Sechs Anwendungsaufgaben, nach zunehmendem Schwierigkeitsgrad geordnet. Die Musterlösungen folgen am Ende des Dokuments. Bei zusammengesetzten Körpern: erst zerlegen, dann bilanzieren.
| Nr. | Bereich | Titel | Schwierigkeit |
|---|---|---|---|
| 1 | Aviatik | Heissluftballon | ●●○ |
| 2 | Landwirtschaft | Futtersilo | ●●○ |
| 3 | Gastronomie | Eiskugel in der Waffel | ●●○ |
| 4 | Astronomie | Erde und Mond | ●●● |
| 5 | Fertigung | Kugellager aus Stahl | ●●● |
| 6 | Architektur | Kuppel als Kugelsegment | ●●● |
Kugelförmiger Ballon, Durchmesser 16 m; Tragkraft \( 0.3\ \text{kg} \) pro m³.
(a) Berechne das Volumen.
(b) Welche Last trägt der Ballon maximal?
(c) Wie ändert sich die Tragkraft bei doppeltem Durchmesser?
Zylinder (\( r = 3 \) m, \( h = 8 \) m) mit aufgesetzter Halbkugel.
(a) Gesamtvolumen?
(b) Aussenfläche ohne Boden (Anstrich)?
(c) Ein Liter Farbe deckt \( 8\ \text{m}^2 \). Wie viele Liter braucht ein Anstrich?
Eiskugel (\( r = 3 \) cm) schmilzt in eine kegelförmige Waffel mit gleichem Radius.
(a) Wie hoch muss die Waffel mindestens sein?
(b) Zeige allgemein \( h = 4r \).
Erdradius \( \approx 6371 \) km, Mondradius \( \approx 1737 \) km.
(a) Berechne die Erdoberfläche in Mio. km².
(b) Wie oft passt das Mondvolumen in die Erde (Ähnlichkeit nutzen!)?
Ein Kugellager enthält 12 Stahlkugeln mit \( d = 8 \) mm (\( \rho = 7.85\ \text{g/cm}^3 \)).
(a) Berechne das Volumen einer Kugel in cm³.
(b) Berechne die Gesamtmasse der 12 Kugeln.
Eine Kuppel ist ein Kugelsegment: Kugelradius \( r = 10 \) m, Kappenhöhe \( h = 4 \) m.
(a) Berechne das umbaute Volumen des Segments.
(b) Berechne die gewölbte Dachfläche (Kugelkappe).
(a) \( r = 8 \): \( V \approx 2144.66\ \text{m}^3 \).
(b) \( \approx 643 \) kg.
(c) \( k = 2 \Rightarrow V \times 8 \): rund 5147 kg — Volumen wächst kubisch.
(a) \( 90\pi \approx 282.74\ \text{m}^3 \).
(b) \( 66\pi \approx 207.35\ \text{m}^2 \).
(c) \( 207.35 / 8 \approx 26 \) Liter.
(a) \( h = 12 \) cm.
(b) \( \tfrac{4}{3}\pi r^3 = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h \Rightarrow h = 4r \) — \( r^2 \) kürzt sich.
(a) \( O = 4\pi \cdot 6371^2 \approx 510 \) Mio. km².
(b) \( k = 6371/1737 \approx 3.668 \); \( k^3 \approx 49 \) — rund 49 Monde.
(a) \( r = 0.4 \) cm: \( V = \tfrac{4}{3}\pi \cdot 0.064 \approx 0.268\ \text{cm}^3 \).
(b) \( 12 \cdot 0.268 \cdot 7.85 \approx 25.3 \) g.
(a) \( V = \tfrac{\pi \cdot 16}{3}(30 - 4) = \tfrac{416\pi}{3} \approx 435.63\ \text{m}^3 \).
(b) \( A = 2\pi \cdot 10 \cdot 4 = 80\pi \approx 251.33\ \text{m}^2 \).