4.3b Skalarprodukt
Das Skalarprodukt multipliziert zwei Vektoren zu einer Zahl — und diese Zahl steckt voller Geometrie: Sie verrät den Zwischenwinkel, entlarvt Orthogonalität auf einen Blick (\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)) und misst als Projektion, wie viel ein Vektor in Richtung eines anderen bewirkt. In der Physik heisst genau das: Arbeit.
- Vektoren definieren, skalieren, addieren, subtrahieren und normieren auch ohne Hilfsmittel
- zweidimensionale Vektoren in kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten darstellen, entsprechende Umrechnung durchführen
- einen Vektor grafisch in vorgeschriebene Richtungen zerlegen und Linearkombinationen berechnen (als Übergang zur koordinatenbezogenen Vektorgeometrie) auch ohne Hilfsmittel
- die Begriffe der koordinatenbezogenen Vektorrechnung (Richtung, Norm (Länge, Betrag), inverser Vektor (Gegenvektor), Ortsvektor, Einheitsvektor) erklären, anwenden und visualisieren auch ohne Hilfsmittel
- die Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarprodukt) koordinatenbezogen ausführen und grafisch visualisieren — in numerisch einfachen Fällen ohne, in schwierigen mit Hilfsmitteln
- die Parametergleichung einer Geraden aufstellen und die gegenseitige Lage von zwei Geraden bestimmen — in numerisch einfachen Fällen ohne, in schwierigen mit Hilfsmitteln
- Längen-, Winkel- und Abstandsprobleme lösen — numerisch einfache Fälle und geometrisch einfache Lagen auch ohne Hilfsmittel, numerisch schwierige Fälle und geometrisch komplizierte Lagen mit Hilfsmitteln
Diese Seite behandelt das Skalarprodukt (Kompetenz 5) und die Winkelprobleme aus Kompetenz 7. Grundlagen in Teil 1 (s4-3a); es folgen Teil 3: Geraden (s4-3c) und die Ergänzung Teil 4: Ebenen (s4-3d).
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann das Skalarprodukt geometrisch (\(|\vec{a}||\vec{b}|\cos\varphi\)) und komponentenweise (\(a_1b_1 + a_2b_2\ (+\ a_3b_3)\)) berechnen — und weiss, dass das Ergebnis eine Zahl ist.
- Ich kann den Zwischenwinkel zweier Vektoren mit der Winkelformel bestimmen.
- Ich kann Orthogonalität mit \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\) prüfen und orthogonale Vektoren konstruieren.
- Ich kann am Vorzeichen des Skalarprodukts erkennen, ob der Zwischenwinkel spitz, recht oder stumpf ist.
- Ich kann die Normalprojektion eines Vektors auf einen anderen berechnen und als «Schattenwurf» deuten.
- Ich kann Winkel in Figuren (Dreiecke, Körper) und die physikalische Arbeit \(W = \vec{F} \cdot \vec{s}\) berechnen.
Einstieg — wie viel Kraft zählt wirklich?
Ein Schlitten wird mit der Kraft \(F = 50\) N über \(s = 8\) m gezogen — aber das Seil zeigt schräg nach oben, im Winkel \(\varphi\) zur Bewegungsrichtung. Für die geleistete Arbeit zählt nur der Kraftanteil in Bewegungsrichtung:
\[ W = |\vec{F}| \cdot |\vec{s}| \cdot \cos\varphi \]Genau dieser Ausdruck bekommt einen Namen: das Skalarprodukt \(\vec{F} \cdot \vec{s}\).
Zwei Vektoren, ein Produkt — und das Ergebnis ist eine Zahl, kein Vektor:
- Der Faktor \(\cos\varphi\) bestraft schiefe Winkel: volle Wirkung bei \(0°\), keine bei \(90°\).
- «Vektor mal Vektor gleich Zahl» — daher der Name Skalarprodukt.
✏️ Mini-Check — Einstieg
Was für ein Objekt ist das Ergebnis von \(\vec{a} \cdot \vec{b}\)?
- ein Vektor
- eine reelle Zahl
- ein Winkel
Lösung anzeigen
Eine Kraft senkrecht zur Bewegungsrichtung leistet Arbeit.
Lösung anzeigen
Berechne \(W\) für \(F = 50\) N, \(s = 8\) m, \(\varphi = 60°\).
Lösung anzeigen
Kann die Arbeit \(W = \vec{F} \cdot \vec{s}\) negativ sein? Was bedeutet das?
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Definition — zwei Formeln, ein Produkt
Für zwei Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) mit Zwischenwinkel \(\varphi\):
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\varphi \]Das Ergebnis ist ein Skalar (eine reelle Zahl), kein Vektor.
