) — daher \(M = 2\pi r h\). Die geraden Strecken auf der Mantelfläche parallel zur Achse heissen Mantellinien; beim geraden Zylinder sind sie gerade so lang wie die Höhe \(h\).
Aufgaben nennen oft den Durchmesser («Tonne mit \(d = 80\) cm»). In allen Formeln steht aber der Radius \(r = d/2\). Wer \(d\) einsetzt, bekommt das Vierfache des Volumens. Erster Schritt jeder Zylinderaufgabe: \(r\) notieren.
✏️ Mini-Check — Zylinder
Welche Breite hat das Mantel-Rechteck im Zylindernetz?
- \(r\)
- \(2\pi r\) (der Umfang)
- \(\pi r^2\)
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Verdoppelt man den Radius, wächst das Zylindervolumen auf das -Fache.
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Zylinder mit \(r = 5\) cm, \(h = 10\) cm: Berechne das Volumen.
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Ein Etikett soll eine Dose (\(r = 3\) cm, \(h = 11\) cm) genau einmal umwickeln. Welche Masse hat das Etikett?
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Grundlagen — Darstellung und Lage im Raum
Dieser Abschnitt fasst die räumliche Darstellung aus 4.1 (Grundlagen) als Wiederholung zusammen — hier angewendet auf Prismen und Zylinder.
Zwei Standard-Darstellungen räumlicher Körper:
- Schrägbild (schiefe Parallelprojektion): Frontflächen in wahrer Grösse; nach hinten laufende Kanten verkürzt (üblich: Faktor \(0.5\)) und unter \(45°\).
- Netz (Abwicklung): alle Begrenzungsflächen aufgeklappt in der Ebene — die Grundlage jeder Oberflächenberechnung.
| Paarung | mögliche Lagen |
|---|---|
| Gerade – Gerade | identisch · parallel · schneidend · windschief |
| Gerade – Ebene | in der Ebene · parallel · Durchstosspunkt |
| Ebene – Ebene | identisch · parallel · Schnittgerade |
Diese Begriffe lernst du rechnerisch in ↗ 4.3c und ↗ 4.3d kennen — hier brauchen wir sie anschaulich: Kanten eines Quaders können z.B. windschief sein.
✏️ Mini-Check — Darstellung und Lage
Wie erscheinen die nach hinten laufenden Kanten im üblichen Schrägbild?
- in wahrer Länge, senkrecht
- halbiert, unter 45°
- gar nicht
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Zwei Geraden im Raum, die sich weder schneiden noch parallel sind, heissen .
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Wie viele Flächen zeigt das Netz eines Quaders — und wie viele davon sind höchstens verschieden gross?
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Nenne am Quader \(ABCDEFGH\) ein Paar windschiefer Kanten und begründe.
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Formeln umstellen und zusammensetzen
Oft ist das Volumen gegeben und eine Kante oder der Radius gesucht: Formel nach der gesuchten Grösse umstellen, erst dann Zahlen einsetzen. Beispiel: \(V = \pi r^2 h \Rightarrow r = \sqrt{\tfrac{V}{\pi h}}\).
Ein zylindrisches Gefäss soll \(V = 500\ \text{cm}^3\) fassen bei \(h = 10\) cm. Welcher Radius ist nötig?
\[ r = \sqrt{\frac{V}{\pi h}} = \sqrt{\frac{500}{10\pi}} \approx 3.99\ \text{cm} \]Ein gerades Prisma hat als Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck mit \(a = 6\) cm; Höhe \(h = 10\) cm.
\[ G = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 \approx 15.59\ \text{cm}^2 \;\Rightarrow\; V \approx 155.88\ \text{cm}^3 \]Mantel: \(M = U \cdot h = 18 \cdot 10 = 180\ \text{cm}^2\); Oberfläche \(O = M + 2G \approx 211.18\ \text{cm}^2\).
Reale Objekte (Halle mit Satteldach, Werkstück mit Bohrung) zerlegt man in Teilkörper: Volumina addieren — oder bei Bohrungen/Aussparungen subtrahieren. Bei Oberflächen aufpassen: Berührungsflächen zählen nicht mit!
✏️ Mini-Check — Umstellen und Zusammensetzen
Aus \(V = \pi r^2 h\) folgt \(r =\) ?
- \(\sqrt{V / (\pi h)}\)
- \(V / (\pi h)\)
- \(\sqrt{V \pi h}\)
Lösung anzeigen
Bei zusammengesetzten Körpern zählen flächen nicht zur Oberfläche.
Lösung anzeigen
Ein Würfel hat Oberfläche \(O = 96\ \text{cm}^2\). Wie lang ist die Kante?
