Alle spitzen Körper (Pyramide, Kegel) fassen ein Drittel des Prismas bzw. Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe:
\( V = \tfrac{1}{3} \, G \, h \)
(Füll-Experiment: drei Pyramidenfüllungen füllen das Prisma.)
Drei verschiedene Strecken — \( h < h_s < s \):
| Seitenhöhe (zur Kantenmitte) | \( h_s = \sqrt{h^2 + (a/2)^2} \) — für den Mantel! |
| Seitenkante (zur Ecke) | \( s = \sqrt{h^2 + (a\sqrt{2}/2)^2} \) — halbe Diagonale |
| Mantel / Oberfläche | \( M = 2 a h_s; \quad O = a^2 + M \) |
\( V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h, \qquad m = \sqrt{r^2 + h^2}, \qquad M = \pi r m, \qquad O = \pi r (r + m) \)
Öffnungswinkel: \( \sin\tfrac{w}{2} = \tfrac{r}{m} \). Abgerollter Mantel = Kreissektor mit Radius \(m\) und Winkel \( \alpha = \tfrac{r}{m} \cdot 360° \) — der Sektorbogen ist der Grundkreisumfang.
| Pyramidenstumpf | \( V = \tfrac{h}{3}(G_1 + \sqrt{G_1 G_2} + G_2) \) |
| Kegelstumpf | \( V = \tfrac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2); \quad M = \pi(R + r)m \), \( m = \sqrt{h^2 + (R-r)^2} \) |
Streckfaktor \(k\): Längen \( \sim k \), Flächen \( \sim k^2 \), Volumen \( \sim k^3 \). Kegel in halber Höhe geköpft: Restkegel \( \tfrac{1}{8} \), Stumpf \( \tfrac{7}{8} \) — «grosser minus kleiner Körper» ersetzt jede Stumpfformel.
Spitz heisst ein Drittel. Mantel mit \( h_s \) bzw. \( m \) — nie mit \( h \). Halbe Höhe heisst ein Achtel des Volumens, nicht die Hälfte!