4.2a Prismen und Zylinder
Vom Aquarium bis zur Litfasssäule: Prismen und Zylinder sind die Körper mit konstantem Querschnitt — Grundfläche mal Höhe, fertig ist das Volumen. Auf dieser Seite lernst du Quader, Würfel, allgemeine Prismen und den Kreiszylinder kennen: Schrägbild und Netz, Volumen und Oberfläche, Flächen- und Raumdiagonalen — und mit dem Satz von Cavalieri das Prinzip dahinter.
- geometrische Sachverhalte von elementaren Objekten (Prisma, Pyramide, Pyramidenstumpf, Kreiszylinder, Kreiskegel, Kreiskegelstumpf, Kugel) beschreiben
- deren Elemente (Körperdiagonale, Höhen, Öffnungswinkel, Mantellinie) und Zusammenhänge (Volumen, Oberfläche) berechnen
- die Ähnlichkeit für Berechnungen im Raum nutzen
Diese Seite behandelt Prisma und Kreiszylinder (inkl. Grundlagen: Schrägbild, Netz, Lagebeziehungen, Cavalieri). Es folgen Teil 2: Pyramiden, Kegel und Stümpfe (s4-2b) und Teil 3: Kugel und zusammengesetzte Körper (s4-2c).
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann Körper im Schrägbild darstellen und ihr Netz (die Abwicklung) zeichnen.
- Ich kann Volumen und Oberfläche von Quader, Würfel und geradem Prisma berechnen: \(V = G \cdot h\), \(O = 2G + M\) mit \(M = U \cdot h\).
- Ich kann Flächen- und Raumdiagonalen mit Pythagoras berechnen (\(d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\) im Quader).
- Ich kann Volumen, Mantel und Oberfläche des geraden Kreiszylinders berechnen und sein Netz deuten.
- Ich kann Formeln nach einer gesuchten Grösse umstellen (z.B. Radius aus Volumen und Höhe).
- Ich kann mit dem Satz von Cavalieri begründen, warum schiefe Körper dasselbe Volumen haben wie gerade.
Einstieg — der Münzstapel von Cavalieri
Ein Stapel Münzen steht senkrecht: ein Zylinder. Schiebt man ihn schräg, entsteht ein schiefer Zylinder — aber keine einzige Münze hat ihr Volumen geändert. Der Stapel enthält immer noch gleich viel Metall.
Genau das ist die Kernidee der Stereometrie: Grundfläche × Höhe zählt — nicht, wie der Körper «lehnt».
Der Scherungs-Regler ändert die Form, nicht den Inhalt:
- Jede Schicht behält ihre Fläche — also bleibt \(V = G \cdot h\) mit der senkrechten Höhe \(h\).
- Länger wird nur die Seitenlinie — sie ist beim schiefen Körper keine Höhe mehr!
✏️ Mini-Check — Einstieg
Was besagt der Satz von Cavalieri?
- Alle Zylinder haben gleiches Volumen.
- Gleiche Querschnittsflächen in jeder Höhe → gleiches Volumen.
- Schiefe Körper haben kein berechenbares Volumen.
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Beim schiefen Prisma gilt \(V = G \cdot h\) mit der Höhe, nicht mit der Seitenlinie.
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Der Münzstapel hat \(r = 2\) cm und \(h = 6\) cm. Berechne sein Volumen.
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Zwei Bücherstapel: einer gerade, einer schräg verschoben — beide aus denselben 20 Büchern. Vergleiche Volumen und Höhe.
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Definitionen — Prisma, Quader, Würfel
Ein gerades Prisma entsteht, wenn ein Vieleck (die Grundfläche \(G\)) senkrecht um die Höhe \(h\) verschoben wird. Grund- und Deckfläche sind kongruent und parallel; die Seitenflächen sind Rechtecke und bilden zusammen den Mantel \(M\).
\[ V = G \cdot h, \qquad M = U \cdot h, \qquad O = 2G + M \](\(U\) = Umfang der Grundfläche.) Das Netz (die Abwicklung) zeigt alle Flächen aufgeklappt in der Ebene — der Mantel wird zum Rechteck \(U \times h\).
| Grösse | Quader (Kanten \(a, b, c\)) | Würfel (Kante \(a\)) |
|---|---|---|
| Volumen | \(V = a b c\) | \(V = a^3\) |
| Oberfläche | \(O = 2(ab + ac + bc)\) | \(O = 6a^2\) |
| Flächendiagonale | z.B. \(d_{ab} = \sqrt{a^2 + b^2}\) | \(d_F = a\sqrt{2}\) |
| Raumdiagonale (auch Körperdiagonale) | \(d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\) | \(d = a\sqrt{3}\) |
Die Raumdiagonale kommt von zweimal Pythagoras: erst in der Grundfläche (\(\sqrt{a^2+b^2}\)), dann senkrecht dazu mit \(c\) — genau wie beim Betrag eines Raumvektors in ↗ 4.3a.
