4.2b Pyramiden, Kegel und Stümpfe
Von der Cheops-Pyramide zum Kirchturmdach: Spitze Körper laufen von der Grundfläche auf einen Punkt zu — und fassen genau ein Drittel des zugehörigen Prismas oder Zylinders. Dazu kommen ihre eigenen Elemente (Seitenhöhe, Mantellinie, Öffnungswinkel) und die Stümpfe: abgeschnittene Kegel und Pyramiden, die man am elegantesten mit der Ähnlichkeit im Raum knackt.
- geometrische Sachverhalte von elementaren Objekten (Prisma, Pyramide, Pyramidenstumpf, Kreiszylinder, Kreiskegel, Kreiskegelstumpf, Kugel) beschreiben
- deren Elemente (Körperdiagonale, Höhen, Öffnungswinkel, Mantellinie) und Zusammenhänge (Volumen, Oberfläche) berechnen
- die Ähnlichkeit für Berechnungen im Raum nutzen
Diese Seite behandelt Pyramide, Kreiskegel und die beiden Stümpfe — inklusive Ähnlichkeit im Raum. Grundkörper mit konstantem Querschnitt in Teil 1 (s4-2a); es folgt Teil 3: Kugel und zusammengesetzte Körper (s4-2c).
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann Volumen und Oberfläche gerader Pyramiden berechnen: \(V = \tfrac{1}{3} G h\), Mantel über die Seitenhöhe \(h_s\).
- Ich kann am Kreiskegel Mantellinie \(m = \sqrt{r^2 + h^2}\), Mantel \(M = \pi r m\) und Öffnungswinkel berechnen.
- Ich kann den abgerollten Kegelmantel als Kreissektor deuten und damit rückwärts rechnen.
- Ich kann Volumen und Mantel von Pyramiden- und Kegelstumpf berechnen.
- Ich kann die Ähnlichkeit im Raum nutzen: Längen skalieren mit \(k\), Flächen mit \(k^2\), Volumen mit \(k^3\).
- Ich kann Höhen, Kanten und Winkel in spitzen Körpern mit Pythagoras und Trigonometrie bestimmen.
Einstieg — warum ein Drittel?
Die Cheops-Pyramide: quadratische Grundfläche mit \(a = 230\) m, Höhe \(h = 146.6\) m. Ihr Volumen ist
\[ V = \frac{1}{3} \cdot 230^2 \cdot 146.6 \approx 2.59\ \text{Mio.}\ \text{m}^3 \]Woher kommt der Faktor \(\tfrac{1}{3}\)? Füllt man eine Pyramide mit Wasser und giesst sie in ein Prisma mit gleicher Grundfläche und Höhe, braucht es genau drei Füllungen.
Der Drittel-Faktor ist kein Zufall, sondern System:
- Spitze Körper: \(V = \tfrac{1}{3} G h\) — ein Drittel des «geraden» Partners.
- Das gilt für jede Grundflächenform: Quadrat (Pyramide), Kreis (Kegel), Dreieck (Tetraeder).
✏️ Mini-Check — Einstieg
Wie verhält sich das Pyramidenvolumen zum Prisma mit gleicher Grundfläche und Höhe?
- gleich gross
- halb so gross
- ein Drittel
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Für alle spitzen Körper gilt \(V = \frac{1}{3} \cdot\) \(\cdot\ h\).
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Pyramide mit \(G = 25\ \text{m}^2\) und \(h = 12\) m: Berechne das Volumen.
Lösung anzeigen
Ein Trinkbecher-Kegel und eine Dose (Zylinder) haben gleichen Radius und gleiche Höhe. Wie oft musst du den Becher füllen, um die Dose zu füllen?
