Mathe begreifbar · Schwerpunktfach · Pyramiden, Kegel und Stümpfe

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📘 Anleitung

12 Aufgaben mit ansteigendem Schwierigkeitsgrad. Bearbeite alle Aufgaben in einem Zug, ohne in die Lösungen zu schauen — diese stehen am Ende. Hilfsmittel: nur Formelsammlung Promath. Zeitvorgabe: ca. 45 Minuten.

Grundlagen & Verständnis

△ 1 Begriffe vervollständigen ●●●

Vervollständige die Aussage und schreibe in die Lücken:

Spitze Körper fassen ein des Prismas gleicher Grundfläche.
Für den Pyramidenmantel braucht man die höhe,
für den Kegelmantel die linie.

△ 2 Drei Strecken ●●●

Ordne der Grösse nach: Körperhöhe \(h\), Seitenkante \(s\), Seitenhöhe \(h_s\) (quadratische Pyramide).

△ 3 Pyramidenvolumen ●●●

Pyramide mit \( G = 25\ \text{m}^2 \), \( h = 12 \) m: Berechne \(V\).

Pyramide und Kegel

△ 4 Pyramide komplett ●●●

Quadratische Pyramide, \( a = 6 \) cm, \( h = 4 \) cm: Berechne \( h_s \), \(V\) und \(O\).

△ 5 Kegel komplett ●●●

Kegel mit \( r = 3 \) cm, \( h = 4 \) cm: Berechne \(m\), \(V\) und \(M\).

△ 6 Öffnungswinkel ●●●

Berechne den Öffnungswinkel des Kegels aus Aufgabe 5.

Stümpfe und Ähnlichkeit

△ 7 Kegelstumpf ●●●

Kegelstumpf mit \( R = 5 \), \( r = 3 \), \( h = 6 \) cm: Berechne \(V\).

△ 8 Pyramidenstumpf ●●●

Pyramidenstumpf mit \( G_1 = 64 \), \( G_2 = 16\ \text{cm}^2 \), \( h = 6 \) cm: Berechne \(V\).

△ 9 Skalieren ●●●

Ein Körper wird mit \( k = 3 \) vergrössert. Um welche Faktoren wachsen Oberfläche und Volumen?

Sektor und Anwendung

△ 10 Geköpfter Kegel ●●●

Kegel (\( r = 6 \), \( h = 12 \) cm), in halber Höhe geschnitten: Bestimme das Stumpfvolumen über die Ähnlichkeit.

△ 11 Kegel aus Sektor ●●●

Aus einem Sektor (Radius 10 cm, Winkel 216°) wird ein Kegel gerollt: Berechne \(r\), \(h\) und \(V\).

△ 12 Schüttkegel ●●●

Kies schüttet sich mit 30° Böschungswinkel zu einem Kegel mit Durchmesser 8 m. Berechne Höhe und Volumen.

Lösungen

✓ Lösung 1

Drittel · Seitenhöhe \( h_s \) · Mantellinie \(m\).

✓ Lösung 2

\( h < h_s < s \) — je weiter der Endpunkt vom Zentrum, desto länger.

✓ Lösung 3

\( V = \tfrac{1}{3} \cdot 25 \cdot 12 = 100\ \text{m}^3 \).

✓ Lösung 4

\( h_s = 5 \); \( V = 48\ \text{cm}^3 \); \( O = 36 + 60 = 96\ \text{cm}^2 \).

✓ Lösung 5

\( m = 5 \); \( V = 12\pi \approx 37.70\ \text{cm}^3 \); \( M = 15\pi \approx 47.12\ \text{cm}^2 \).

✓ Lösung 6

\( w = 2\arcsin(3/5) \approx 73.74° \).

✓ Lösung 7

\( V = \tfrac{6\pi}{3}(25 + 15 + 9) = 98\pi \approx 307.88\ \text{cm}^3 \).

✓ Lösung 8

\( V = 2(64 + 32 + 16) = 224\ \text{cm}^3 \).

✓ Lösung 9

Oberfläche \( \times 9 \) (\( k^2 \)), Volumen \( \times 27 \) (\( k^3 \)).

✓ Lösung 10

\( V_{\text{ganz}} = 144\pi \); Restkegel \( \tfrac{1}{8} \): Stumpf \( = \tfrac{7}{8} \cdot 144\pi = 126\pi \approx 395.84\ \text{cm}^3 \).

✓ Lösung 11

\( r = 10 \cdot \tfrac{216}{360} = 6 \); \( h = \sqrt{100 - 36} = 8 \); \( V = 96\pi \approx 301.59\ \text{cm}^3 \).

✓ Lösung 12

\( h = 4\tan 30° \approx 2.31 \) m; \( V \approx 38.69\ \text{m}^3 \).