Komponentenweise multiplizieren und summieren:
\[ \binom{a_1}{a_2} \cdot \binom{b_1}{b_2} = a_1 b_1 + a_2 b_2 \qquad\quad \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \]Beide Formeln liefern dieselbe Zahl — die geometrische zeigt die Bedeutung, die komponentenweise macht das Rechnen leicht. Spezialfall: \(\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2\).
Auflösen der Definition nach dem Winkel (\(\vec{a}, \vec{b} \neq \vec{0}\)):
\[ \cos\varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \]Bestimme den Zwischenwinkel von \(\vec{a} = \binom{4}{3}\) und \(\vec{b} = \binom{5}{0}\).
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 5 + 3 \cdot 0 = 20, \qquad |\vec{a}| = 5,\ |\vec{b}| = 5 \] \[ \cos\varphi = \frac{20}{25} = 0.8 \;\Rightarrow\; \varphi \approx 36.87° \]✏️ Mini-Check — Definition
Wie berechnet man \(\binom{2}{5} \cdot \binom{4}{-1}\)?
- \(\binom{8}{-5}\)
- \(2 \cdot 4 + 5 \cdot (-1) = 3\)
- \(2 \cdot 4 - 5 \cdot (-1) = 13\)
Lösung anzeigen
Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ergibt das Quadrat seines : \(\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2\).
Lösung anzeigen
Berechne \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\).
Lösung anzeigen
Bestimme den Zwischenwinkel von \(\binom{1}{2}\) und \(\binom{3}{1}\) exakt.
Lösungsweg anzeigen
Das Vorzeichen erzählt die Geometrie
| Zwischenwinkel \(\varphi\) | Skalarprodukt | Bedeutung |
|---|---|---|
| \(0° \leq \varphi < 90°\) | \(\vec{a} \cdot \vec{b} > 0\) | spitzer Winkel — Richtungen «arbeiten zusammen» |
| \(\varphi = 90°\) | \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\) | orthogonal (senkrecht) |
| \(90° < \varphi \leq 180°\) | \(\vec{a} \cdot \vec{b} < 0\) | stumpfer Winkel — Richtungen «gegeneinander» |
Grenzfälle: \(\varphi = 0°\) gibt \(+|\vec{a}||\vec{b}|\), \(\varphi = 180°\) gibt \(-|\vec{a}||\vec{b}|\) — beides kollineare Vektoren.
✏️ Mini-Check — Orthogonalität
Woran erkennt man rechnerisch, dass zwei Vektoren senkrecht stehen?
- gleiche Beträge
- Skalarprodukt null
- Skalarprodukt negativ
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Ist \(\vec{a} \cdot \vec{b} < 0\), so ist der Zwischenwinkel .
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Stehen \(\binom{2}{3}\) und \(\binom{-3}{2}\) senkrecht?
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Für welches \(k\) steht \(\binom{3}{k}\) senkrecht auf \(\binom{2}{4}\)?
Lösungsweg anzeigen
Rechenregeln und Projektion
| Kommutativgesetz | \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\) |
| Distributivgesetz | \(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\) |
| Skalare herausziehen | \((s\vec{a}) \cdot \vec{b} = s\,(\vec{a} \cdot \vec{b})\) |
| Betrag über Skalarprodukt | \(|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}\) |
Achtung: Ein Assoziativgesetz gibt es nicht — \((\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c}\) ist ein Vektor (Zahl mal \(\vec{c}\)), und «durch einen Vektor dividieren» ist sinnlos.
Die senkrechte Projektion von \(\vec{a}\) auf \(\vec{b}\) («Schatten von \(\vec{a}\) auf \(\vec{b}\) bei senkrechtem Licht»):
\[ \vec{a}_b = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \cdot \vec{b}, \qquad\quad |\vec{a}_b| = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|} \]Der Projektionsvektor ist kollinear zu \(\vec{b}\); sein Betrag ist der «wirksame Anteil» von \(\vec{a}\) in Richtung \(\vec{b}\) — genau der Anteil, der im Arbeits-Beispiel zählte.
Projiziere \(\vec{a} = \binom{4}{2}\) auf \(\vec{b} = \binom{3}{0}\).
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 12, \quad |\vec{b}|^2 = 9 \;\Rightarrow\; \vec{a}_b = \tfrac{12}{9}\binom{3}{0} = \binom{4}{0}, \qquad |\vec{a}_b| = \tfrac{12}{3} = 4 \]Anschaulich: Der Schatten von \(\binom{4}{2}\) auf der \(x\)-Achse ist \(4\) lang. ✓
\(\binom{2}{5} \cdot \binom{4}{-1}\) ist nicht \(\binom{8}{-5}\)! Das Skalarprodukt summiert die Produkte: \(8 + (-5) = 3\). Das Ergebnis ist immer eine Zahl.