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Die gerade Pyramide
Eine gerade Pyramide hat ein Vieleck als Grundfläche; die Spitze liegt senkrecht über deren Mittelpunkt.
\[ V = \frac{1}{3} \, G \, h \]Der Mantel besteht aus Dreiecken. Bei der quadratischen Pyramide (Kante \(a\)) ist die Seitenhöhe \(h_s\) die Höhe eines Manteldreiecks:
\[ h_s = \sqrt{h^2 + \left(\tfrac{a}{2}\right)^2}, \qquad M = 4 \cdot \tfrac{a \, h_s}{2} = 2 a h_s, \qquad O = a^2 + M \]Die Seitenkante \(s\) läuft zur Ecke: \(s = \sqrt{h^2 + \left(\tfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2}\) — halbe Diagonale statt halbe Kante.
Quadratische Pyramide mit \(a = 6\) cm und \(h = 4\) cm:
\[ V = \tfrac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = 48\ \text{cm}^3, \qquad h_s = \sqrt{16 + 9} = 5\ \text{cm} \] \[ M = 2 \cdot 6 \cdot 5 = 60\ \text{cm}^2, \qquad O = 36 + 60 = 96\ \text{cm}^2 \]Seitenkante: \(s = \sqrt{16 + 18} = \sqrt{34} \approx 5.83\) cm.
Drei verschiedene Strecken: Körperhöhe \(h\) (senkrecht zur Grundfläche), Seitenhöhe \(h_s\) (im Manteldreieck, zur Kantenmitte) und Seitenkante \(s\) (zur Ecke). Es gilt stets \(h < h_s < s\). Für den Mantel braucht es \(h_s\), nicht \(h\)!
✏️ Mini-Check — Pyramide
Welche Strecke braucht man für die Mantelfläche der quadratischen Pyramide?
- die Körperhöhe \(h\)
- die Seitenhöhe \(h_s\)
- die Seitenkante \(s\)
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Für die drei Strecken der Pyramide gilt die Grössenordnung \(h <\) \(< s\).
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Pyramide mit \(a = 6\), \(h = 4\): Berechne \(h_s\).
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Warum steht in \(h_s\) die halbe Kante, in der Seitenkante \(s\) aber die halbe Diagonale?
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Der gerade Kreiskegel
Der gerade Kreiskegel: Kreis-Grundfläche (Radius \(r\)), Spitze senkrecht über dem Zentrum in Höhe \(h\).
\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h, \qquad m = \sqrt{r^2 + h^2}, \qquad M = \pi r m, \qquad O = \pi r (r + m) \]Die Mantellinie \(m\) verbindet Spitze und Randpunkt. Der Öffnungswinkel \(w\) sitzt an der Spitze: \(\sin\tfrac{w}{2} = \tfrac{r}{m}\). Abgerollt wird der Mantel zum Kreissektor mit Radius \(m\) und Bogenwinkel \(\alpha = \tfrac{r}{m} \cdot 360°\).
Kegel mit \(r = 3\) cm, \(h = 4\) cm:
\[ m = \sqrt{9 + 16} = 5\ \text{cm}, \qquad V = \tfrac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi \approx 37.70\ \text{cm}^3 \] \[ M = \pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi \approx 47.12\ \text{cm}^2, \qquad w = 2\arcsin\tfrac{3}{5} \approx 73.74° \]Abgerollter Mantel: Sektor mit Radius \(5\) und Winkel \(\alpha = \tfrac{3}{5} \cdot 360° = 216°\).
✏️ Mini-Check — Kegel
Was ist die Mantellinie \(m\) des Kegels?
- der Umfang der Grundfläche
- die Strecke von der Spitze zum Kreisrand
- die Höhe
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Der abgerollte Kegelmantel ist ein Kreis mit Radius \(m\).
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Kegel mit \(r = 3\), \(h = 4\): Berechne \(m\) und \(M\).
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Für welchen Kegel ist der Öffnungswinkel genau \(90°\)?
