4.3a Vektorbegriff und Komponenten
Ein Vektor hat Länge und Richtung — mehr nicht, aber auch nicht weniger. Kräfte, Geschwindigkeiten und Verschiebungen sind Vektoren; Temperatur oder Masse sind es nicht. Auf dieser Seite lernst du das Rechnen mit Pfeilen (addieren, subtrahieren, strecken), übersetzt sie in Komponenten für Ebene und Raum, wechselst zwischen kartesischen und Polarkoordinaten — und zerlegst Vektoren in vorgegebene Richtungen.
- Vektoren definieren, skalieren, addieren, subtrahieren und normieren auch ohne Hilfsmittel
- zweidimensionale Vektoren in kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten darstellen, entsprechende Umrechnung durchführen
- einen Vektor grafisch in vorgeschriebene Richtungen zerlegen und Linearkombinationen berechnen (als Übergang zur koordinatenbezogenen Vektorgeometrie) auch ohne Hilfsmittel
- die Begriffe der koordinatenbezogenen Vektorrechnung (Richtung, Norm (Länge, Betrag), inverser Vektor (Gegenvektor), Ortsvektor, Einheitsvektor) erklären, anwenden und visualisieren auch ohne Hilfsmittel
- die Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarprodukt) koordinatenbezogen ausführen und grafisch visualisieren — in numerisch einfachen Fällen ohne, in schwierigen mit Hilfsmitteln
- die Parametergleichung einer Geraden aufstellen und die gegenseitige Lage von zwei Geraden bestimmen — in numerisch einfachen Fällen ohne, in schwierigen mit Hilfsmitteln
- Längen-, Winkel- und Abstandsprobleme lösen — numerisch einfache Fälle und geometrisch einfache Lagen auch ohne Hilfsmittel, numerisch schwierige Fälle und geometrisch komplizierte Lagen mit Hilfsmitteln
Diese Seite behandelt die Kompetenzen 1–5 (ohne Skalarprodukt): Vektorbegriff, Operationen, Komponenten- und Polardarstellung, Linearkombinationen. Es folgen Teil 2: Skalarprodukt (s4-3b), Teil 3: Geraden (s4-3c) und als Ergänzung Teil 4: Ebenen (s4-3d).
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann vektorielle von skalaren Grössen unterscheiden und einen Vektor als Klasse gleich langer, gleich gerichteter Pfeile deuten.
- Ich kann Vektoren zeichnerisch und komponentenweise addieren, subtrahieren und mit Skalaren multiplizieren — inklusive Gegenvektor und Nullvektor.
- Ich kann Orts- und Verbindungsvektoren aufstellen (\(\vec{AB} = \vec{r}_B - \vec{r}_A\)) und Beträge in Ebene und Raum berechnen.
- Ich kann zweidimensionale Vektoren zwischen kartesischer Darstellung und Polarform \((r;\ \varphi)\) umrechnen.
- Ich kann Einheitsvektoren bestimmen (normieren) und Vektoren als Linearkombinationen \(s\vec{a} + t\vec{b}\) zerlegen.
- Ich kann Kollinearität prüfen und einfache Anwendungen (Kräfte, Geschwindigkeiten, Mittelpunkte) vektoriell lösen.
Einstieg — mit dem Boot über den Fluss
Ein Boot hält mit \(4\ \text{m/s}\) genau quer auf das andere Ufer zu. Die Strömung schiebt es gleichzeitig mit \(v_S\) flussabwärts. Wohin fährt das Boot wirklich?
Beide Geschwindigkeiten sind Vektoren — sie haben Betrag und Richtung. Die tatsächliche Bewegung ist ihre Summe: der Diagonalpfeil im Kräfteparallelogramm.
Geschwindigkeiten lassen sich nicht einfach als Zahlen addieren — die Richtung gehört dazu:
- \(4\ \text{m/s}\) quer plus \(3\ \text{m/s}\) längs geben nicht \(7\), sondern \(5\ \text{m/s}\) schräg.
- Das Aneinanderhängen der Pfeile ist die Vektoraddition — komponentenweise: \(\binom{0}{4} + \binom{3}{0} = \binom{3}{4}\).
✏️ Mini-Check — Einstieg
Welche dieser Grössen ist ein Vektor?
