12 Aufgaben mit ansteigendem Schwierigkeitsgrad. Bearbeite alle Aufgaben in einem Zug, ohne in die Lösungen zu schauen — diese stehen am Ende. Hilfsmittel: nur Formelsammlung Promath. Zeitvorgabe: ca. 45 Minuten.
Vervollständige die Aussage und schreibe in die Lücken:
Kugel mit \( r = 6 \) cm: Berechne \(V\) und \(O\).
Erkläre den Unterschied zwischen Kugelsegment und Kugelsektor.
Eine Kugel fasst 1 Liter. Berechne den Radius.
Eine Kugel hat \( O = 100\ \text{cm}^2 \). Berechne den Radius.
Setze \( h = 2r \) in die Segmentformel \( V = \tfrac{\pi h^2}{3}(3r - h) \) ein. Was ergibt sich?
Kugel \( r = 5 \) cm, Kappenhöhe \( h = 2 \) cm: Berechne Segment-Volumen und Kappenfläche.
Halbkugel mit \( r = 4 \) cm: Berechne \(V\) und die vollständige Oberfläche.
Aus einer Bleikugel (\( r = 6 \) cm) werden Kugeln mit \( r = 2 \) cm gegossen. Wie viele?
Zylinder (\( r = 3 \) m, \( h = 8 \) m) mit aufgesetzter Halbkugel: Gesamtvolumen und Aussenfläche ohne Boden?
Eine Eiskugel (\( r = 3 \) cm) schmilzt in eine Waffel (Kegel, \( r = 3 \) cm). Wie hoch muss der Kegel mindestens sein?
Stahlkugel mit \( r = 1 \) cm, Dichte \( 7.85\ \text{g/cm}^3 \): Berechne die Masse.
vier · zwei · drei.
\( V = \tfrac{4}{3}\pi \cdot 216 \approx 904.78\ \text{cm}^3 \); \( O = 4\pi \cdot 36 \approx 452.39\ \text{cm}^2 \).
Segment: eben abgeschnittener «Deckel». Sektor: Segment plus Kegel bis zum Kugelzentrum («Glace-Kegel»).
\( r = \sqrt[3]{3000/(4\pi)} \approx 6.20 \) cm.
\( r = \sqrt{100/(4\pi)} \approx 2.82 \) cm.
\( \tfrac{\pi \cdot 4r^2}{3}(3r - 2r) = \tfrac{4}{3}\pi r^3 \) — die ganze Kugel; die Formel besteht den Grenzfall-Test.
\( V = \tfrac{4\pi}{3} \cdot 13 \approx 54.45\ \text{cm}^3 \); \( A = 20\pi \approx 62.83\ \text{cm}^2 \).
\( V = \tfrac{2}{3}\pi \cdot 64 \approx 134.04\ \text{cm}^3 \); \( O = 3\pi \cdot 16 \approx 150.80\ \text{cm}^2 \).
\( k = 3 \Rightarrow k^3 = 27 \) Kugeln.
\( V = 90\pi \approx 282.74\ \text{m}^3 \); \( A = 66\pi \approx 207.35\ \text{m}^2 \).
\( h = 4r = 12 \) cm.
\( V = \tfrac{4}{3}\pi \approx 4.19\ \text{cm}^3 \); \( m \approx 32.9 \) g.