Sechs Anwendungsaufgaben, nach zunehmendem Schwierigkeitsgrad geordnet. Die Musterlösungen folgen am Ende des Dokuments. Skizze mit Pfeilen gehört zu jeder Vektoraufgabe!
| Nr. | Bereich | Titel | Schwierigkeit |
|---|---|---|---|
| 1 | Nautik | Flussüberquerung | ●●○ |
| 2 | Mechanik | Zwei Kräfte am Haken | ●●○ |
| 3 | Vermessung | Mittelpunkt und Schwerpunkt | ●●○ |
| 4 | Aviatik | Wind und Kurs | ●●● |
| 5 | Statik | Kraft in zwei Stäbe zerlegen | ●●● |
| 6 | Robotik | Greifarm in Schritten | ●●● |
Ein Boot hält mit \( 4\ \text{m/s} \) quer auf das Ufer zu; die Strömung schiebt mit \( 3\ \text{m/s} \) flussabwärts. Der Fluss ist \(60\) m breit.
(a) Berechne Betrag und Richtung der resultierenden Geschwindigkeit.
(b) Wie lange dauert die Überquerung, wie gross ist die Abdrift?
(c) Wie lang ist der tatsächlich gefahrene Weg?
An einem Haken ziehen \( F_1 = 60 \) N horizontal und \( F_2 = 25 \) N vertikal.
(a) Berechne den Betrag der resultierenden Kraft.
(b) Unter welchem Winkel zur Horizontalen wirkt sie?
(c) Welche dritte Kraft würde den Haken im Gleichgewicht halten?
Drei Vermessungspunkte: \( A(1 \mid 2 \mid 3) \), \( B(5 \mid 0 \mid 1) \), \( C(0 \mid 4 \mid 2) \) (Koordinaten in km).
(a) Berechne den Mittelpunkt der Strecke \(AB\).
(b) Berechne den Schwerpunkt des Dreiecks \(ABC\).
(c) Wie weit sind \(A\) und \(B\) voneinander entfernt?
Ein Flugzeug fliegt mit Eigengeschwindigkeit \( \binom{0}{200} \) km/h (nach Norden); der Wind weht mit \( \binom{50}{0} \) km/h (nach Osten).
(a) Berechne den Geschwindigkeitsvektor über Grund und seinen Betrag.
(b) Um welchen Winkel weicht der Kurs von Norden ab?
(c) Wie weit kommt das Flugzeug in 1.5 Stunden?
Eine Kraft \( \vec{F} = \binom{5}{1} \) kN soll von zwei Stäben mit den Richtungen \( \vec{a} = \binom{2}{1} \) und \( \vec{b} = \binom{1}{-1} \) aufgenommen werden: \( \vec{F} = s\,\vec{a} + t\,\vec{b} \).
(a) Stelle das Gleichungssystem auf.
(b) Berechne \(s\) und \(t\).
(c) Welche Kraftbeträge tragen die Stäbe (\( |s\vec{a}| \), \( |t\vec{b}| \))?
Ein Greifarm fährt vom Ursprung nacheinander die Verschiebungen \( \binom{3}{1} \), \( \binom{-1}{2} \) und \( \binom{2}{2} \) ab (in dm).
(a) Wo steht der Greifer am Schluss?
(b) Wie weit ist er (Luftlinie) vom Start entfernt?
(c) Welcher einzelne Verschiebungsvektor hätte denselben Effekt — und was sagt das über die Vektoraddition?
(a) \( |\vec{v}| = \sqrt{3^2+4^2} = 5\ \text{m/s} \), \( \approx 36.9° \) zur Querrichtung.
(b) \( t = 60/4 = 15 \) s; Abdrift \( 3 \cdot 15 = 45 \) m.
(c) \( 5 \cdot 15 = 75 \) m (oder \( \sqrt{60^2 + 45^2} = 75 \) ✓).
(a) \( \sqrt{60^2 + 25^2} = 65 \) N.
(b) \( \arctan(25/60) \approx 22.6° \).
(c) Der Gegenvektor der Resultierenden: \(65\) N unter \( 22.6° \) in die Gegenrichtung.
(a) \( M(3 \mid 1 \mid 2) \).
(b) \( S(2 \mid 2 \mid 2) \).
(c) \( |\vec{AB}| = |(4, -2, -2)| = \sqrt{24} \approx 4.9 \) km.
(a) \( \binom{50}{200} \), Betrag \( \sqrt{2500 + 40000} \approx 206.2 \) km/h.
(b) \( \arctan(50/200) \approx 14.0° \) nach Osten.
(c) \( 206.2 \cdot 1.5 \approx 309 \) km.
(a) \( 2s + t = 5 \), \( s - t = 1 \).
(b) \( s = 2 \), \( t = 1 \).
(c) \( |2\vec{a}| = 2\sqrt{5} \approx 4.47 \) kN, \( |1\,\vec{b}| = \sqrt{2} \approx 1.41 \) kN.
(a) Summe \( \binom{4}{5} \) — Punkt \( (4 \mid 5) \).
(b) \( \sqrt{16+25} = \sqrt{41} \approx 6.4 \) dm.
(c) Genau \( \binom{4}{5} \) — die Reihenfolge der Teilschritte ist egal: Vektoraddition ist kommutativ und assoziativ.