✏️ Mini-Check — Quader und Prisma
Was ist der Mantel eines geraden Prismas, aufgeklappt im Netz?
- ein Rechteck mit den Seiten \(U\) und \(h\)
- ein Kreis
- so viele Dreiecke wie Ecken
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Die Raumdiagonale des Quaders entsteht durch -malige Anwendung des Satzes von Pythagoras.
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Quader \(4 \times 3 \times 2\) cm: Berechne \(V\), \(O\) und die Raumdiagonale.
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Ein Würfel hat Volumen \(64\ \text{cm}^3\). Wie lang ist seine Raumdiagonale?
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Der gerade Kreiszylinder
Der gerade Kreiszylinder ist das «Prisma mit Kreis-Grundfläche»: Radius \(r\), Höhe \(h\).
\[ V = \pi r^2 h, \qquad M = 2\pi r h, \qquad O = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r (r + h) \]Im Netz besteht der Zylinder aus zwei Kreisen und einem Rechteck: Der Mantel rollt sich ab zur Breite \(U = 2\pi r\) und Höhe \(h\) — daher \(M = 2\pi r h\). Die geraden Strecken auf der Mantelfläche parallel zur Achse heissen Mantellinien; beim geraden Zylinder sind sie gerade so lang wie die Höhe \(h\).
Aufgaben nennen oft den Durchmesser («Tonne mit \(d = 80\) cm»). In allen Formeln steht aber der Radius \(r = d/2\). Wer \(d\) einsetzt, bekommt das Vierfache des Volumens. Erster Schritt jeder Zylinderaufgabe: \(r\) notieren.
✏️ Mini-Check — Zylinder
Welche Breite hat das Mantel-Rechteck im Zylindernetz?
- \(r\)
- \(2\pi r\) (der Umfang)
- \(\pi r^2\)
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Verdoppelt man den Radius, wächst das Zylindervolumen auf das -Fache.
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Zylinder mit \(r = 5\) cm, \(h = 10\) cm: Berechne das Volumen.
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Ein Etikett soll eine Dose (\(r = 3\) cm, \(h = 11\) cm) genau einmal umwickeln. Welche Masse hat das Etikett?
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Grundlagen — Darstellung und Lage im Raum
Dieser Abschnitt fasst die räumliche Darstellung aus 4.1 (Grundlagen) als Wiederholung zusammen — hier angewendet auf Prismen und Zylinder.
Zwei Standard-Darstellungen räumlicher Körper:
- Schrägbild (schiefe Parallelprojektion): Frontflächen in wahrer Grösse; nach hinten laufende Kanten verkürzt (üblich: Faktor \(0.5\)) und unter \(45°\).
- Netz (Abwicklung): alle Begrenzungsflächen aufgeklappt in der Ebene — die Grundlage jeder Oberflächenberechnung.
| Paarung | mögliche Lagen |
|---|---|
| Gerade – Gerade | identisch · parallel · schneidend · windschief |
| Gerade – Ebene | in der Ebene · parallel · Durchstosspunkt |
| Ebene – Ebene | identisch · parallel · Schnittgerade |
Diese Begriffe lernst du rechnerisch in ↗ 4.3c und ↗ 4.3d kennen — hier brauchen wir sie anschaulich: Kanten eines Quaders können z.B. windschief sein.
✏️ Mini-Check — Darstellung und Lage
Wie erscheinen die nach hinten laufenden Kanten im üblichen Schrägbild?
- in wahrer Länge, senkrecht
- halbiert, unter 45°
- gar nicht
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Zwei Geraden im Raum, die sich weder schneiden noch parallel sind, heissen .
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Wie viele Flächen zeigt das Netz eines Quaders — und wie viele davon sind höchstens verschieden gross?
