4.2c Kugel und zusammengesetzte Körper
Die Kugel ist der perfekteste Körper: kein Anfang, kein Ende — und das kleinste Verhältnis von Oberfläche zu Volumen überhaupt. Von \(V = \tfrac{4}{3}\pi r^3\) und \(O = 4\pi r^2\) über Kugelteile (Kappe, Segment, Sektor) bis zu zusammengesetzten Körpern aus Silo, Ballon und Eistüte: Hier läuft die Stereometrie zur Anwendung auf.
- geometrische Sachverhalte von elementaren Objekten (Prisma, Pyramide, Pyramidenstumpf, Kreiszylinder, Kreiskegel, Kreiskegelstumpf, Kugel) beschreiben
- deren Elemente (Körperdiagonale, Höhen, Öffnungswinkel, Mantellinie) und Zusammenhänge (Volumen, Oberfläche) berechnen
- die Ähnlichkeit für Berechnungen im Raum nutzen
Diese Seite behandelt die Kugel, ihre Teile und zusammengesetzte Körper als Anwendung. Prisma und Zylinder in Teil 1 (s4-2a), spitze Körper und Stümpfe in Teil 2 (s4-2b).
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann Volumen und Oberfläche der Kugel berechnen: \(V = \tfrac{4}{3}\pi r^3\), \(O = 4\pi r^2\).
- Ich kann aus Volumen oder Oberfläche rückwärts den Radius bestimmen.
- Ich kann Kugelkappe, Kugelsegment und Kugelsektor unterscheiden und berechnen.
- Ich kann das Archimedes-Verhältnis (Kugel = \(\tfrac{2}{3}\) des umschriebenen Zylinders) erklären.
- Ich kann zusammengesetzte Körper in Teilkörper zerlegen und Volumen wie Oberfläche korrekt bilanzieren.
- Ich kann die Ähnlichkeit (\(V \sim k^3\)) auf Kugeln anwenden.
Einstieg — Archimedes und der Zylinder
Archimedes fand die Kugelformeln über einen genialen Vergleich: Steckt man eine Kugel in den engsten Zylinder, der sie umschliesst (Radius \(r\), Höhe \(2r\)), dann füllt die Kugel exakt
\[ \frac{V_{\text{Kugel}}}{V_{\text{Zylinder}}} = \frac{\tfrac{4}{3}\pi r^3}{2\pi r^3} = \frac{2}{3} \]Zwei Drittel — dieses Verhältnis liess sich Archimedes sogar auf den Grabstein meisseln.
Zwei Beobachtungen tragen die ganze Seite:
- Kugel : Zylinder = \(2 : 3\) — konstant für jede Grösse (Ähnlichkeit!).
- \(V \sim r^3\), \(O \sim r^2\): Grosse Kugeln haben relativ wenig Oberfläche — darum kühlen grosse Körper langsamer aus.
✏️ Mini-Check — Einstieg
Welchen Anteil des engsten Zylinders füllt die Kugel?
- die Hälfte
- zwei Drittel
- drei Viertel
Lösung anzeigen
Verdoppelt man den Kugelradius, wächst das Volumen auf das -Fache.
Lösung anzeigen
Kugel mit \(r = 6\) cm: Berechne \(V\) und \(O\) (zwei Dezimalen).
Lösung anzeigen
Warum kühlt ein grosser Teekessel langsamer aus als eine kleine Tasse (bei gleicher Form)?
Lösungsweg anzeigen
Die Kugel — Volumen und Oberfläche
Die Kugel ist die Menge aller Punkte im Raum mit Abstand \(\leq r\) vom Zentrum; die Sphäre ist ihre Oberfläche.
\[ V = \frac{4}{3} \pi r^3, \qquad O = 4 \pi r^2 \]Merkhilfe: Die Oberfläche ist viermal die Fläche des Grosskreises \(\pi r^2\). Rückwärts:
\[ r = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}, \qquad r = \sqrt{\frac{O}{4\pi}} \]Mit \(r \approx 6371\) km:
\[ O = 4\pi \cdot 6371^2 \approx 510\ \text{Mio.}\ \text{km}^2, \qquad V \approx 1083\ \text{Mrd.}\ \text{km}^3 \]Die Schweiz (\(41\,285\ \text{km}^2\)) passt gut \(12\,000\)-mal auf die Erdoberfläche.
