Mathe begreifbar · Schwerpunktfach · Prismen und Zylinder

Teste dich selbst

📘 Anleitung

12 Aufgaben mit ansteigendem Schwierigkeitsgrad. Bearbeite alle Aufgaben in einem Zug, ohne in die Lösungen zu schauen — diese stehen am Ende. Hilfsmittel: nur Formelsammlung Promath. Zeitvorgabe: ca. 45 Minuten.

Grundlagen & Verständnis

△ 1 Begriffe vervollständigen ●●●

Vervollständige die Aussage und schreibe in die Lücken:

Beim geraden Prisma gilt \( V = G \cdot h \) und der Mantel ist
\( M = \) \( \cdot\ h \). Nach dem Satz von
gilt die Volumenformel auch für schiefe Körper.

△ 2 Netz des Zylinders ●●●

Aus welchen Teilflächen besteht das Netz eines Zylinders — und welche Breite hat das Mantel-Rechteck?

△ 3 Würfel ●●●

Würfel mit \( a = 5 \) cm: Berechne \(V\), \(O\) und die Raumdiagonale.

Quader und Prisma

△ 4 Quader komplett ●●●

Quader \( 4 \times 3 \times 2 \) cm: Berechne \(V\), \(O\) und \(d\).

△ 5 Rückwärts ●●●

Ein Würfel hat die Oberfläche \( O = 96\ \text{cm}^2 \). Berechne Kante und Volumen.

△ 6 Dreiecksprisma ●●●

Gerades Prisma, Grundfläche gleichseitiges Dreieck (\( a = 6 \) cm), Höhe 10 cm: Berechne \(V\) und \(O\).

Zylinder

△ 7 Zylinder komplett ●●●

Zylinder mit \( r = 3 \) cm, \( h = 8 \) cm: Berechne \(V\), \(M\) und \(O\).

△ 8 Radius gesucht ●●●

Ein Zylinder soll bei \( h = 10 \) cm genau \( 500\ \text{cm}^3 \) fassen. Berechne \(r\).

△ 9 Durchmesser-Falle ●●●

Eine Tonne hat Durchmesser 80 cm und Höhe 120 cm. Wie viele Liter fasst sie?

Anwendungen

△ 10 Aquarium ●●●

Offener Glasquader \( 80 \times 35 \times 40 \) cm: Volumen in Litern und Glasfläche (Boden + 4 Seiten)?

△ 11 Zusammengesetzt ●●●

Halle: Quader \( 10 \times 6 \times 3 \) m plus Satteldach (Dreiecksprisma, Basis 6 m, Firsthöhe 1.5 m, Länge 10 m). Gesamtvolumen?

△ 12 Bohrung ●●●

Durch einen Würfel (\( a = 6 \) cm) wird senkrecht ein Zylinderloch (\( r = 1 \) cm) gebohrt. Restvolumen?

Lösungen

✓ Lösung 1

\( M = U \cdot h \) (Umfang) · Satz von Cavalieri.

✓ Lösung 2

Zwei Kreise + Mantel-Rechteck; Breite \( 2\pi r \) (abgerollter Umfang), Höhe \(h\).

✓ Lösung 3

\( V = 125\ \text{cm}^3 \); \( O = 150\ \text{cm}^2 \); \( d = 5\sqrt{3} \approx 8.66 \) cm.

✓ Lösung 4

\( V = 24\ \text{cm}^3 \); \( O = 52\ \text{cm}^2 \); \( d = \sqrt{29} \approx 5.39 \) cm.

✓ Lösung 5

\( a = \sqrt{96/6} = 4 \) cm; \( V = 64\ \text{cm}^3 \).

✓ Lösung 6

\( G = \tfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 \approx 15.59 \); \( V \approx 155.88\ \text{cm}^3 \); \( O = 180 + 2 \cdot 15.59 \approx 211.18\ \text{cm}^2 \).

✓ Lösung 7

\( V = 72\pi \approx 226.19\ \text{cm}^3 \); \( M = 48\pi \approx 150.80 \); \( O = 66\pi \approx 207.35\ \text{cm}^2 \).

✓ Lösung 8

\( r = \sqrt{500/(10\pi)} \approx 3.99 \) cm.

✓ Lösung 9

\( r = 40 \) cm! \( V = \pi \cdot 1600 \cdot 120 \approx 603\,186\ \text{cm}^3 \approx 603 \) l.

✓ Lösung 10

\( V = 112\,000\ \text{cm}^3 = 112 \) l; Glas \( 2800 + 6400 + 2800 = 12\,000\ \text{cm}^2 \).

✓ Lösung 11

\( 180 + \tfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 1.5 \cdot 10 = 180 + 45 = 225\ \text{m}^3 \).

✓ Lösung 12

\( 216 - \pi \cdot 1 \cdot 6 = 216 - 6\pi \approx 197.2\ \text{cm}^3 \).