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Nenne am Quader \(ABCDEFGH\) ein Paar windschiefer Kanten und begründe.
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Formeln umstellen und zusammensetzen
Oft ist das Volumen gegeben und eine Kante oder der Radius gesucht: Formel nach der gesuchten Grösse umstellen, erst dann Zahlen einsetzen. Beispiel: \(V = \pi r^2 h \Rightarrow r = \sqrt{\tfrac{V}{\pi h}}\).
Ein zylindrisches Gefäss soll \(V = 500\ \text{cm}^3\) fassen bei \(h = 10\) cm. Welcher Radius ist nötig?
\[ r = \sqrt{\frac{V}{\pi h}} = \sqrt{\frac{500}{10\pi}} \approx 3.99\ \text{cm} \]Ein gerades Prisma hat als Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck mit \(a = 6\) cm; Höhe \(h = 10\) cm.
\[ G = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 \approx 15.59\ \text{cm}^2 \;\Rightarrow\; V \approx 155.88\ \text{cm}^3 \]Mantel: \(M = U \cdot h = 18 \cdot 10 = 180\ \text{cm}^2\); Oberfläche \(O = M + 2G \approx 211.18\ \text{cm}^2\).
Reale Objekte (Halle mit Satteldach, Werkstück mit Bohrung) zerlegt man in Teilkörper: Volumina addieren — oder bei Bohrungen/Aussparungen subtrahieren. Bei Oberflächen aufpassen: Berührungsflächen zählen nicht mit!
✏️ Mini-Check — Umstellen und Zusammensetzen
Aus \(V = \pi r^2 h\) folgt \(r =\) ?
- \(\sqrt{V / (\pi h)}\)
- \(V / (\pi h)\)
- \(\sqrt{V \pi h}\)
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Bei zusammengesetzten Körpern zählen flächen nicht zur Oberfläche.
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Ein Würfel hat Oberfläche \(O = 96\ \text{cm}^2\). Wie lang ist die Kante?
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Durch einen Würfel (\(a = 6\) cm) wird ein zylindrisches Loch (\(r = 1\) cm) senkrecht durchgebohrt. Wie berechnet man das Restvolumen?
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Aufgaben
Wähle eine Beschreibung — welche Volumenformel passt?
Welche Formel gehört dazu?
Skizziere auf Papier die Netze und beschrifte alle Masse:
- Quader \(4 \times 3 \times 2\) cm
- Zylinder mit \(r = 2\) cm und \(h = 5\) cm (Mantelbreite berechnen!)
- gerades Prisma mit gleichseitigem Dreieck \(a = 3\) cm als Grundfläche, \(h = 6\) cm
- Sechs Rechtecke, paarweise: \(4{\times}3\) (2×), \(4{\times}2\) (2×), \(3{\times}2\) (2×) — kreuzförmig anordenbar.
- Zwei Kreise (\(r = 2\)) + Mantel-Rechteck: Breite \(2\pi \cdot 2 \approx 12.57\) cm, Höhe \(5\) cm.
- Zwei gleichseitige Dreiecke (\(a = 3\)) + drei Rechtecke \(3 \times 6\) cm nebeneinander (Mantel \(9 \times 6\)).
Quader mit \(a = 4\), \(b = 3\), \(c = 2\) cm: Berechne \(O\) und die Raumdiagonale \(d\) (zwei Dezimalen).
Berechne die Raumdiagonale eines Würfels mit \(a = 5\) cm (zwei Dezimalen).
Zylinder mit \(r = 3\) cm, \(h = 8\) cm: Berechne \(V\) und \(O\) (zwei Dezimalen).
Ein Zylinder soll bei \(h = 10\) cm genau \(V = 500\ \text{cm}^3\) fassen. Berechne \(r\) (zwei Dezimalen).
Gerades Prisma, Grundfläche gleichseitiges Dreieck mit \(a = 6\) cm, Höhe \(h = 10\) cm: Berechne \(V\) und \(O\) (zwei Dezimalen).
Ein Aquarium (offener Quader, ohne Deckel) misst innen \(80 \times 35 \times 40\) cm (Länge × Breite × Höhe).
- Wie viele Liter fasst es randvoll?
- Wie viel Glasfläche wurde verbaut (Boden + 4 Seiten)?