\(V = \tfrac{4}{3}\pi r^3\) (mit hoch 3) und \(O = 4\pi r^2\) (mit hoch 2) werden gern verwechselt. Dimensionskontrolle hilft: Volumen braucht drei Längen (\(r^3\)), Fläche zwei (\(r^2\)).
✏️ Mini-Check — Kugelformeln
Wie hängt die Kugeloberfläche mit dem Grosskreis zusammen?
- gleich gross
- doppelt so gross
- viermal so gross
Lösung anzeigen
Aus dem Volumen gewinnt man den Radius mit der Wurzel.
Lösung anzeigen
Eine Kugel hat \(V = 1000\ \text{cm}^3\) (ein Liter). Berechne \(r\) (zwei Dezimalen).
Lösung anzeigen
Eine Kugel hat die Oberfläche \(100\ \text{cm}^2\). Wie gross ist ihr Radius — und warum braucht es hier nur die Quadratwurzel?
Lösungsweg anzeigen
Kugelteile — Kappe, Segment, Sektor
Ein ebener Schnitt in Höhe \(h\) (vom Pol gemessen) erzeugt die wichtigsten Teilkörper:
| Teil | Beschreibung | Formel |
|---|---|---|
| Kugelkappe (Fläche) | gewölbte Fläche des abgeschnittenen Teils | \(A = 2\pi r h\) |
| Kugelsegment (Körper) | abgeschnittener «Deckel» | \(V = \dfrac{\pi h^2}{3}(3r - h)\) |
| Kugelsektor (Körper) | «Glace-Kegel»: Segment + Kegel bis zum Zentrum | \(V = \dfrac{2\pi r^2 h}{3}\) |
Kontrolle: Für \(h = r\) (halbe Kugel) gibt das Segment \(\tfrac{\pi r^2}{3} \cdot 2r = \tfrac{2}{3}\pi r^3\) — die Halbkugel ✓. Erstaunlich an der Kappenformel: \(A\) hängt nur von \(r\) und der Schichthöhe \(h\) ab.
Kugel mit \(r = 5\) cm, Schnitt bei Kappenhöhe \(h = 2\) cm:
\[ V_{\text{Segment}} = \frac{\pi \cdot 4}{3}(15 - 2) \approx 54.45\ \text{cm}^3, \qquad A_{\text{Kappe}} = 2\pi \cdot 5 \cdot 2 \approx 62.83\ \text{cm}^2 \]Der zugehörige Sektor: \(V = \tfrac{2\pi \cdot 25 \cdot 2}{3} \approx 104.72\ \text{cm}^3\) — Segment plus Kegel bis zum Zentrum.
✏️ Mini-Check — Kugelteile
Was unterscheidet Segment und Sektor?
- nichts — zwei Namen für dasselbe
- der Sektor reicht bis zum Kugelzentrum (Segment + Kegel)
- das Segment ist eine Fläche
Lösung anzeigen
Die Kugelkappen-Fläche \(A = 2\pi r h\) hängt neben \(r\) nur von der ab.
Lösung anzeigen
Kugel \(r = 5\), Kappe \(h = 2\): Berechne die Kappenfläche.
Lösung anzeigen
Setze \(h = 2r\) in die Segmentformel ein. Was kommt heraus — und warum ist das eine gute Kontrolle?
Lösungsweg anzeigen
Zusammengesetzte Körper
Reale Objekte sind Kombinationen der Grundkörper. Vorgehen:
- Zerlegen: Silo = Zylinder + Halbkugel; Eistüte = Kegel + Halbkugel; Bleistift = Prisma + Kegel.
- Volumen: Teilvolumina addieren (Aussparungen/Bohrungen subtrahieren).
- Oberfläche: nur sichtbare Flächen zählen — Berührungsflächen (Deckel/Boden an der Nahtstelle) fallen weg!
Ein Silo: Zylinder (\(r = 3\) m, \(h = 8\) m) mit aufgesetzter Halbkugel.
\[ V = \pi \cdot 9 \cdot 8 + \tfrac{2}{3}\pi \cdot 27 = 72\pi + 18\pi = 90\pi \approx 282.74\ \text{m}^3 \]Aussenfläche (ohne Boden): Zylindermantel + Halbkugel: \(2\pi \cdot 3 \cdot 8 + 2\pi \cdot 9 = 48\pi + 18\pi = 66\pi \approx 207.35\ \text{m}^2\) — der Zylinderdeckel und der Halbkugel-«Boden» zählen nicht: Dort stossen die Körper zusammen.