- die Wassertemperatur
- die Strömungsgeschwindigkeit
- die Flussbreite
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Zwei Vektoren addiert man zeichnerisch, indem man die Pfeile — der Summenpfeil verbindet Start und Spitze.
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Boot \(4\ \text{m/s}\) quer, Strömung \(3\ \text{m/s}\): Berechne den Betrag der resultierenden Geschwindigkeit.
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Der Fluss ist \(60\) m breit. Wie lange dauert die Überquerung, und wie weit wird das Boot abgetrieben (Boot \(4\ \text{m/s}\), Strömung \(3\ \text{m/s}\))?
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Definitionen — Vektor, Betrag, Gegenvektor
Eine skalare Grösse ist durch eine einzige Zahl (mit Einheit) bestimmt: Masse, Temperatur, Zeit. Eine vektorielle Grösse braucht zusätzlich eine Richtung: Kraft, Geschwindigkeit, Verschiebung.
Ein Vektor \(\vec{a}\) ist die Menge aller Pfeile mit gleicher Länge und gleicher Richtung — jeder einzelne Pfeil ist ein Repräsentant. Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung (Translation); wo der Pfeil startet, spielt keine Rolle.
| Betrag (Norm, Länge) | \(|\vec{a}|\) — die Länge des Pfeils, stets \(\geq 0\) |
| Gleichheit | \(\vec{a} = \vec{b}\), wenn Länge und Richtung übereinstimmen |
| Nullvektor \(\vec{0}\) | Länge \(0\), keine Richtung |
| Gegenvektor \(-\vec{a}\) | gleiche Länge, entgegengesetzte Richtung; \(\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}\) |
| Operation | zeichnerisch | Ergebnis |
|---|---|---|
| Addition \(\vec{a} + \vec{b}\) | Pfeile aneinanderhängen (oder Parallelogramm) | Pfeil vom Start von \(\vec{a}\) zur Spitze von \(\vec{b}\) |
| Subtraktion \(\vec{a} - \vec{b}\) | Gegenvektor addieren: \(\vec{a} + (-\vec{b})\) | Pfeil von der Spitze von \(\vec{b}\) zur Spitze von \(\vec{a}\) (gleicher Start) |
| skalare Multiplikation \(s \cdot \vec{a}\) | Pfeil strecken/stauchen | Länge \(|s| \cdot |\vec{a}|\); \(s < 0\) dreht die Richtung um |
Kollinear heissen Vektoren, die Vielfache voneinander sind: \(\vec{b} = s \cdot \vec{a}\) — ihre Pfeile sind parallel.
✏️ Mini-Check — Begriffe
Was gilt für den Gegenvektor \(-\vec{a}\)?
- Er ist kürzer als \(\vec{a}\).
- Er hat gleiche Länge und entgegengesetzte Richtung.
- Er steht senkrecht auf \(\vec{a}\).
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Vektoren, die Vielfache voneinander sind, heissen — ihre Pfeile sind parallel.
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\(|\vec{a}| = 3\). Welche Länge hat \(-2\vec{a}\), und wie ist seine Richtung?
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Zwei Pfeile starten an verschiedenen Punkten, sind aber gleich lang und gleich gerichtet. Sind sie derselbe Vektor?
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Komponenten — Vektoren in Zahlen
Im Koordinatensystem wird jeder Vektor durch seine Komponenten beschrieben — die Verschiebungen entlang der Achsen:
\[ \vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \ \text{(Ebene)}, \qquad \vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \ \text{(Raum)} \]Der Ortsvektor \(\vec{r}_A = \vec{OA}\) zeigt vom Ursprung zum Punkt \(A\). Der Verbindungsvektor zweier Punkte ist die Differenz der Ortsvektoren:
\[ \vec{AB} = \vec{r}_B - \vec{r}_A = \begin{pmatrix} b_1 - a_1 \\ b_2 - a_2 \end{pmatrix} \qquad \text{«Spitze minus Fuss»} \]| Betrag (Ebene) | \(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}\) |
| Betrag (Raum) | \(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\) |
| Addition / Subtraktion | komponentenweise: \(\binom{a_1}{a_2} \pm \binom{b_1}{b_2} = \binom{a_1 \pm b_1}{a_2 \pm b_2}\) |
| skalare Multiplikation | jede Komponente mal \(s\): \(s\binom{a_1}{a_2} = \binom{s a_1}{s a_2}\) |
✏️ Mini-Check — Komponenten
Wie berechnet man den Verbindungsvektor \(\vec{AB}\)?
