4.2b Pyramiden, Kegel und Stümpfe
Von der Cheops-Pyramide zum Kirchturmdach: Spitze Körper laufen von der Grundfläche auf einen Punkt zu — und fassen genau ein Drittel des zugehörigen Prismas oder Zylinders. Dazu kommen ihre eigenen Elemente (Seitenhöhe, Mantellinie, Öffnungswinkel) und die Stümpfe: abgeschnittene Kegel und Pyramiden, die man am elegantesten mit der Ähnlichkeit im Raum knackt.
- geometrische Sachverhalte von elementaren Objekten (Prisma, Pyramide, Pyramidenstumpf, Kreiszylinder, Kreiskegel, Kreiskegelstumpf, Kugel) beschreiben
- deren Elemente (Körperdiagonale, Höhen, Öffnungswinkel, Mantellinie) und Zusammenhänge (Volumen, Oberfläche) berechnen
- die Ähnlichkeit für Berechnungen im Raum nutzen
Diese Seite behandelt Pyramide, Kreiskegel und die beiden Stümpfe — inklusive Ähnlichkeit im Raum. Grundkörper mit konstantem Querschnitt in Teil 1 (s4-2a); es folgt Teil 3: Kugel und zusammengesetzte Körper (s4-2c).
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann Volumen und Oberfläche gerader Pyramiden berechnen: \(V = \tfrac{1}{3} G h\), Mantel über die Seitenhöhe \(h_s\).
- Ich kann am Kreiskegel Mantellinie \(m = \sqrt{r^2 + h^2}\), Mantel \(M = \pi r m\) und Öffnungswinkel berechnen.
- Ich kann den abgerollten Kegelmantel als Kreissektor deuten und damit rückwärts rechnen.
- Ich kann Volumen und Mantel von Pyramiden- und Kegelstumpf berechnen.
- Ich kann die Ähnlichkeit im Raum nutzen: Längen skalieren mit \(k\), Flächen mit \(k^2\), Volumen mit \(k^3\).
- Ich kann Höhen, Kanten und Winkel in spitzen Körpern mit Pythagoras und Trigonometrie bestimmen.
Einstieg — warum ein Drittel?
Die Cheops-Pyramide: quadratische Grundfläche mit \(a = 230\) m, Höhe \(h = 146.6\) m. Ihr Volumen ist
\[ V = \frac{1}{3} \cdot 230^2 \cdot 146.6 \approx 2.59\ \text{Mio.}\ \text{m}^3 \]Woher kommt der Faktor \(\tfrac{1}{3}\)? Füllt man eine Pyramide mit Wasser und giesst sie in ein Prisma mit gleicher Grundfläche und Höhe, braucht es genau drei Füllungen.
Der Drittel-Faktor ist kein Zufall, sondern System:
- Spitze Körper: \(V = \tfrac{1}{3} G h\) — ein Drittel des «geraden» Partners.
- Das gilt für jede Grundflächenform: Quadrat (Pyramide), Kreis (Kegel), Dreieck (Tetraeder).
✏️ Mini-Check — Einstieg
Wie verhält sich das Pyramidenvolumen zum Prisma mit gleicher Grundfläche und Höhe?
- gleich gross
- halb so gross
- ein Drittel
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Für alle spitzen Körper gilt \(V = \frac{1}{3} \cdot\) \(\cdot\ h\).
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Pyramide mit \(G = 25\ \text{m}^2\) und \(h = 12\) m: Berechne das Volumen.
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Ein Trinkbecher-Kegel und eine Dose (Zylinder) haben gleichen Radius und gleiche Höhe. Wie oft musst du den Becher füllen, um die Dose zu füllen?
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Die gerade Pyramide
Eine gerade Pyramide hat ein Vieleck als Grundfläche; die Spitze liegt senkrecht über deren Mittelpunkt.
\[ V = \frac{1}{3} \, G \, h \]Der Mantel besteht aus Dreiecken. Bei der quadratischen Pyramide (Kante \(a\)) ist die Seitenhöhe \(h_s\) die Höhe eines Manteldreiecks:
\[ h_s = \sqrt{h^2 + \left(\tfrac{a}{2}\right)^2}, \qquad M = 4 \cdot \tfrac{a \, h_s}{2} = 2 a h_s, \qquad O = a^2 + M \]Die Seitenkante \(s\) läuft zur Ecke: \(s = \sqrt{h^2 + \left(\tfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2}\) — halbe Diagonale statt halbe Kante.