✏️ Mini-Check — Zusammensetzen
Welche Fläche zählt beim Silo (Zylinder + Halbkugel) NICHT zur Aussenfläche?
- der Zylindermantel
- die Halbkugelfläche
- die Kreisfläche an der Nahtstelle
Lösung anzeigen
Bohrungen und Aussparungen werden beim Volumen .
Lösung anzeigen
Halbkugel mit \(r = 4\) cm: Berechne das Volumen (zwei Dezimalen).
Lösung anzeigen
Die vollständige Oberfläche einer Halbkugel (\(r = 4\)) — gewölbter Teil plus Schnittkreis: Wie gross?
Lösungsweg anzeigen
Ähnlichkeit und Dichte-Anwendungen
Alle Kugeln sind ähnlich — der Radius ist der einzige Parameter. Deshalb überträgt sich \(k\)-Skalierung direkt: \(O \sim r^2\), \(V \sim r^3\). Eine Orange mit doppeltem Radius hat achtmal so viel Fruchtfleisch, aber nur viermal so viel Schale.
Eine Eiskugel (\(r = 3\) cm) schmilzt vollständig in eine kegelförmige Waffel mit gleichem Radius. Wie hoch muss der Kegel mindestens sein?
\[ \tfrac{4}{3}\pi \cdot 27 = \tfrac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot h \;\Rightarrow\; h = \frac{4 \cdot 27}{9} = 12\ \text{cm} \]Merkregel: Der Kegel braucht die vierfache Radiushöhe (\(h = 4r\)), um die Kugel zu fassen.
Techniknahe Aufgaben verketten Volumen mit der Dichte: \(m = \rho \cdot V\). Stahlkugel (\(\rho = 7.85\ \text{g/cm}^3\)), Beton (\(2.4\ \text{t/m}^3\)), Wasser (\(1\ \text{kg/l}\)) — Einheiten konsequent mitführen.
✏️ Mini-Check — Ähnlichkeit und Dichte
Kugel A hat den dreifachen Radius von Kugel B. Wie verhalten sich die Volumina?
- 3 : 1
- 9 : 1
- 27 : 1
Lösung anzeigen
Masse = × Volumen.
Lösung anzeigen
Stahlkugel mit \(r = 1\) cm (\(\rho = 7.85\ \text{g/cm}^3\)): Berechne die Masse (eine Dezimale).
Lösung anzeigen
Aus einer grossen Bleikugel (\(r = 6\) cm) werden kleine Kugeln mit \(r = 2\) cm gegossen. Wie viele?
Lösungsweg anzeigen
Aufgaben
Wähle eine Beschreibung — welcher Begriff passt?
Welcher Begriff ist das?
Grenzfälle entlarven falsche Formeln. Prüfe rechnerisch:
- Segmentformel mit \(h = r\): Kommt die Halbkugel heraus?
- Segmentformel mit \(h = 2r\): Kommt die ganze Kugel heraus?
- Sektorformel mit \(h = r\): Was ergibt sich — und warum mehr als die Halbkugel… oder doch nicht?
- \(\tfrac{\pi r^2}{3}(3r - r) = \tfrac{2}{3}\pi r^3\) — die Halbkugel ✓
- \(\tfrac{\pi \cdot 4r^2}{3}(3r - 2r) = \tfrac{4}{3}\pi r^3\) — die ganze Kugel ✓
- \(\tfrac{2\pi r^2 \cdot r}{3} = \tfrac{2}{3}\pi r^3\) — ebenfalls die Halbkugel! Bei \(h = r\) verläuft der Schnitt durchs Zentrum: Der «Kegel» des Sektors hat Höhe null, Segment und Sektor fallen zusammen.
Kugel mit \(r = 6\) cm: Berechne \(V\) und \(O\) (zwei Dezimalen).
Eine Kugel fasst genau \(1\) Liter (\(1000\ \text{cm}^3\)). Berechne \(r\) (zwei Dezimalen).
Eine Kugel hat \(O = 100\ \text{cm}^2\). Berechne \(r\) (zwei Dezimalen).
Kugel mit \(r = 5\) cm, Kappenhöhe \(h = 2\) cm: Berechne das Segment-Volumen und die Kappenfläche (zwei Dezimalen).
Halbkugel mit \(r = 4\) cm: Berechne \(V\) und die vollständige Oberfläche (gewölbt + Schnittkreis, zwei Dezimalen).
