Ein Vektor \( \vec{a} \) ist die Klasse aller Pfeile gleicher Länge und Richtung — eine Verschiebung ohne festen Ort. Skalare Grössen (Masse, Zeit) brauchen nur eine Zahl; vektorielle (Kraft, Geschwindigkeit) zusätzlich eine Richtung.
| Betrag (Norm) | \( |\vec{a}| \geq 0 \) — die Pfeillänge |
| Nullvektor / Gegenvektor | \( \vec{0} \) (Länge 0) · \( -\vec{a} \) (umgedreht); \( \vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0} \) |
| kollinear | \( \vec{b} = s\,\vec{a} \) — parallele Pfeile (gleicher Faktor in allen Komponenten) |
Addition: Pfeile aneinanderhängen (oder Parallelogramm) · Subtraktion: Gegenvektor addieren · skalare Multiplikation: strecken (\( s < 0 \): umdrehen). Komponentenweise:
\[ \binom{a_1}{a_2} \pm \binom{b_1}{b_2} = \binom{a_1 \pm b_1}{a_2 \pm b_2}, \qquad s\binom{a_1}{a_2} = \binom{s a_1}{s a_2} \]| Ortsvektor | \( \vec{r}_A = \vec{OA} \) — Komponenten = Koordinaten von \(A\) |
| Verbindungsvektor | \( \vec{AB} = \vec{r}_B - \vec{r}_A \) — «Spitze minus Fuss» |
| Betrag (Ebene / Raum) | \( |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \) bzw. \( \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \) |
| Mittelpunkt / Schwerpunkt | \( \vec{r}_M = \tfrac{1}{2}(\vec{r}_A + \vec{r}_B) \) · \( \vec{r}_S = \tfrac{1}{3}(\vec{r}_A + \vec{r}_B + \vec{r}_C) \) |
polar → kartesisch: \( a_1 = r\cos\varphi \), \( a_2 = r\sin\varphi \) · kartesisch → polar: \( r = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \), \( \tan\varphi = a_2/a_1 \) — Quadrant an den Vorzeichen prüfen (2./3. Quadrant: \( 180° \) addieren).
Normieren: \( \vec{e}_a = \vec{a}/|\vec{a}| \) (Betrag 1, gleiche Richtung). Linearkombination: \( \vec{c} = s\,\vec{a} + t\,\vec{b} \) — bei nicht kollinearen \( \vec{a}, \vec{b} \) ist jeder ebene Vektor eindeutig zerlegbar (Gleichungssystem in \(s\), \(t\)).
Komponentenweise rechnen, Betrag mit Pythagoras, Verbindungsvektor «Spitze minus Fuss», Normieren durch die Länge teilen — und bei der Polarform immer den Quadranten kontrollieren.