Quadratische Pyramide mit \(a = 6\) cm und \(h = 4\) cm:
\[ V = \tfrac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = 48\ \text{cm}^3, \qquad h_s = \sqrt{16 + 9} = 5\ \text{cm} \] \[ M = 2 \cdot 6 \cdot 5 = 60\ \text{cm}^2, \qquad O = 36 + 60 = 96\ \text{cm}^2 \]Seitenkante: \(s = \sqrt{16 + 18} = \sqrt{34} \approx 5.83\) cm.
Drei verschiedene Strecken: Körperhöhe \(h\) (senkrecht zur Grundfläche), Seitenhöhe \(h_s\) (im Manteldreieck, zur Kantenmitte) und Seitenkante \(s\) (zur Ecke). Es gilt stets \(h < h_s < s\). Für den Mantel braucht es \(h_s\), nicht \(h\)!
✏️ Mini-Check — Pyramide
Welche Strecke braucht man für die Mantelfläche der quadratischen Pyramide?
- die Körperhöhe \(h\)
- die Seitenhöhe \(h_s\)
- die Seitenkante \(s\)
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Für die drei Strecken der Pyramide gilt die Grössenordnung \(h <\) \(< s\).
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Pyramide mit \(a = 6\), \(h = 4\): Berechne \(h_s\).
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Warum steht in \(h_s\) die halbe Kante, in der Seitenkante \(s\) aber die halbe Diagonale?
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Der gerade Kreiskegel
Der gerade Kreiskegel: Kreis-Grundfläche (Radius \(r\)), Spitze senkrecht über dem Zentrum in Höhe \(h\).
\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h, \qquad m = \sqrt{r^2 + h^2}, \qquad M = \pi r m, \qquad O = \pi r (r + m) \]Die Mantellinie \(m\) verbindet Spitze und Randpunkt. Der Öffnungswinkel \(w\) sitzt an der Spitze: \(\sin\tfrac{w}{2} = \tfrac{r}{m}\). Abgerollt wird der Mantel zum Kreissektor mit Radius \(m\) und Bogenwinkel \(\alpha = \tfrac{r}{m} \cdot 360°\).
Kegel mit \(r = 3\) cm, \(h = 4\) cm:
\[ m = \sqrt{9 + 16} = 5\ \text{cm}, \qquad V = \tfrac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi \approx 37.70\ \text{cm}^3 \] \[ M = \pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi \approx 47.12\ \text{cm}^2, \qquad w = 2\arcsin\tfrac{3}{5} \approx 73.74° \]Abgerollter Mantel: Sektor mit Radius \(5\) und Winkel \(\alpha = \tfrac{3}{5} \cdot 360° = 216°\).
✏️ Mini-Check — Kegel
Was ist die Mantellinie \(m\) des Kegels?
- der Umfang der Grundfläche
- die Strecke von der Spitze zum Kreisrand
- die Höhe
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Der abgerollte Kegelmantel ist ein Kreis mit Radius \(m\).
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Kegel mit \(r = 3\), \(h = 4\): Berechne \(m\) und \(M\).
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Für welchen Kegel ist der Öffnungswinkel genau \(90°\)?
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Stümpfe — abgeschnittene spitze Körper
Schneidet man einen spitzen Körper parallel zur Grundfläche, entsteht ein Stumpf mit Grundfläche \(G_1\) (unten) und Deckfläche \(G_2\) (oben):
| Körper | Volumen | Mantel |
|---|---|---|
| Pyramidenstumpf | \(V = \dfrac{h}{3}\left(G_1 + \sqrt{G_1 G_2} + G_2\right)\) | Trapeze, je Seite einzeln |
| Kegelstumpf | \(V = \dfrac{\pi h}{3}\left(R^2 + R r + r^2\right)\) | \(M = \pi (R + r)\, m\), \(\ m = \sqrt{h^2 + (R - r)^2}\) |
(\(R\) = unterer, \(r\) = oberer Radius.) Alternativ immer möglich: grosser spitzer Körper minus kleiner — dazu braucht es die Ähnlichkeit.
Wird ein Körper mit dem Faktor \(k\) gestreckt, skalieren:
\[ \text{Längen} \sim k, \qquad \text{Flächen} \sim k^2, \qquad \text{Volumen} \sim k^3 \]Beim Parallelschnitt eines Kegels in halber Höhe ist der obere Restkegel eine \(k = \tfrac{1}{2}\)-Kopie: Er hat nur \(\left(\tfrac{1}{2}\right)^3 = \tfrac{1}{8}\) des Volumens — der Stumpf trägt \(\tfrac{7}{8}\)!