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Stümpfe — abgeschnittene spitze Körper
Schneidet man einen spitzen Körper parallel zur Grundfläche, entsteht ein Stumpf mit Grundfläche \(G_1\) (unten) und Deckfläche \(G_2\) (oben):
| Körper | Volumen | Mantel |
|---|---|---|
| Pyramidenstumpf | \(V = \dfrac{h}{3}\left(G_1 + \sqrt{G_1 G_2} + G_2\right)\) | Trapeze, je Seite einzeln |
| Kegelstumpf | \(V = \dfrac{\pi h}{3}\left(R^2 + R r + r^2\right)\) | \(M = \pi (R + r)\, m\), \(\ m = \sqrt{h^2 + (R - r)^2}\) |
(\(R\) = unterer, \(r\) = oberer Radius.) Alternativ immer möglich: grosser spitzer Körper minus kleiner — dazu braucht es die Ähnlichkeit.
Wird ein Körper mit dem Faktor \(k\) gestreckt, skalieren:
\[ \text{Längen} \sim k, \qquad \text{Flächen} \sim k^2, \qquad \text{Volumen} \sim k^3 \]Beim Parallelschnitt eines Kegels in halber Höhe ist der obere Restkegel eine \(k = \tfrac{1}{2}\)-Kopie: Er hat nur \(\left(\tfrac{1}{2}\right)^3 = \tfrac{1}{8}\) des Volumens — der Stumpf trägt \(\tfrac{7}{8}\)!
Ein Kegel (\(r = 6\), \(h = 12\)) wird in halber Höhe geköpft.
\[ V_{\text{ganz}} = \tfrac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 12 = 144\pi \approx 452.39 \]Der obere Kegel ist ähnlich mit \(k = \tfrac{1}{2}\): \(V_{\text{klein}} = \tfrac{144\pi}{8} = 18\pi \approx 56.55\). Stumpf:
\[ V_{\text{Stumpf}} = 144\pi - 18\pi = 126\pi \approx 395.84 \qquad \left(= \tfrac{7}{8}\ \text{des Ganzen}\right) \]Kontrolle mit der Stumpfformel (\(R = 6\), \(r = 3\), \(h = 6\)): \(\tfrac{6\pi}{3}(36 + 18 + 9) = 126\pi\) ✓
Der obere Kegel bei halber Höhe hat ein Achtel des Volumens, nicht die Hälfte — Volumen skaliert mit \(k^3\). Wer «halbe Höhe → halbes Volumen» rechnet, unterschätzt den Stumpf massiv.
✏️ Mini-Check — Stümpfe und Ähnlichkeit
Ein Körper wird mit \(k = 3\) vergrössert. Was passiert mit dem Volumen?
- ×3
- ×9
- ×27
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Ein Stumpf entsteht durch einen Schnitt zur Grundfläche.
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Pyramidenstumpf mit \(G_1 = 64\), \(G_2 = 16\), \(h = 6\): Berechne \(V\).
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Ein Kegel wird bei einem Drittel der Höhe (von der Spitze aus) geschnitten. Welchen Volumenanteil hat der kleine Kegel?
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Rückwärts rechnen — vom Mantel zum Körper
Viele Aufgaben geben den Sektor (Radius \(m\), Winkel \(\alpha\)) und fragen nach dem Kegel — oder umgekehrt. Schlüsselgleichung: Der Sektorbogen ist der Grundkreisumfang:
\[ 2\pi m \cdot \frac{\alpha}{360°} = 2\pi r \quad\Longrightarrow\quad r = m \cdot \frac{\alpha}{360°} \]Danach liefert Pythagoras die Höhe: \(h = \sqrt{m^2 - r^2}\).
Aus einem Kreissektor (Radius \(10\) cm, Winkel \(216°\)) wird ein Kegelmantel gerollt.
\[ r = 10 \cdot \tfrac{216}{360} = 6\ \text{cm}, \qquad h = \sqrt{100 - 36} = 8\ \text{cm} \] \[ V = \tfrac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 8 = 96\pi \approx 301.59\ \text{cm}^3 \]✏️ Mini-Check — Sektor und Kegel
Was wird beim Aufrollen des Sektors zum Grundkreisumfang?