- \(\vec{r}_A - \vec{r}_B\)
- \(\vec{r}_B - \vec{r}_A\)
- \(\vec{r}_A + \vec{r}_B\)
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Der Vektor \(\vec{OA}\) vom Ursprung zum Punkt \(A\) heisst von \(A\).
Lösung anzeigen
Berechne \(\vec{AB}\) und \(|\vec{AB}|\) für \(A(2 \mid 1)\) und \(B(5 \mid 3)\).
Lösung anzeigen
Berechne den Betrag des Raumvektors \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Warum funktioniert Pythagoras auch in 3D?
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Polarform — Betrag und Winkel statt Komponenten
Ein ebener Vektor lässt sich statt durch Komponenten auch durch Betrag und Richtungswinkel beschreiben — die Polarform \((r;\ \varphi)\) mit \(\varphi\) gegen die positive \(x\)-Achse:
| Richtung | Formeln |
|---|---|
| polar → kartesisch | \(a_1 = r\cos\varphi, \qquad a_2 = r\sin\varphi\) |
| kartesisch → polar | \(r = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}, \qquad \tan\varphi = \dfrac{a_2}{a_1}\) (Quadrant am Vorzeichen prüfen!) |
Polar → kartesisch: \(r = 6\), \(\varphi = 30°\):
\[ a_1 = 6\cos 30° \approx 5.196, \qquad a_2 = 6\sin 30° = 3 \]Kartesisch → polar: \(\vec{a} = \binom{3}{4}\): \(r = \sqrt{9+16} = 5\), \(\tan\varphi = \tfrac{4}{3} \Rightarrow \varphi \approx 53.13°\) (1. Quadrant ✓).
\(\tan\varphi = \tfrac{a_2}{a_1}\) liefert am Taschenrechner nur Winkel zwischen \(-90°\) und \(90°\). Für \(\binom{-2}{2}\) ergibt \(\arctan(-1) = -45°\) — richtig ist aber \(\varphi = 135°\) (2. Quadrant). Immer die Vorzeichen der Komponenten anschauen und nötigenfalls \(180°\) addieren.
✏️ Mini-Check — Polarform
Welche Angaben legen einen ebenen Vektor in Polarform fest?
- zwei Komponenten
- Betrag und Richtungswinkel
- Start- und Endpunkt
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Die Umrechnung polar → kartesisch lautet \(a_1 = r \cdot \) und \(a_2 = r \cdot \sin\varphi\).
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Gib \(\vec{a} = \binom{3}{4}\) in Polarform an.
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Bestimme die Polarform von \(\binom{-2}{2}\) — Vorsicht, Quadrant!
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Einheitsvektoren und Linearkombinationen
Ein Einheitsvektor hat den Betrag \(1\). Zu jedem Vektor \(\vec{a} \neq \vec{0}\) gehört der Einheitsvektor in seine Richtung:
\[ \vec{e}_a = \frac{1}{|\vec{a}|} \cdot \vec{a} \]Diesen Vorgang nennt man Normieren. Die Standard-Einheitsvektoren \(\vec{e}_1 = \binom{1}{0}\), \(\vec{e}_2 = \binom{0}{1}\) zeigen entlang der Achsen — jede Komponentendarstellung ist eine Linearkombination davon: \(\binom{3}{4} = 3\vec{e}_1 + 4\vec{e}_2\).
Ein Vektor \(\vec{c}\) ist eine Linearkombination von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\), wenn
\[ \vec{c} = s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b} \]mit Skalaren \(s\), \(t\). Sind \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) nicht kollinear, lässt sich jeder ebene Vektor eindeutig so zerlegen — grafisch durch Parallelen zu den beiden Richtungen, rechnerisch über ein Gleichungssystem.
Zerlege \(\vec{c} = \binom{5}{1}\) in die Richtungen \(\vec{a} = \binom{2}{1}\) und \(\vec{b} = \binom{1}{-1}\).