✏️ Mini-Check — Regeln und Projektion
Was für ein Objekt ist \((\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c}\)?
- eine Zahl
- ein Vektor
- nicht definiert
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Die Normalprojektion \(\vec{a}_b\) ist stets zu \(\vec{b}\).
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Berechne \(|\vec{a}|\) über das Skalarprodukt für \(\vec{a} = \binom{4}{3}\).
Lösung anzeigen
Was passiert mit der Projektion \(\vec{a}_b\), wenn \(\vec{a} \perp \vec{b}\)?
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Winkel in Figuren
Der Winkel bei einer Ecke \(A\) liegt zwischen den Vektoren von \(A\) weg zu den Nachbarecken: \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\). Beide aufstellen («Spitze minus Fuss»), dann die Winkelformel anwenden. Falsche Pfeilrichtung liefert den Nebenwinkel \(180° - \varphi\)!
Berechne den Innenwinkel \(\alpha\) bei \(A(1 \mid 1)\) im Dreieck mit \(B(5 \mid 2)\) und \(C(2 \mid 4)\).
\[ \vec{AB} = \binom{4}{1}, \quad \vec{AC} = \binom{1}{3} \qquad \cos\alpha = \frac{4 + 3}{\sqrt{17}\sqrt{10}} = \frac{7}{\sqrt{170}} \;\Rightarrow\; \alpha \approx 57.5° \]Ist das Dreieck \(A(0 \mid 0)\), \(B(4 \mid 2)\), \(C(3 \mid 4)\) rechtwinklig?
Lösung: Die beiden Seitenvektoren von \(B\) weg prüfen: \(\vec{BA} = \binom{-4}{-2}\), \(\vec{BC} = \binom{-1}{2}\):
\[ \vec{BA} \cdot \vec{BC} = 4 - 4 = 0 \;\Rightarrow\; \text{rechter Winkel bei } B \]Fläche über die Katheten: \(F = \tfrac{1}{2} \cdot |\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}| = \tfrac{1}{2}\sqrt{20}\sqrt{5} = 5\).
Für den Winkel bei \(B\) braucht es \(\vec{BA}\) und \(\vec{BC}\) — beide von \(B\) weg. Wer versehentlich \(\vec{AB}\) (auf \(B\) zu) verwendet, erhält den Nebenwinkel. Kontrolle: Innenwinkelsumme \(180°\).
✏️ Mini-Check — Winkel in Figuren
Welche Vektoren braucht man für den Innenwinkel bei der Ecke \(C\)?
- \(\vec{CA}\) und \(\vec{CB}\)
- \(\vec{AC}\) und \(\vec{BC}\)
- \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\)
Lösung anzeigen
Verwendet man versehentlich einen umgedrehten Pfeil, erhält man statt \(\varphi\) den \(180° - \varphi\).
Lösung anzeigen
Zeige mit dem Skalarprodukt, dass \(\binom{4}{2}\) und \(\binom{-1}{2}\) senkrecht stehen.
Lösung anzeigen
Warum ist der Skalarprodukt-Test auf Rechtwinkligkeit bequemer als der Umweg über Seitenlängen und Pythagoras?
Lösungsweg anzeigen
Aufgaben
Wähle ein Vektorpaar — entscheide am Bild und im Kopf über das Vorzeichen des Skalarprodukts.
Welches Vorzeichen hat \(\vec{a} \cdot \vec{b}\)?
Zu \(\vec{a} = \binom{a_1}{a_2}\) ist \(\binom{-a_2}{a_1}\) stets orthogonal (Komponenten tauschen, ein Vorzeichen drehen).
- Weise das mit dem Skalarprodukt allgemein nach.
- Gib zwei zu \(\binom{5}{2}\) orthogonale Vektoren an.
- Warum funktioniert der Trick im Raum (3D) nicht mehr eindeutig?
- \(\binom{a_1}{a_2} \cdot \binom{-a_2}{a_1} = -a_1 a_2 + a_2 a_1 = 0\) ✓
- Z.B. \(\binom{-2}{5}\) und \(\binom{2}{-5}\) — jedes Vielfache davon.
- Im Raum gibt es zu einem Vektor eine ganze Ebene orthogonaler Richtungen — nicht nur eine Gerade; der 2D-Trick wählt keine eindeutige Richtung mehr aus.
Berechne \(\binom{2}{5} \cdot \binom{4}{-1}\).