- der Sektorradius
- der Sektorbogen
- der Sektorwinkel
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Der Sektorradius wird beim Kegel zur .
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Sektor mit \(m = 10\), \(\alpha = 180°\): Welcher Kegelradius entsteht?
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Kann ein Sektor mit \(\alpha = 360°\) einen Kegel bilden?
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Aufgaben
Wähle eine Beschreibung — welches Körperelement ist gemeint?
Welches Element ist das?
Die Cheops-Pyramide: quadratische Grundfläche \(a = 230\) m, Höhe \(h = 146.6\) m.
- Berechne das Volumen in Mio. m³ (zwei Dezimalen).
- Berechne die Seitenhöhe \(h_s\) und die Mantelfläche.
- Ein Baustein misst im Schnitt \(1\ \text{m}^3\). Wie viele Lastwagen à \(10\ \text{m}^3\) wären für den Abtransport nötig?
- \(V = \tfrac{1}{3} \cdot 230^2 \cdot 146.6 \approx 2585047\ \text{m}^3 \approx 2.59\) Mio. m³.
- \(h_s = \sqrt{146.6^2 + 115^2} \approx 186.3\) m; \(M = 2 \cdot 230 \cdot 186.3 \approx 85\,700\ \text{m}^2\).
- \(\approx 258\,505\) Lastwagen — gut eine Viertelmillion Fahrten.
Pyramide mit \(a = 6\) cm, \(h = 4\) cm: Berechne \(V\) und \(O\).
Kegel mit \(r = 3\) cm, \(h = 4\) cm: Berechne \(V\) und \(M\) (zwei Dezimalen).
Berechne den Öffnungswinkel des Kegels aus Teilaufgabe b (zwei Dezimalen).
Kegelstumpf mit \(R = 5\), \(r = 3\), \(h = 6\) cm: Berechne \(V\) und \(M\) (zwei Dezimalen).
Pyramidenstumpf mit quadratischen Flächen \(G_1 = 64\ \text{cm}^2\), \(G_2 = 16\ \text{cm}^2\) und \(h = 6\) cm: Berechne \(V\).
Ein kegelförmiges Turmdach hat den Radius \(4\) m und die Höhe \(6\) m.
- Berechne die Mantellinie und die Mantelfläche (zwei Dezimalen).
- Für die Kupferdeckung rechnet man \(10\ \%\) Verschnitt. Wie viel Blech wird bestellt?
- \(m = \sqrt{16 + 36} \approx 7.21\) m; \(M = \pi \cdot 4 \cdot 7.21 \approx 90.62\ \text{m}^2\).
- \(90.62 \cdot 1.1 \approx 99.68\ \text{m}^2\) — rund \(100\ \text{m}^2\) bestellen.
Geschütteter Kies bildet einen Kegel mit Schüttwinkel \(30°\) (Neigung der Mantellinie gegen den Boden). Der Haufen hat den Durchmesser \(8\) m.
- Berechne die Höhe des Haufens (zwei Dezimalen).
- Berechne das Kiesvolumen (zwei Dezimalen).
- \(r = 4\) m; \(h = r \tan 30° \approx 2.31\) m.
- \(V = \tfrac{1}{3}\pi \cdot 16 \cdot 2.31 \approx 38.69\ \text{m}^3\).
Ein Kegel (\(r = 6\) cm, \(h = 12\) cm) wird in halber Höhe parallel zur Grundfläche geschnitten.
- Berechne das Volumen des ganzen Kegels (zwei Dezimalen).
- Bestimme das Stumpf-Volumen über die Ähnlichkeit (\(k = \tfrac{1}{2}\)) — ohne Stumpfformel.