Lösung: Ansatz \(s\binom{2}{1} + t\binom{1}{-1} = \binom{5}{1}\) — komponentenweise ein Gleichungssystem:
\[ 2s + t = 5, \qquad s - t = 1 \]Addieren: \(3s = 6 \Rightarrow s = 2\), dann \(t = 1\). Kontrolle: \(2\binom{2}{1} + 1\binom{1}{-1} = \binom{5}{1}\) ✓
Bestimme den Einheitsvektor zu \(\vec{a} = \binom{3}{4}\).
\[ |\vec{a}| = 5 \;\Rightarrow\; \vec{e}_a = \tfrac{1}{5}\binom{3}{4} = \binom{0.6}{0.8} \qquad \text{Kontrolle: } \sqrt{0.36 + 0.64} = 1 \ \checkmark \]\(A(2 \mid 1)\) ist ein Ort, \(\binom{2}{1}\) eine Verschiebung. Punkte kann man nicht addieren — Ortsvektoren schon. Der Unterschied zeigt sich bei \(\vec{AB} = \vec{r}_B - \vec{r}_A\): Das Ergebnis ist ein Vektor, kein Punkt.
Der Mittelpunkt der Strecke \(AB\) hat den Ortsvektor \(\vec{r}_M = \tfrac{1}{2}(\vec{r}_A + \vec{r}_B)\), der Schwerpunkt des Dreiecks \(ABC\) den Ortsvektor \(\vec{r}_S = \tfrac{1}{3}(\vec{r}_A + \vec{r}_B + \vec{r}_C)\) — Mittelwert der Ortsvektoren, komponentenweise gerechnet.
✏️ Mini-Check — Einheitsvektor und Zerlegung
Was bedeutet «einen Vektor normieren»?
- ihn auf Länge 1 bringen (Richtung behalten)
- ihn auf die x-Achse drehen
- seine Komponenten runden
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\(\vec{c} = s\vec{a} + t\vec{b}\) heisst von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\).
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Normiere \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\).
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Warum lässt sich \(\binom{5}{1}\) nicht in die Richtungen \(\binom{2}{1}\) und \(\binom{4}{2}\) zerlegen?
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Aufgaben
Wähle einen Pfeil — welcher Spaltenvektor beschreibt ihn?
Welcher Vektor gehört zum angezeigten Pfeil?
Zeichne auf Häuschenpapier die Vektoren \(\vec{a} = \binom{3}{1}\) und \(\vec{b} = \binom{1}{2}\) und konstruiere zeichnerisch:
- \(\vec{a} + \vec{b}\) (Pfeilkette)
- \(\vec{a} - \vec{b}\) (Gegenvektor anhängen)
- \(2\vec{a}\) und \(-\vec{b}\)
- Violett: \(\vec{a}+\vec{b} = \binom{4}{3}\) — vom Start von \(\vec{a}\) zur Spitze von \(\vec{b}\).
- Grün: \(\vec{a}-\vec{b} = \binom{2}{-1}\).
- \(2\vec{a} = \binom{6}{2}\) (doppelt so lang, gleiche Richtung); \(-\vec{b} = \binom{-1}{-2}\) (umgedreht).
Gegeben sind \(A(2 \mid 1)\) und \(B(5 \mid 3)\). Berechne \(\vec{AB}\) und \(|\vec{AB}|\) (zwei Dezimalen).
Berechne \(|\vec{a}|\) für \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\).
Ein Vektor hat die Polarform \(r = 6\), \(\varphi = 30°\). Berechne die Komponenten (drei Dezimalen).
Gib \(\vec{a} = \binom{3}{4}\) in Polarform an (Winkel auf zwei Dezimalen).
Zerlege \(\vec{c} = \binom{5}{1}\) in die Richtungen \(\vec{a} = \binom{2}{1}\) und \(\vec{b} = \binom{1}{-1}\): Bestimme \(s\) und \(t\) mit \(\vec{c} = s\vec{a} + t\vec{b}\).
Gleichungssystem \(2s + t = 5\), \(s - t = 1\). Addieren: \(3s = 6 \Rightarrow s = 2\), \(t = 1\).
An einem Haken ziehen zwei Kräfte: \(F_1 = 60\) N horizontal und \(F_2 = 25\) N vertikal.
- Berechne den Betrag der resultierenden Kraft.
- Unter welchem Winkel zur Horizontalen wirkt sie?
- \(|\vec{F}| = \sqrt{60^2 + 25^2} = \sqrt{4225} = 65\) N.