Ein Kegel (\(r = 6\), \(h = 12\)) wird in halber Höhe geköpft.
\[ V_{\text{ganz}} = \tfrac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 12 = 144\pi \approx 452.39 \]Der obere Kegel ist ähnlich mit \(k = \tfrac{1}{2}\): \(V_{\text{klein}} = \tfrac{144\pi}{8} = 18\pi \approx 56.55\). Stumpf:
\[ V_{\text{Stumpf}} = 144\pi - 18\pi = 126\pi \approx 395.84 \qquad \left(= \tfrac{7}{8}\ \text{des Ganzen}\right) \]Kontrolle mit der Stumpfformel (\(R = 6\), \(r = 3\), \(h = 6\)): \(\tfrac{6\pi}{3}(36 + 18 + 9) = 126\pi\) ✓
Der obere Kegel bei halber Höhe hat ein Achtel des Volumens, nicht die Hälfte — Volumen skaliert mit \(k^3\). Wer «halbe Höhe → halbes Volumen» rechnet, unterschätzt den Stumpf massiv.
✏️ Mini-Check — Stümpfe und Ähnlichkeit
Ein Körper wird mit \(k = 3\) vergrössert. Was passiert mit dem Volumen?
- ×3
- ×9
- ×27
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Ein Stumpf entsteht durch einen Schnitt zur Grundfläche.
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Pyramidenstumpf mit \(G_1 = 64\), \(G_2 = 16\), \(h = 6\): Berechne \(V\).
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Ein Kegel wird bei einem Drittel der Höhe (von der Spitze aus) geschnitten. Welchen Volumenanteil hat der kleine Kegel?
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Rückwärts rechnen — vom Mantel zum Körper
Viele Aufgaben geben den Sektor (Radius \(m\), Winkel \(\alpha\)) und fragen nach dem Kegel — oder umgekehrt. Schlüsselgleichung: Der Sektorbogen ist der Grundkreisumfang:
\[ 2\pi m \cdot \frac{\alpha}{360°} = 2\pi r \quad\Longrightarrow\quad r = m \cdot \frac{\alpha}{360°} \]Danach liefert Pythagoras die Höhe: \(h = \sqrt{m^2 - r^2}\).
Aus einem Kreissektor (Radius \(10\) cm, Winkel \(216°\)) wird ein Kegelmantel gerollt.
\[ r = 10 \cdot \tfrac{216}{360} = 6\ \text{cm}, \qquad h = \sqrt{100 - 36} = 8\ \text{cm} \] \[ V = \tfrac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 8 = 96\pi \approx 301.59\ \text{cm}^3 \]✏️ Mini-Check — Sektor und Kegel
Was wird beim Aufrollen des Sektors zum Grundkreisumfang?
- der Sektorradius
- der Sektorbogen
- der Sektorwinkel
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Der Sektorradius wird beim Kegel zur .
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Sektor mit \(m = 10\), \(\alpha = 180°\): Welcher Kegelradius entsteht?
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Kann ein Sektor mit \(\alpha = 360°\) einen Kegel bilden?
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Aufgaben
Wähle eine Beschreibung — welches Körperelement ist gemeint?
Welches Element ist das?
Die Cheops-Pyramide: quadratische Grundfläche \(a = 230\) m, Höhe \(h = 146.6\) m.
- Berechne das Volumen in Mio. m³ (zwei Dezimalen).
- Berechne die Seitenhöhe \(h_s\) und die Mantelfläche.
- Ein Baustein misst im Schnitt \(1\ \text{m}^3\). Wie viele Lastwagen à \(10\ \text{m}^3\) wären für den Abtransport nötig?
- \(V = \tfrac{1}{3} \cdot 230^2 \cdot 146.6 \approx 2585047\ \text{m}^3 \approx 2.59\) Mio. m³.
- \(h_s = \sqrt{146.6^2 + 115^2} \approx 186.3\) m; \(M = 2 \cdot 230 \cdot 186.3 \approx 85\,700\ \text{m}^2\).
- \(\approx 258\,505\) Lastwagen — gut eine Viertelmillion Fahrten.
Pyramide mit \(a = 6\) cm, \(h = 4\) cm: Berechne \(V\) und \(O\).
Kegel mit \(r = 3\) cm, \(h = 4\) cm: Berechne \(V\) und \(M\) (zwei Dezimalen).
Berechne den Öffnungswinkel des Kegels aus Teilaufgabe b (zwei Dezimalen).
Kegelstumpf mit \(R = 5\), \(r = 3\), \(h = 6\) cm: Berechne \(V\) und \(M\) (zwei Dezimalen).