- \(V = 144\pi \approx 452.39\ \text{cm}^3\).
- Oberer Kegel: \(k^3 = \tfrac{1}{8}\) → \(18\pi\); Stumpf \(= \tfrac{7}{8} \cdot 144\pi = 126\pi \approx 395.84\ \text{cm}^3\).
Aus einem Kreissektor mit Radius \(10\) cm und Winkel \(216°\) wird ein Kegelmantel gerollt.
- Berechne den Radius des entstehenden Kegels.
- Berechne Höhe und Volumen (zwei Dezimalen).
- Begründe: Je kleiner der Sektorwinkel, desto spitzer der Kegel.
- \(r = 10 \cdot \tfrac{216}{360} = 6\) cm (Sektorbogen = Grundkreisumfang).
- \(h = \sqrt{100 - 36} = 8\) cm; \(V = 96\pi \approx 301.59\ \text{cm}^3\).
- Kleinerer Winkel → kürzerer Bogen → kleinerer Grundkreis bei gleicher Mantellinie \(m\) → grössere Höhe \(h = \sqrt{m^2 - r^2}\): Der Kegel wird schlanker und spitzer.
Zusammenfassung
Spitze Körper fassen ein Drittel: \(V = \tfrac{1}{3} G h\). Für Mäntel braucht es die richtigen Strecken: Seitenhöhe \(h_s\) bei der Pyramide (\(M = 2 a h_s\)), Mantellinie \(m = \sqrt{r^2 + h^2}\) beim Kegel (\(M = \pi r m\)); der abgerollte Kegelmantel ist ein Sektor mit \(\alpha = \tfrac{r}{m} \cdot 360°\). Stümpfe: Formel oder «grosser minus kleiner Körper» — und die Ähnlichkeit skaliert Längen mit \(k\), Flächen mit \(k^2\), Volumen mit \(k^3\): Halbe Höhe heisst ein Achtel, nicht die Hälfte!
| Körper | Volumen | Mantel |
|---|---|---|
| Pyramide (quadratisch) | \(V = \tfrac{1}{3} a^2 h\) | \(M = 2 a h_s\), \(h_s = \sqrt{h^2 + (a/2)^2}\) |
| Kreiskegel | \(V = \tfrac{1}{3} \pi r^2 h\) | \(M = \pi r m\), \(m = \sqrt{r^2 + h^2}\) |
| Pyramidenstumpf | \(V = \tfrac{h}{3}(G_1 + \sqrt{G_1 G_2} + G_2)\) | Trapez-Seitenflächen |
| Kegelstumpf | \(V = \tfrac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2)\) | \(M = \pi(R+r)m\), \(m = \sqrt{h^2 + (R-r)^2}\) |
| Ähnlichkeit (\(k\)) | \(V \sim k^3\) | Flächen \(\sim k^2\), Längen \(\sim k\) |
Clips
Clips zu den Animationen — was jede Animation zeigt
Transkripte — der gesprochene Text zum Mitlesen
Füll-Experiment: dreimal die Pyramide, einmal das Prisma
- 0:00Eine Pyramide und ein Prisma haben dieselbe Grundfläche G und dieselbe Höhe h. Das Prisma fasst G mal h. Wie oft muss man die Pyramide ausgiessen, bis das Prisma voll ist?
- 0:11Eine Füllung: Das Prisma ist bis zur ersten gestrichelten Marke gefüllt, also zu einem Drittel. Das Bild zeigt nur den Querschnitt, verglichen wird aber das Volumen.
- 0:21Zwei Füllungen: zwei Drittel. Jede Füllung hebt den Stand um dasselbe Stück, bis zur nächsten Marke, denn das Prisma hat auf jeder Höhe denselben Querschnitt.
- 0:31Drei Füllungen: Das Prisma ist voll. Drei Pyramiden haben also zusammen das Volumen G mal h, eine Pyramide ein Drittel davon.