Ein kugelförmiger Ballon hat den Durchmesser \(16\) m. Heisse Luft trägt in kühler Umgebung rund \(0.3\ \text{kg}\) pro m³ Ballonvolumen.
- Berechne das Ballonvolumen (zwei Dezimalen).
- Wie viel Last (Hülle + Korb + Passagiere) kann der Ballon maximal tragen (ganze kg)?
- \(r = 8\) m: \(V = \tfrac{4}{3}\pi \cdot 512 \approx 2144.66\ \text{m}^3\).
- \(2144.66 \cdot 0.3 \approx 643\) kg.
Eine Eiskugel (\(r = 3\) cm) schmilzt vollständig in eine kegelförmige Waffel mit demselben Radius \(3\) cm.
- Wie hoch muss die Waffel mindestens sein, damit nichts überläuft?
- Zeige allgemein: Es gilt \(h = 4r\), unabhängig vom Radius.
- \(\tfrac{4}{3}\pi \cdot 27 = \tfrac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot h \Rightarrow h = 12\) cm.
- Allgemein: \(\tfrac{4}{3}\pi r^3 = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h \Rightarrow h = 4r\) — das \(r^2\) kürzt sich weg.
Ein Futtersilo besteht aus einem Zylinder (\(r = 3\) m, \(h = 8\) m) mit aufgesetzter Halbkugel.
- Berechne das Gesamtvolumen (zwei Dezimalen).
- Berechne die Aussenfläche ohne Boden (Zylindermantel + Halbkugel, zwei Dezimalen).
- \(V = 72\pi + 18\pi = 90\pi \approx 282.74\ \text{m}^3\).
- \(A = 48\pi + 18\pi = 66\pi \approx 207.35\ \text{m}^2\) — die Nahtstellen-Kreise zählen nicht.
In einen Würfel (Kante \(a\)) wird die grösstmögliche Kugel gelegt.
- Welchen Radius hat die Kugel?
- Welchen Anteil des Würfelvolumens füllt sie? Berechne exakt und in Prozent (zwei Dezimalen).
- Hängt der Anteil von \(a\) ab? Begründe mit der Ähnlichkeit.
- \(r = \tfrac{a}{2}\) — die Kugel berührt alle sechs Flächen.
- \(\dfrac{V_K}{V_W} = \dfrac{\tfrac{4}{3}\pi (a/2)^3}{a^3} = \dfrac{\pi}{6} \approx 52.36\ \%\).
- Nein — \(a\) kürzt sich weg. Alle Würfel-Kugel-Paare sind ähnlich; Volumenverhältnisse sind grösseninvariant.
Zusammenfassung
Kugel: \(V = \tfrac{4}{3}\pi r^3\), \(O = 4\pi r^2\) (viermal der Grosskreis) — rückwärts mit Kubik- bzw. Quadratwurzel. Kugelteile: Kappe \(A = 2\pi r h\), Segment \(V = \tfrac{\pi h^2}{3}(3r - h)\), Sektor \(V = \tfrac{2\pi r^2 h}{3}\) — Grenzfälle (\(h = r\), \(h = 2r\)) als Formelkontrolle. Zusammengesetzte Körper: Volumina addieren/subtrahieren, bei Oberflächen die Nahtstellen weglassen. Und die Ähnlichkeit regelt alles Skalieren: \(O \sim r^2\), \(V \sim r^3\) — Archimedes' \(2:3\) gilt für jede Grösse.
| Grösse | Formel | Bemerkung |
|---|---|---|
| Kugelvolumen | \(V = \tfrac{4}{3}\pi r^3\) | \(r = \sqrt[3]{3V/(4\pi)}\) |
| Kugeloberfläche | \(O = 4\pi r^2\) | viermal Grosskreis; \(r = \sqrt{O/(4\pi)}\) |
| Kugelkappe (Fläche) | \(A = 2\pi r h\) | nur \(r\) und Schichthöhe \(h\) |
| Kugelsegment | \(V = \tfrac{\pi h^2}{3}(3r - h)\) | «Deckel» |
| Kugelsektor | \(V = \tfrac{2\pi r^2 h}{3}\) | «Glace-Kegel» bis zum Zentrum |
| Archimedes | \(V_K : V_Z = 2 : 3\) | Kugel im engsten Zylinder |
Zusatzmaterial
Materialien zum Mitnehmen, Üben und Wiederholen. Druckseiten öffnen in neuem Tab.