Lösung anzeigen
Durch einen Würfel (\(a = 6\) cm) wird ein zylindrisches Loch (\(r = 1\) cm) senkrecht durchgebohrt. Wie berechnet man das Restvolumen?
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Aufgaben
Wähle eine Beschreibung — welche Volumenformel passt?
Welche Formel gehört dazu?
Skizziere auf Papier die Netze und beschrifte alle Masse:
- Quader \(4 \times 3 \times 2\) cm
- Zylinder mit \(r = 2\) cm und \(h = 5\) cm (Mantelbreite berechnen!)
- gerades Prisma mit gleichseitigem Dreieck \(a = 3\) cm als Grundfläche, \(h = 6\) cm
- Sechs Rechtecke, paarweise: \(4{\times}3\) (2×), \(4{\times}2\) (2×), \(3{\times}2\) (2×) — kreuzförmig anordenbar.
- Zwei Kreise (\(r = 2\)) + Mantel-Rechteck: Breite \(2\pi \cdot 2 \approx 12.57\) cm, Höhe \(5\) cm.
- Zwei gleichseitige Dreiecke (\(a = 3\)) + drei Rechtecke \(3 \times 6\) cm nebeneinander (Mantel \(9 \times 6\)).
Quader mit \(a = 4\), \(b = 3\), \(c = 2\) cm: Berechne \(O\) und die Raumdiagonale \(d\) (zwei Dezimalen).
Berechne die Raumdiagonale eines Würfels mit \(a = 5\) cm (zwei Dezimalen).
Zylinder mit \(r = 3\) cm, \(h = 8\) cm: Berechne \(V\) und \(O\) (zwei Dezimalen).
Ein Zylinder soll bei \(h = 10\) cm genau \(V = 500\ \text{cm}^3\) fassen. Berechne \(r\) (zwei Dezimalen).
Gerades Prisma, Grundfläche gleichseitiges Dreieck mit \(a = 6\) cm, Höhe \(h = 10\) cm: Berechne \(V\) und \(O\) (zwei Dezimalen).
Ein Aquarium (offener Quader, ohne Deckel) misst innen \(80 \times 35 \times 40\) cm (Länge × Breite × Höhe).
- Wie viele Liter fasst es randvoll?
- Wie viel Glasfläche wurde verbaut (Boden + 4 Seiten)?
- \(V = 80 \cdot 35 \cdot 40 = 112000\ \text{cm}^3 = 112\) Liter (\(1\ \text{l} = 1000\ \text{cm}^3\)).
- Boden \(80 \cdot 35 = 2800\); Seiten \(2 \cdot 80 \cdot 40 + 2 \cdot 35 \cdot 40 = 9200\); total \(12000\ \text{cm}^2 = 1.2\ \text{m}^2\).
Eine zylindrische Regentonne hat den Durchmesser \(80\) cm und die Höhe \(120\) cm.
- Wie viele Liter fasst sie (ganze Liter)?
- Ein Sommergewitter liefert \(35\) l. Um wie viele cm steigt der Wasserspiegel?
- Radius \(r = 40\) cm (nicht 80!): \(V = \pi \cdot 40^2 \cdot 120 \approx 603186\ \text{cm}^3 \approx 603\) l.
- \(35\ \text{l} = 35000\ \text{cm}^3\): \(\Delta h = \tfrac{35000}{\pi \cdot 1600} \approx 6.96\) cm.
Eine Werkhalle: Quader \(10 \times 6 \times 3\) m, darauf ein Satteldach — ein liegendes Prisma mit dreieckigem Querschnitt (Basis \(6\) m, Firsthöhe \(1.5\) m über der Traufe), Länge \(10\) m.
- Berechne das umbaute Volumen der ganzen Halle.
- Welchen Anteil trägt das Dach bei (in Prozent, eine Dezimale)?
- Quader \(180\ \text{m}^3\); Dachprisma \(G = \tfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 1.5 = 4.5\ \text{m}^2\), \(V = 4.5 \cdot 10 = 45\ \text{m}^3\); total \(\mathbf{225\ m^3}\).
- \(\tfrac{45}{225} = 20.0\ \%\).
Eine Getränkedose soll \(330\ \text{cm}^3\) fassen und möglichst wenig Blech brauchen. Die Materialtheorie zeigt: Optimal ist \(h = 2r\) (die Dose «passt in einen Würfel-Querschnitt»).
- Setze \(h = 2r\) in die Volumenformel ein und stelle nach \(r\) um.
