Vieleck-Grundfläche \(G\), senkrecht um \(h\) verschoben. Grund- und Deckfläche kongruent, Mantel aus Rechtecken:
\( V = G \cdot h, \qquad M = U \cdot h, \qquad O = 2G + M \)
Satz von Cavalieri: Gleiche Querschnittsflächen in jeder Höhe → gleiches Volumen. Darum gilt \( V = G \cdot h \) auch für schiefe Prismen und Zylinder — mit der senkrechten Höhe (Münzstapel-Experiment).
| Quader | \( V = abc \); \( O = 2(ab + ac + bc) \); \( d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \) |
| Würfel | \( V = a^3 \); \( O = 6a^2 \); \( d = a\sqrt{3} \); Flächendiagonale \( a\sqrt{2} \) |
Raumdiagonale = zweimal Pythagoras: erst in der Grundfläche, dann senkrecht dazu.
\( V = \pi r^2 h, \qquad M = 2\pi r h, \qquad O = 2\pi r (r + h) \)
Netz: zwei Kreise + Mantel-Rechteck der Breite \( 2\pi r \) (abgerollter Umfang) und Höhe \(h\).
Schrägbild: Front in wahrer Grösse, Tiefenkanten halbiert unter 45°. Netz: alle Flächen aufgeklappt — Grundlage der Oberflächenrechnung. Geraden im Raum können windschief sein.
Formeln erst nach der gesuchten Grösse umstellen (\( r = \sqrt{V/(\pi h)} \)); Durchmesser halbieren; \( 1\ \text{l} = 1000\ \text{cm}^3 \); zusammengesetzte Körper in Teilkörper zerlegen — Berührungsflächen zählen nicht zur Oberfläche.
Konstanter Querschnitt heisst \( V = G \cdot h \) — gerade oder schief (Cavalieri). Diagonalen mit zweimal Pythagoras, Zylindermantel als abgerolltes Rechteck.