- \(\tan\alpha = \tfrac{25}{60} \Rightarrow \alpha \approx 22.62°\) — das ist genau die Umrechnung in die Polarform.
Zum Einstieg: Boot \(4\ \text{m/s}\) quer, Strömung \(3\ \text{m/s}\), Flussbreite \(60\) m.
- Wie lange dauert die Überquerung?
- Wie weit wird das Boot abgetrieben, und wie lang ist der tatsächlich zurückgelegte Weg?
- Nur die Querkomponente bringt das Boot ans Ufer: \(t = \tfrac{60}{4} = 15\) s.
- Abdrift \(3 \cdot 15 = 45\) m; Weg \(= |\vec{v}| \cdot t = 5 \cdot 15 = 75\) m (oder \(\sqrt{60^2 + 45^2} = 75\) ✓).
Gegeben sind \(A(1 \mid 2 \mid 3)\), \(B(5 \mid 0 \mid 1)\) und \(C(0 \mid 4 \mid 2)\).
- Berechne den Mittelpunkt \(M\) der Strecke \(AB\).
- Berechne den Schwerpunkt \(S\) des Dreiecks \(ABC\).
- \(\vec{r}_M = \tfrac{1}{2}(\vec{r}_A + \vec{r}_B) \Rightarrow M(3 \mid 1 \mid 2)\).
- \(\vec{r}_S = \tfrac{1}{3}(\vec{r}_A + \vec{r}_B + \vec{r}_C) \Rightarrow S(2 \mid 2 \mid 2)\).
Kollinearität heisst: Ein Vektor ist ein Vielfaches des anderen.
- Für welches \(k\) sind \(\binom{2}{3}\) und \(\binom{k}{6}\) kollinear?
- Sind \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}\) kollinear? Und \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}\)?
- Begründe: Zwei nicht kollineare Vektoren der Ebene können jeden ebenen Vektor als Linearkombination erzeugen.
- \(\binom{k}{6} = s\binom{2}{3}\): aus \(6 = 3s\) folgt \(s = 2\), also \(k = 4\).
- Erste Paarung: ja, Faktor \(2\) in allen Komponenten. Zweite: nein — \(\tfrac{2}{1} = \tfrac{4}{2} = 2\), aber \(\tfrac{5}{3} \neq 2\).
- Grafisch spannen zwei nicht parallele Richtungen ein «schiefes Gitter» auf: Durch die Spitze jedes Zielvektors lassen sich Parallelen zu beiden Richtungen legen — das liefert eindeutige Streckfaktoren \(s\) und \(t\) (rechnerisch: das Gleichungssystem hat genau eine Lösung).
Zusammenfassung
Ein Vektor ist eine Verschiebung — Länge plus Richtung, ohne festen Ort. Gerechnet wird komponentenweise: addieren, subtrahieren, mit Skalaren strecken; der Betrag kommt von Pythagoras (\(\sqrt{a_1^2+a_2^2}\) bzw. mit \(a_3^2\) im Raum). Der Verbindungsvektor ist «Spitze minus Fuss» (\(\vec{AB} = \vec{r}_B - \vec{r}_A\)), Normieren teilt durch den Betrag, und die Polarform \((r;\ \varphi)\) beschreibt ebene Vektoren durch Betrag und Winkel (Quadrant prüfen!). Nicht kollineare Richtungen zerlegen jeden ebenen Vektor eindeutig als Linearkombination.
| Begriff | Formel | Merkhilfe |
|---|---|---|
| Verbindungsvektor | \(\vec{AB} = \vec{r}_B - \vec{r}_A\) | Spitze minus Fuss |
| Betrag | \(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2\ (+\ a_3^2)}\) | Pythagoras |
| Einheitsvektor | \(\vec{e}_a = \vec{a}/|\vec{a}|\) | durch die Länge teilen |
| Polarform | \(a_1 = r\cos\varphi,\ a_2 = r\sin\varphi\) | Quadrant am Vorzeichen |
| Mittelpunkt | \(\vec{r}_M = \tfrac{1}{2}(\vec{r}_A + \vec{r}_B)\) | Mittelwert der Ortsvektoren |
| Kollinearität | \(\vec{b} = s \cdot \vec{a}\) | gleicher Faktor in allen Komponenten |
Zusatzmaterial
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