Pyramidenstumpf mit quadratischen Flächen \(G_1 = 64\ \text{cm}^2\), \(G_2 = 16\ \text{cm}^2\) und \(h = 6\) cm: Berechne \(V\).
Ein kegelförmiges Turmdach hat den Radius \(4\) m und die Höhe \(6\) m.
- Berechne die Mantellinie und die Mantelfläche (zwei Dezimalen).
- Für die Kupferdeckung rechnet man \(10\ \%\) Verschnitt. Wie viel Blech wird bestellt?
- \(m = \sqrt{16 + 36} \approx 7.21\) m; \(M = \pi \cdot 4 \cdot 7.21 \approx 90.62\ \text{m}^2\).
- \(90.62 \cdot 1.1 \approx 99.68\ \text{m}^2\) — rund \(100\ \text{m}^2\) bestellen.
Geschütteter Kies bildet einen Kegel mit Schüttwinkel \(30°\) (Neigung der Mantellinie gegen den Boden). Der Haufen hat den Durchmesser \(8\) m.
- Berechne die Höhe des Haufens (zwei Dezimalen).
- Berechne das Kiesvolumen (zwei Dezimalen).
- \(r = 4\) m; \(h = r \tan 30° \approx 2.31\) m.
- \(V = \tfrac{1}{3}\pi \cdot 16 \cdot 2.31 \approx 38.69\ \text{m}^3\).
Ein Kegel (\(r = 6\) cm, \(h = 12\) cm) wird in halber Höhe parallel zur Grundfläche geschnitten.
- Berechne das Volumen des ganzen Kegels (zwei Dezimalen).
- Bestimme das Stumpf-Volumen über die Ähnlichkeit (\(k = \tfrac{1}{2}\)) — ohne Stumpfformel.
- \(V = 144\pi \approx 452.39\ \text{cm}^3\).
- Oberer Kegel: \(k^3 = \tfrac{1}{8}\) → \(18\pi\); Stumpf \(= \tfrac{7}{8} \cdot 144\pi = 126\pi \approx 395.84\ \text{cm}^3\).
Aus einem Kreissektor mit Radius \(10\) cm und Winkel \(216°\) wird ein Kegelmantel gerollt.
- Berechne den Radius des entstehenden Kegels.
- Berechne Höhe und Volumen (zwei Dezimalen).
- Begründe: Je kleiner der Sektorwinkel, desto spitzer der Kegel.
- \(r = 10 \cdot \tfrac{216}{360} = 6\) cm (Sektorbogen = Grundkreisumfang).
- \(h = \sqrt{100 - 36} = 8\) cm; \(V = 96\pi \approx 301.59\ \text{cm}^3\).
- Kleinerer Winkel → kürzerer Bogen → kleinerer Grundkreis bei gleicher Mantellinie \(m\) → grössere Höhe \(h = \sqrt{m^2 - r^2}\): Der Kegel wird schlanker und spitzer.
Zusammenfassung
Spitze Körper fassen ein Drittel: \(V = \tfrac{1}{3} G h\). Für Mäntel braucht es die richtigen Strecken: Seitenhöhe \(h_s\) bei der Pyramide (\(M = 2 a h_s\)), Mantellinie \(m = \sqrt{r^2 + h^2}\) beim Kegel (\(M = \pi r m\)); der abgerollte Kegelmantel ist ein Sektor mit \(\alpha = \tfrac{r}{m} \cdot 360°\). Stümpfe: Formel oder «grosser minus kleiner Körper» — und die Ähnlichkeit skaliert Längen mit \(k\), Flächen mit \(k^2\), Volumen mit \(k^3\): Halbe Höhe heisst ein Achtel, nicht die Hälfte!
| Körper | Volumen | Mantel |
|---|---|---|
| Pyramide (quadratisch) | \(V = \tfrac{1}{3} a^2 h\) | \(M = 2 a h_s\), \(h_s = \sqrt{h^2 + (a/2)^2}\) |
| Kreiskegel | \(V = \tfrac{1}{3} \pi r^2 h\) | \(M = \pi r m\), \(m = \sqrt{r^2 + h^2}\) |
| Pyramidenstumpf | \(V = \tfrac{h}{3}(G_1 + \sqrt{G_1 G_2} + G_2)\) | Trapez-Seitenflächen |
| Kegelstumpf | \(V = \tfrac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2)\) | \(M = \pi(R+r)m\), \(m = \sqrt{h^2 + (R-r)^2}\) |
| Ähnlichkeit (\(k\)) | \(V \sim k^3\) | Flächen \(\sim k^2\), Längen \(\sim k\) |
Zusatzmaterial
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