- Berechne \(r\) und \(h\) für \(V = 330\ \text{cm}^3\) (zwei Dezimalen).
- Vergleiche mit einer realen Dose (\(r \approx 3.3\) cm, \(h \approx 11.5\) cm): Ist sie optimal? Vermute, warum nicht.
- \(V = \pi r^2 \cdot 2r = 2\pi r^3 \Rightarrow r = \sqrt[3]{\tfrac{V}{2\pi}}\).
- \(r = \sqrt[3]{\tfrac{330}{2\pi}} \approx 3.74\) cm, \(h = 2r \approx 7.49\) cm. Kontrolle: \(\pi \cdot 3.74^2 \cdot 7.49 \approx 330\) ✓
- Die reale Dose ist schlanker als optimal — Gründe: Greifbarkeit, Trinkkomfort, Regalnormen und dickeres Material an Deckel/Boden (der reine Blechverbrauch ist nicht das einzige Kriterium).
Zusammenfassung
Prisma und Zylinder sind die Körper mit konstantem Querschnitt: \(V = G \cdot h\), Mantel \(M = U \cdot h\) (beim Zylinder \(2\pi r h\)), Oberfläche \(O = 2G + M\). Diagonalen liefert zweimal Pythagoras (\(d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}\), Würfel \(a\sqrt{3}\)). Nach Cavalieri gilt \(V = G \cdot h\) auch schief — mit der senkrechten Höhe. Bei Aufgaben: Durchmesser halbieren, Einheiten sauber (\(1\ \text{l} = 1000\ \text{cm}^3\)), zusammengesetzte Körper in Teilkörper zerlegen.
| Körper | Volumen | Mantel / Oberfläche |
|---|---|---|
| gerades Prisma | \(V = G \cdot h\) | \(M = U h\); \(O = 2G + M\) |
| Quader | \(V = abc\) | \(O = 2(ab+ac+bc)\); \(d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}\) |
| Würfel | \(V = a^3\) | \(O = 6a^2\); \(d = a\sqrt{3}\) |
| Kreiszylinder | \(V = \pi r^2 h\) | \(M = 2\pi r h\); \(O = 2\pi r(r+h)\) |
Clips
Clips zu den Animationen — was jede Animation zeigt
Transkripte — der gesprochene Text zum Mitlesen
Schiefer Münzstapel: gleiches Volumen, längere Seitenlinie
- 0:00In der Animation schiebst du einen Stapel aus zwölf Münzen schräg. Ändert sich dabei das Volumen?
- 0:09Ohne Scherung steht der Stapel gerade. Das Volumen ist pi mal zwei im Quadrat mal sechs, rund fünfundsiebzig Komma vier Kubikzentimeter. Die Seitenlinie ist so lang wie die Höhe: sechs Zentimeter.
- 0:22Bei s gleich zwei Komma fünf ist der Stapel schief. Die Seitenlinie wird länger: sechs Komma fünf Zentimeter. Keine Münze hat sich dabei verändert.
- 0:31Bei s gleich vier ist die Seitenlinie rund sieben Komma zwei eins Zentimeter lang. Die senkrechte Höhe bleibt sechs, und jede Münze hat denselben Querschnitt wie vorher. Also bleibt auch das Volumen gleich.
- 0:43Das ist der Satz von Cavalieri: Körper mit gleichen Querschnittsflächen in jeder Höhe haben gleiches Volumen. Darum gilt V gleich G mal h auch für schiefe Prismen und Zylinder, mit der senkrechten Höhe.
Raumdiagonale im Quader: zweimal Pythagoras
- 0:00Im Quader-Labor stellst du die drei Kanten ein. Die violette Raumdiagonale hat eine Formel mit drei Quadraten unter der Wurzel. Woher kommen sie?
- 0:09Zuerst Pythagoras in der Grundfläche: Die grüne Flächendiagonale ist die Wurzel aus acht im Quadrat plus sechs im Quadrat, also zehn. Dann mit der Kante c gleich vier: d ist rund zehn Komma sieben sieben Zentimeter.
- 0:22Jetzt wird nur c grösser, auf acht. Die grüne Flächendiagonale bleibt zehn Zentimeter, denn sie liegt in der Grundfläche. Die Raumdiagonale wächst auf rund zwölf Komma acht eins Zentimeter.
- 0:34Mit a, b und c gleich acht entsteht ein Würfel. Unter der Wurzel steht dreimal acht im Quadrat. Also ist d gleich acht mal Wurzel drei, rund dreizehn Komma acht sechs Zentimeter.