Bestimme den Zwischenwinkel von \(\binom{1}{2}\) und \(\binom{3}{1}\) (in Grad).
Für welches \(k\) steht \(\binom{3}{k}\) senkrecht auf \(\binom{2}{4}\)?
Berechne \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und gib den Zwischenwinkel an.
Berechne den Betrag der Normalprojektion von \(\vec{a} = \binom{4}{2}\) auf \(\vec{b} = \binom{3}{0}\).
Eine Kiste wird mit \(F = 80\) N über \(s = 12\) m gezogen; das Seil bildet \(35°\) mit der Bewegungsrichtung.
- Berechne die geleistete Arbeit \(W = |\vec{F}||\vec{s}|\cos\varphi\).
- Wie gross wäre \(W\) bei waagrechtem Seil — und wie viel Prozent gehen durch die Schräglage verloren?
- \(W = 80 \cdot 12 \cdot \cos 35° \approx 786.4\) J.
- Waagrecht: \(W = 960\) J. Verlust: \(1 - \cos 35° \approx 18\) %.
Gegeben ist das Dreieck \(A(1 \mid 1)\), \(B(5 \mid 2)\), \(C(2 \mid 4)\).
- Stelle \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) auf.
- Berechne den Innenwinkel \(\alpha\) bei \(A\) (zwei Dezimalen).
\(\vec{AB} = \binom{4}{1}\), \(\vec{AC} = \binom{1}{3}\); \(\cos\alpha = \tfrac{7}{\sqrt{170}} \Rightarrow \alpha \approx 57.53°\).
Gegeben ist das Dreieck \(A(0 \mid 0)\), \(B(4 \mid 2)\), \(C(3 \mid 4)\).
- Zeige mit dem Skalarprodukt, dass das Dreieck rechtwinklig ist — bei welcher Ecke?
- Berechne die Fläche über die Katheten.
- \(\vec{BA} = \binom{-4}{-2}\), \(\vec{BC} = \binom{-1}{2}\): \(\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 4 - 4 = 0\) — rechter Winkel bei \(B\).
- \(F = \tfrac{1}{2}|\vec{BA}||\vec{BC}| = \tfrac{1}{2}\sqrt{20}\sqrt{5} = \tfrac{1}{2} \cdot 10 = 5\) Flächeneinheiten.
Ein Würfel mit Kantenlänge \(1\) liegt im Koordinatensystem: Ecke im Ursprung, Kanten entlang der Achsen. Die Raumdiagonale zeigt nach \(D(1 \mid 1 \mid 1)\).
- Stelle die Vektoren der Raumdiagonale und einer Kante (z.B. \(x\)-Achse) auf.
- Berechne den Winkel zwischen Raumdiagonale und Kante (zwei Dezimalen).
- Warum ist der Winkel für alle drei Kanten derselbe?
- \(\vec{d} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\), Kante \(\vec{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\).
- \(\cos\varphi = \dfrac{1}{\sqrt{3} \cdot 1} \Rightarrow \varphi \approx 54.74°\).
- Die Diagonale behandelt alle drei Achsen symmetrisch — jedes Skalarprodukt mit einer Kante ergibt \(1\), jede Kantenlänge ist \(1\).
Zusammenfassung
Das Skalarprodukt \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\varphi = a_1b_1 + a_2b_2\ (+\ a_3b_3)\) macht aus zwei Vektoren eine Zahl. Sein Vorzeichen klassiert den Zwischenwinkel (positiv: spitz, null: orthogonal, negativ: stumpf), die Winkelformel \(\cos\varphi = \tfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\) liefert ihn exakt, und die Projektion \(\vec{a}_b = \tfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b}\) misst den wirksamen Anteil — physikalisch die Arbeit \(W = \vec{F} \cdot \vec{s}\). Bei Winkeln in Figuren: beide Pfeile von der Ecke weg.
| Aufgabe | Formel |
|---|---|
| Skalarprodukt (Komponenten) | \(a_1b_1 + a_2b_2\ (+\ a_3b_3)\) |
| Zwischenwinkel | \(\cos\varphi = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}\) |
| Orthogonalität | \(\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0\) |
| Projektion auf \(\vec{b}\) | \(\vec{a}_b = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\,\vec{b}\), \(\quad |\vec{a}_b| = \dfrac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|}\) |
| Betrag | \(|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}\) |
| Arbeit (Physik) | \(W = \vec{F} \cdot \vec{s}\) |
Clips
Clips zu den Animationen — was jede Animation zeigt
Transkripte — der gesprochene Text zum Mitlesen
Schräg ziehen: welcher Teil der Kraft arbeitet?