- 0:40Merke: Drei Pyramidenfüllungen füllen das Prisma mit gleicher Grundfläche und Höhe. Darum ist V gleich ein Drittel G mal h. Das gilt für jeden spitzen Körper, beim Kegel mit G gleich pi r Quadrat.
Kegel-Labor: flach, schlank und der 90°-Kegel
- 0:00Im Kegel-Labor stellst du den Radius r und die Höhe h ein. Im Achsenquerschnitt siehst du die Mantellinie m und den Öffnungswinkel w an der Spitze. Wie hängen sie von r und h ab?
- 0:11Flach und breit: r gleich sechs, h gleich zwei. Die Mantellinie ist die Hypotenuse, rund sechs Komma drei zwei. Der Öffnungswinkel ist mit rund hundertdreiundvierzig Grad sehr gross.
- 0:24Hoch und schmal: r gleich eins Komma fünf, h gleich sieben. Die Mantellinie misst rund sieben Komma eins sechs, der Öffnungswinkel nur noch rund vierundzwanzig Grad.
- 0:34Jetzt r gleich h gleich vier. Dann ist tangens von w halbe gleich eins, also w halbe gleich fünfundvierzig Grad und w gleich neunzig Grad.
- 0:43Merke: Die Mantellinie ist die Hypotenuse über r und h. Den Öffnungswinkel bestimmt das Verhältnis r zu h. Bei r gleich h ist er neunzig Grad, flache Kegel haben einen grossen, schlanke einen kleinen Winkel.
Kegel köpfen: halbe Höhe, ein Achtel Volumen
- 0:00Der Kegel wird parallel zur Grundfläche geköpft. Der kleine obere Kegel ist eine k-Kopie des ganzen: Höhe und Radius sind mal k. Hat er bei halber Höhe auch das halbe Volumen?
- 0:11k gleich null Komma fünf: Der Höhenbalken steht bei fünfzig Prozent, der Flächenbalken bei fünfundzwanzig, der Volumenbalken nur bei zwölf Komma fünf Prozent. Das ist ein Achtel, der Stumpf trägt sieben Achtel.
- 0:24k gleich null Komma acht: Der kleine Kegel hat achtzig Prozent der Höhe, aber nur einundfünfzig Komma zwei Prozent des Volumens, gut die Hälfte. Das Volumen schrumpft viel schneller als die Höhe.
- 0:35Merke: Bei einer k-Kopie werden Längen mit k, Flächen mit k Quadrat und das Volumen mit k hoch drei multipliziert. Bei halber Höhe hat der obere Kegel ein Achtel, der Stumpf sieben Achtel des Volumens.
Körper: Pyramide und Kegel — der Faktor ein Drittel
- 0:00Bei Pyramide und Kegel läuft die Grundfläche nach oben auf einen Punkt zusammen. Das Volumen ist darum nicht das ganze, sondern genau ein Drittel.
- 0:09Der Vergleich macht es greifbar: Ein Kegel mit Radius drei und Höhe zehn fasst rund vierundneunzig Kubikzentimeter, der Zylinder mit denselben Massen rund zweihundertdreiundachtzig. Genau dreimal so viel.
- 0:21Die Formel gilt für beide: Bei der Pyramide ist die Grundfläche ein Vieleck, beim Kegel ein Kreis. Die Höhe steht in beiden Fällen senkrecht auf der Grundfläche.
- 0:31Und genau dort passiert der häufigste Fehler: Die Mantellinie s ist länger als die Höhe h. Zwischen beiden vermittelt der Satz des Pythagoras mit dem Radius.
- 0:40Zum Mitnehmen: Läuft der Körper auf eine Spitze zu, kommt der Faktor ein Drittel dazu. Und im Volumen steht die Höhe, im Mantel die Mantellinie.
Zusatzmaterial
Materialien zum Mitnehmen, Üben und Wiederholen. Druckseiten öffnen in neuem Tab.