Sechs Anwendungsaufgaben, nach zunehmendem Schwierigkeitsgrad geordnet. Die Musterlösungen folgen am Ende des Dokuments. Taschenrechner für Winkel auf DEG stellen.
| Nr. | Bereich | Titel | Schwierigkeit |
|---|---|---|---|
| 1 | Physik | Arbeit am Schlitten | ●●○ |
| 2 | Konstruktion | Rechtwinklig-Kontrolle | ●●○ |
| 3 | Vermessung | Winkel im Gelände-Dreieck | ●●○ |
| 4 | Mechanik | Hangabtriebskraft als Projektion | ●●● |
| 5 | Bauwesen | Winkel im Dachstuhl (3D) | ●●● |
| 6 | Solartechnik | Einstrahlung auf ein Panel | ●●● |
Ein Schlitten wird mit \( F = 80 \) N über \( s = 12 \) m gezogen; das Seil bildet \( 35° \) mit dem Boden.
(a) Berechne die Arbeit \( W = |\vec{F}||\vec{s}|\cos\varphi \).
(b) Wie viel Arbeit ginge bei waagrechtem Seil?
(c) Warum leistet die Vertikalkomponente der Kraft keine Arbeit?
Ein Metallwinkel hat die Schenkel \( \vec{a} = \binom{4}{2} \) und \( \vec{b} = \binom{-1}{2} \) (in cm).
(a) Prüfe mit dem Skalarprodukt, ob der Winkel exakt \( 90° \) beträgt.
(b) Die Fertigung liefert stattdessen \( \vec{b}\,' = \binom{-1}{2.1} \). Welcher Winkel entsteht?
Drei Messpunkte: \( A(1 \mid 1) \), \( B(5 \mid 2) \), \( C(2 \mid 4) \) (in hm).
(a) Berechne den Winkel bei \( A \).
(b) Berechne die Winkel bei \( B \) und \( C \) und prüfe die Winkelsumme.
Auf einen Wagen wirkt die Gewichtskraft \( \vec{F}_G = \binom{0}{-800} \) N. Die Rampe hat die Richtung \( \vec{u} = \binom{4}{-1} \).
(a) Berechne den Betrag der Projektion von \( \vec{F}_G \) auf \( \vec{u} \) (Hangabtriebskraft).
(b) Wie ändert sich diese Kraft bei doppelt so steiler Rampe \( \binom{4}{-2} \)?
Zwei Sparren treffen sich im First: \( \vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \) und \( \vec{b} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \) (in m, \(z\) nach oben).
(a) Berechne den Winkel zwischen den Sparren.
(b) Wie lang ist jeder Sparren?
Sonnenstrahlen fallen in Richtung \( \vec{s} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \) ein; die Panel-Normale (senkrecht zur Fläche) zeigt nach \( \vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \).
(a) Berechne den Winkel zwischen \( -\vec{s} \) (Richtung zur Sonne) und \( \vec{n} \).
(b) Ideal wäre \( 0° \). Wie gut ist die Ausrichtung (Anteil \( \cos\varphi \))?
(a) \( W = 80 \cdot 12 \cdot \cos 35° \approx 786 \) J.
(b) \( 960 \) J — rund 18 % mehr.
(c) Sie steht senkrecht zur Bewegung: \( \cos 90° = 0 \).
(a) \( -4 + 4 = 0 \) — exakt \( 90° \) ✓.
(b) \( \vec{a} \cdot \vec{b}\,' = -4 + 4.2 = 0.2 \); \( \cos\varphi = \tfrac{0.2}{\sqrt{20}\sqrt{5.41}} \approx 0.0192 \Rightarrow \varphi \approx 88.9° \) — knapp daneben.
(a) \( \alpha \approx 57.5° \) (siehe Theorie).
(b) \( \vec{BA} = \binom{-4}{-1} \), \( \vec{BC} = \binom{-3}{2} \): \( \cos\beta = \tfrac{10}{\sqrt{17}\sqrt{13}} \Rightarrow \beta \approx 47.7° \); \( \gamma \approx 180° - 57.5° - 47.7° = 74.8° \) — Summe \( 180° \) ✓.
(a) \( |\vec{F}_{G,u}| = \tfrac{|\vec{F}_G \cdot \vec{u}|}{|\vec{u}|} = \tfrac{800}{\sqrt{17}} \approx 194 \) N.
(b) \( \tfrac{1600}{\sqrt{20}} \approx 358 \) N — fast doppelt.
(a) \( \vec{a} \cdot \vec{b} = -16 + 9 = -7 \); \( |\vec{a}| = |\vec{b}| = 5 \): \( \cos\varphi = -\tfrac{7}{25} \Rightarrow \varphi \approx 106.3° \).
(b) je \( 5 \) m.
(a) \( -\vec{s} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \): \( (-\vec{s}) \cdot \vec{n} = 2 + 6 = 8 \); Beträge \( \sqrt{13} \), \( \sqrt{5} \): \( \cos\varphi = \tfrac{8}{\sqrt{65}} \approx 0.992 \Rightarrow \varphi \approx 7.1° \).
(b) Anteil \( \approx 99.2\ \% \) — sehr gut ausgerichtet.