\( V = \tfrac{4}{3} \pi r^3, \qquad O = 4 \pi r^2 \)
Merkhilfe: Oberfläche = viermal der Grosskreis. Rückwärts: \( r = \sqrt[3]{3V/(4\pi)} \) bzw. \( r = \sqrt{O/(4\pi)} \).
Archimedes: Kugel im engsten Zylinder (\( h = 2r \)): \( V_K : V_Z = 2 : 3 \) — konstant für jede Grösse.
| Kugelkappe (Fläche) | \( A = 2\pi r h \) — nur \(r\) und Schichthöhe \(h\) |
| Kugelsegment («Deckel») | \( V = \tfrac{\pi h^2}{3}(3r - h) \) |
| Kugelsektor («Glace-Kegel») | \( V = \tfrac{2\pi r^2 h}{3} \) |
Grenzfall-Kontrolle: \( h = r \) → Halbkugel \( \tfrac{2}{3}\pi r^3 \); \( h = 2r \) → ganze Kugel ✓
Zerlegen (Silo = Zylinder + Halbkugel, Eistüte = Kegel + Halbkugel), Volumina addieren/subtrahieren — bei Oberflächen die Nahtstellen weglassen. Freistehende Halbkugel: \( O = 3\pi r^2 \) (gewölbt + Schnittkreis).
Alle Kugeln sind ähnlich: \( O \sim r^2 \), \( V \sim r^3 \). Grosse Körper haben relativ wenig Oberfläche (Auskühlung!). Masse: \( m = \rho \cdot V \) — Einheiten konsequent führen.
\( r^3 \) beim Volumen, \( r^2 \) bei der Oberfläche. Kugelteile mit Grenzfällen prüfen. Zusammengesetzt: Nahtstellen zählen nicht zur Oberfläche.