- 0:00Ein Schlitten wird mit fünfzig Newton acht Meter weit gezogen. Das Seil zeigt schräg nach oben. Wie viel von der Kraft leistet dann noch Arbeit?
- 0:09Bei null Grad zieht das Seil genau in Bewegungsrichtung. Der grüne Schatten ist so lang wie die ganze Kraft. Die Arbeit ist fünfzig mal acht, also vierhundert Joule.
- 0:19Bei sechzig Grad ist der grüne Schatten nur noch halb so lang wie der blaue Kraftpfeil. Kosinus sechzig Grad ist null Komma fünf, die Arbeit halbiert sich auf zweihundert Joule.
- 0:30Bei neunzig Grad zieht das Seil senkrecht nach oben. Die Kraft wirft keinen Schatten auf den Weg, und die Arbeit ist null.
- 0:38Merke: Für die Arbeit zählt nur der Schatten der Kraft auf dem Weg, der Betrag der Kraft mal Kosinus phi. Genau das misst das Skalarprodukt. Eine senkrechte Kraft leistet keine Arbeit.
Vorzeichen des Skalarprodukts: Nulldurchgang bei 90°
- 0:00Der blaue Vektor a bleibt fest, den orangen Vektor b mit Länge drei dreht man um den Ursprung. Wann ist das Skalarprodukt positiv, wann null, wann negativ?
- 0:11Zeigt b nach rechts, ist das Skalarprodukt zwölf, also positiv. Der Winkel ist spitz, rund vierzehn Grad. Der grüne Schatten von b auf a zeigt in Richtung a.
- 0:21Steht b senkrecht auf a, ist das Skalarprodukt genau null. Der Schatten schrumpft auf den Nullvektor, übrig bleibt der grüne Punkt im Ursprung.
- 0:30Zeigt b nach links, ist das Skalarprodukt minus zwölf, also negativ. Der Winkel ist stumpf, rund hundertsechsundsechzig Grad, und der Schatten zeigt gegen a.
- 0:41Merke: Positiv heisst spitz, null heisst senkrecht, negativ heisst stumpf. Für den rechten Winkel muss man nichts messen: Es genügt, das Skalarprodukt gleich null zu prüfen.
Spitz, recht oder stumpf: am Vorzeichen ablesen
- 0:00In Aufgabe A1 entscheidest du, ob der Winkel zwischen zwei Pfeilen spitz, recht oder stumpf ist. Erst schätzen, dann mit zwei Produkten und einer Summe nachrechnen.
- 0:10Die beiden Pfeile öffnen sich deutlich weniger als neunzig Grad. Die Rechnung bestätigt es: sechs plus drei gibt neun, positiv, also spitz.
- 0:20Hier sieht der Winkel nach neunzig Grad aus. Schätzen allein reicht dafür nicht, aber die Rechnung ist eindeutig: minus vier plus vier gibt null. Die Vektoren stehen senkrecht.
- 0:30Die Pfeile zeigen fast in entgegengesetzte Richtungen. Minus neun minus zwei gibt minus elf, negativ, also stumpf.
- 0:39Merke: Die Beträge sind positiv, das Vorzeichen des Skalarprodukts kommt allein vom Kosinus. Positiv heisst spitz, null heisst recht, negativ heisst stumpf. So prüft man einen rechten Winkel ohne Wurzel und ohne Winkelfunktion.
Vektoren: das Skalarprodukt
- 0:00Das Skalarprodukt macht aus zwei Vektoren eine Zahl. Nicht einen Vektor — daher der Name.
- 0:08Ein Beispiel: eins, zwei, zwei mal zwei, minus zwei, eins. Das gibt zwei minus vier plus zwei — also null.
- 0:16Und genau das ist der Kern: Ist das Skalarprodukt null, stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander. Das ist die meistgebrauchte Anwendung überhaupt.
- 0:25Der Grund steht in der zweiten Formel: Das Skalarprodukt ist Länge mal Länge mal Cosinus des Zwischenwinkels. Bei neunzig Grad ist der Cosinus null — und damit das ganze Produkt.
- 0:35Rückwärts gelesen liefert dieselbe Formel den Winkel zwischen zwei Vektoren: Skalarprodukt geteilt durch das Produkt der Längen, dann der Arkuscosinus.
- 0:44Zum Mitnehmen: komponentenweise multiplizieren und addieren. Null heisst senkrecht, und dieselbe Formel gibt rückwärts den Winkel.
Zusatzmaterial
Materialien zum Mitnehmen, Üben und Wiederholen. Druckseiten öffnen in neuem Tab.