Sechs Anwendungsaufgaben, nach zunehmendem Schwierigkeitsgrad geordnet. Die Musterlösungen folgen am Ende des Dokuments. Für Mäntel immer \( h_s \) bzw. \( m \) verwenden — nie \(h\)!
| Nr. | Bereich | Titel | Schwierigkeit |
|---|---|---|---|
| 1 | Geschichte | Cheops-Pyramide | ●●○ |
| 2 | Bauwesen | Kirchturmdach | ●●○ |
| 3 | Tiefbau | Kieshaufen | ●●○ |
| 4 | Design | Lampenschirm (Kegelstumpf) | ●●● |
| 5 | Ähnlichkeit | Geköpfter Kegel | ●●● |
| 6 | Fertigung | Trichter aus Blech | ●●● |
Quadratische Grundfläche \( a = 230 \) m, Höhe \( h = 146.6 \) m.
(a) Berechne das Volumen in Mio. m³.
(b) Berechne Seitenhöhe und Mantelfläche.
(c) Wie viele Lastwagen à \( 10\ \text{m}^3 \) bräuchte der Abtransport?
Kegelförmiges Dach: \( r = 4 \) m, \( h = 6 \) m.
(a) Berechne Mantellinie und Mantelfläche.
(b) Mit 10 % Verschnitt: Wie viel Kupferblech wird bestellt?
Schüttkegel mit Böschungswinkel 30°, Durchmesser 8 m.
(a) Berechne die Höhe des Haufens.
(b) Berechne das Volumen.
(c) Ein Lastwagen fasst \( 8\ \text{m}^3 \). Wie viele Fuhren?
Ein Lampenschirm ist ein Kegelstumpf-Mantel: \( R = 5 \), \( r = 3 \), \( h = 6 \) dm (ohne Deck- und Grundfläche).
(a) Berechne die Mantellinie des Stumpfs.
(b) Wie viel Stoff braucht der Schirm (Mantelfläche)?
Ein Kegel (\( r = 6 \) cm, \( h = 12 \) cm) wird in halber Höhe parallel geschnitten.
(a) Volumen des ganzen Kegels?
(b) Stumpfvolumen über die Ähnlichkeit (ohne Stumpfformel)?
(c) In welcher Höhe müsste man schneiden, damit beide Teile gleich viel Volumen haben?
Ein Trichter (Kegel ohne Grundfläche) soll \( r = 6 \) cm und \( h = 8 \) cm haben und wird aus einem Kreissektor geschnitten.
(a) Berechne die Mantellinie und die Mantelfläche.
(b) Welchen Radius und welchen Winkel hat der Sektor?
(a) \( V \approx 2.59 \) Mio. m³.
(b) \( h_s = \sqrt{146.6^2 + 115^2} \approx 186.3 \) m; \( M = 2 \cdot 230 \cdot 186.3 \approx 85\,700\ \text{m}^2 \).
(c) \( \approx 258\,500 \) Fahrten.
(a) \( m = \sqrt{52} \approx 7.21 \) m; \( M \approx 90.62\ \text{m}^2 \).
(b) \( \approx 99.7\ \text{m}^2 \) — rund 100 m².
(a) \( h = 4\tan 30° \approx 2.31 \) m.
(b) \( V \approx 38.69\ \text{m}^3 \).
(c) 5 Fuhren (4.84 aufgerundet).
(a) \( m = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} \approx 6.32 \) dm.
(b) \( M = \pi \cdot 8 \cdot 6.32 \approx 158.95\ \text{dm}^2 \approx 1.6\ \text{m}^2 \).
(a) \( 144\pi \approx 452.39\ \text{cm}^3 \).
(b) \( \tfrac{7}{8} \cdot 144\pi = 126\pi \approx 395.84\ \text{cm}^3 \).
(c) Oberer Kegel = halbes Volumen heisst \( k^3 = 0.5 \): \( k = \sqrt[3]{0.5} \approx 0.794 \) — Schnitt bei \( h' \approx 9.52 \) cm von der Spitze, also \( \approx 2.48 \) cm über dem Boden.
(a) \( m = \sqrt{36 + 64} = 10 \) cm; \( M = \pi \cdot 6 \cdot 10 \approx 188.50\ \text{cm}^2 \).
(b) Sektorradius \( = m = 10 \) cm; \( \alpha = \tfrac{6}{10} \cdot 360° = 216° \).