- 0:45Merke: Die Raumdiagonale ist die Hypotenuse über der Flächendiagonale und der dritten Kante, also zweimal Pythagoras. Beim Würfel ist d gleich a mal Wurzel drei.
Zylindernetz: Volumen wächst mit r², Mantel mit r
- 0:00Im Zylinder-Labor stellst du Radius und Höhe ein, rechts siehst du das Netz. Wachsen Volumen und Mantel gleich schnell, wenn der Radius grösser wird?
- 0:09Bei Radius eins Komma fünf und Höhe acht ist das Volumen achtzehn pi, rund sechsundfünfzig Komma fünf Kubikzentimeter. Der Mantel ist vierundzwanzig pi, rund fünfundsiebzig Komma vier Quadratzentimeter.
- 0:22Jetzt verdoppeln wir den Radius auf drei, die Höhe bleibt acht. Das Volumen wird zweiundsiebzig pi, das Vierfache. Der Mantel wird achtundvierzig pi, nur das Doppelte. Im Netz ist das Rechteck doppelt so breit.
- 0:35Halbiert man die Höhe auf vier, wird das Mantel-Rechteck flacher, aber nicht schmaler. Seine Breite ist der abgerollte Umfang: zwei pi mal drei, rund achtzehn Komma acht fünf Zentimeter.
- 0:46Merke: Bei fester Höhe wächst das Volumen mit dem Quadrat des Radius, der Mantel nur linear. Das Mantel-Rechteck hat immer die Breite zwei pi r, den abgerollten Umfang.
Körper: Prisma und Zylinder — Grundfläche mal Höhe
- 0:00Prisma und Zylinder sehen verschieden aus und haben dieselbe Volumenformel. Der Grund liegt darin, wie beide entstehen.
- 0:08Beide entstehen, indem man eine ebene Fläche senkrecht verschiebt. Der Querschnitt bleibt dabei auf jeder Höhe derselbe — darum genügt es, ihn mit der Höhe zu multiplizieren.
- 0:18Beim Zylinder ist die Grundfläche ein Kreis. Bei Radius drei und Höhe zehn: pi mal neun mal zehn, rund zweihundertdreiundachtzig Kubikzentimeter.
- 0:28Die Oberfläche besteht aus zwei Grundflächen und dem Mantel. Der Mantel des Zylinders ist aufgerollt ein Rechteck: Umfang mal Höhe.
- 0:37Zum Mitnehmen: Gleichbleibender Querschnitt heisst Grundfläche mal Höhe. Und die Oberfläche ist zweimal die Grundfläche plus der aufgerollte Mantel.
Körper: eine Formel einmal eintippen, mehrfach auswerten
- 0:00Bei einer Aufgabenserie steht dieselbe Formel fünfmal da, nur mit anderen Zahlen. Fünfmal eintippen heisst fünf Gelegenheiten für einen Tippfehler. Der Rechner kann die Formel behalten und nach den Werten fragen.
- 0:13Zweit-Taste, expr-eval. In die Zeile Expr gleich kommt die Formel. Und hier die erste Umstellung: Der Rechner kennt kein r und kein h. Er kennt acht Variablen mit festen Namen — x, y, z, t, a, b, c und d. Also x für den Radius und y für die Höhe.
- 0:31Nach dem Bestätigen fragt der Rechner der Reihe nach jede Variable ab, die in der Formel vorkommt. Radius drei Komma fünf Zentimeter, Höhe zwölf Zentimeter — und heraus kommen vierhunderteinundsechzig Komma acht Kubikzentimeter.
- 0:45Und jetzt der Gewinn: Für den nächsten Zylinder rufst du dieselbe Formel wieder auf und tippst nur die zwei Zahlen. Radius vier, Höhe zwölf — sechshundertdrei Komma zwei. Die Formel selbst hat niemand ein zweites Mal geschrieben.
- 0:58Ein Nebeneffekt, den man kennen muss: Was du eintippst, bleibt danach in der Variablen stehen. Nach dem Auswerten steht vier in x und zwölf in y — dieselben Speicher, die auch sto-Pfeil benutzt. Wer später x für etwas anderes braucht, überschreibt es einfach.
- 1:14Und die Grenze: Der Rechner prüft nichts. Er merkt nicht, ob du Zentimeter und Meter mischst, er merkt nicht, ob die Formel zum Körper passt, und er schreibt keine Einheit ins Ergebnis. Er wiederholt nur genau das, was du einmal hingeschrieben hast — richtig oder falsch.
- 1:29Die Formel einmal, die Zahlen so oft du willst.
Zusatzmaterial
Materialien zum Mitnehmen, Üben und Wiederholen. Druckseiten öffnen in neuem Tab.