- \(V = 80 \cdot 35 \cdot 40 = 112000\ \text{cm}^3 = 112\) Liter (\(1\ \text{l} = 1000\ \text{cm}^3\)).
- Boden \(80 \cdot 35 = 2800\); Seiten \(2 \cdot 80 \cdot 40 + 2 \cdot 35 \cdot 40 = 9200\); total \(12000\ \text{cm}^2 = 1.2\ \text{m}^2\).
Eine zylindrische Regentonne hat den Durchmesser \(80\) cm und die Höhe \(120\) cm.
- Wie viele Liter fasst sie (ganze Liter)?
- Ein Sommergewitter liefert \(35\) l. Um wie viele cm steigt der Wasserspiegel?
- Radius \(r = 40\) cm (nicht 80!): \(V = \pi \cdot 40^2 \cdot 120 \approx 603186\ \text{cm}^3 \approx 603\) l.
- \(35\ \text{l} = 35000\ \text{cm}^3\): \(\Delta h = \tfrac{35000}{\pi \cdot 1600} \approx 6.96\) cm.
Eine Werkhalle: Quader \(10 \times 6 \times 3\) m, darauf ein Satteldach — ein liegendes Prisma mit dreieckigem Querschnitt (Basis \(6\) m, Firsthöhe \(1.5\) m über der Traufe), Länge \(10\) m.
- Berechne das umbaute Volumen der ganzen Halle.
- Welchen Anteil trägt das Dach bei (in Prozent, eine Dezimale)?
- Quader \(180\ \text{m}^3\); Dachprisma \(G = \tfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 1.5 = 4.5\ \text{m}^2\), \(V = 4.5 \cdot 10 = 45\ \text{m}^3\); total \(\mathbf{225\ m^3}\).
- \(\tfrac{45}{225} = 20.0\ \%\).
Eine Getränkedose soll \(330\ \text{cm}^3\) fassen und möglichst wenig Blech brauchen. Die Materialtheorie zeigt: Optimal ist \(h = 2r\) (die Dose «passt in einen Würfel-Querschnitt»).
- Setze \(h = 2r\) in die Volumenformel ein und stelle nach \(r\) um.
- Berechne \(r\) und \(h\) für \(V = 330\ \text{cm}^3\) (zwei Dezimalen).
- Vergleiche mit einer realen Dose (\(r \approx 3.3\) cm, \(h \approx 11.5\) cm): Ist sie optimal? Vermute, warum nicht.
- \(V = \pi r^2 \cdot 2r = 2\pi r^3 \Rightarrow r = \sqrt[3]{\tfrac{V}{2\pi}}\).
- \(r = \sqrt[3]{\tfrac{330}{2\pi}} \approx 3.74\) cm, \(h = 2r \approx 7.49\) cm. Kontrolle: \(\pi \cdot 3.74^2 \cdot 7.49 \approx 330\) ✓
- Die reale Dose ist schlanker als optimal — Gründe: Greifbarkeit, Trinkkomfort, Regalnormen und dickeres Material an Deckel/Boden (der reine Blechverbrauch ist nicht das einzige Kriterium).
Zusammenfassung
Prisma und Zylinder sind die Körper mit konstantem Querschnitt: \(V = G \cdot h\), Mantel \(M = U \cdot h\) (beim Zylinder \(2\pi r h\)), Oberfläche \(O = 2G + M\). Diagonalen liefert zweimal Pythagoras (\(d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}\), Würfel \(a\sqrt{3}\)). Nach Cavalieri gilt \(V = G \cdot h\) auch schief — mit der senkrechten Höhe. Bei Aufgaben: Durchmesser halbieren, Einheiten sauber (\(1\ \text{l} = 1000\ \text{cm}^3\)), zusammengesetzte Körper in Teilkörper zerlegen.
| Körper | Volumen | Mantel / Oberfläche |
|---|---|---|
| gerades Prisma | \(V = G \cdot h\) | \(M = U h\); \(O = 2G + M\) |
| Quader | \(V = abc\) | \(O = 2(ab+ac+bc)\); \(d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}\) |
| Würfel | \(V = a^3\) | \(O = 6a^2\); \(d = a\sqrt{3}\) |
| Kreiszylinder | \(V = \pi r^2 h\) | \(M = 2\pi r h\); \(O = 2\pi r(r+h)\) |
Zusatzmaterial
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