Schwerpunktfach · Lerngebiet 4 · Geometrie · 70 Lektionen

4.3b Skalarprodukt

RLP 4.3 · Teil 2 von 4

Das Skalarprodukt multipliziert zwei Vektoren zu einer Zahl — und diese Zahl steckt voller Geometrie: Sie verrät den Zwischenwinkel, entlarvt Orthogonalität auf einen Blick (\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)) und misst als Projektion, wie viel ein Vektor in Richtung eines anderen bewirkt. In der Physik heisst genau das: Arbeit.

📋 Kompetenzen nach RLP 2030 — Teilgebiet 4.3

Vektoren definieren, skalieren, addieren, subtrahieren und normieren auch ohne Hilfsmittel
zweidimensionale Vektoren in kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten darstellen, entsprechende Umrechnung durchführen
einen Vektor grafisch in vorgeschriebene Richtungen zerlegen und Linearkombinationen berechnen (als Übergang zur koordinatenbezogenen Vektorgeometrie) auch ohne Hilfsmittel
die Begriffe der koordinatenbezogenen Vektorrechnung (Richtung, Norm (Länge, Betrag), inverser Vektor (Gegenvektor), Ortsvektor, Einheitsvektor) erklären, anwenden und visualisieren auch ohne Hilfsmittel
die Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarprodukt) koordinatenbezogen ausführen und grafisch visualisieren — in numerisch einfachen Fällen ohne, in schwierigen mit Hilfsmitteln
die Parametergleichung einer Geraden aufstellen und die gegenseitige Lage von zwei Geraden bestimmen — in numerisch einfachen Fällen ohne, in schwierigen mit Hilfsmitteln
Längen-, Winkel- und Abstandsprobleme lösen — numerisch einfache Fälle und geometrisch einfache Lagen auch ohne Hilfsmittel, numerisch schwierige Fälle und geometrisch komplizierte Lagen mit Hilfsmitteln

Diese Seite behandelt das Skalarprodukt (Kompetenz 5) und die Winkelprobleme aus Kompetenz 7. Grundlagen in Teil 1 (s4-3a); es folgen Teil 3: Geraden (s4-3c) und die Ergänzung Teil 4: Ebenen (s4-3d).

🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite

Ich kann das Skalarprodukt geometrisch (\(|\vec{a}||\vec{b}|\cos\varphi\)) und komponentenweise (\(a_1b_1 + a_2b_2\ (+\ a_3b_3)\)) berechnen — und weiss, dass das Ergebnis eine Zahl ist.
Ich kann den Zwischenwinkel zweier Vektoren mit der Winkelformel bestimmen.
Ich kann Orthogonalität mit \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\) prüfen und orthogonale Vektoren konstruieren.
Ich kann am Vorzeichen des Skalarprodukts erkennen, ob der Zwischenwinkel spitz, recht oder stumpf ist.
Ich kann die Normalprojektion eines Vektors auf einen anderen berechnen und als «Schattenwurf» deuten.
Ich kann Winkel in Figuren (Dreiecke, Körper) und die physikalische Arbeit \(W = \vec{F} \cdot \vec{s}\) berechnen.

Einstieg — wie viel Kraft zählt wirklich?

Ein Schlitten wird mit der Kraft \(F = 50\) N über \(s = 8\) m gezogen — aber das Seil zeigt schräg nach oben, im Winkel \(\varphi\) zur Bewegungsrichtung. Für die geleistete Arbeit zählt nur der Kraftanteil in Bewegungsrichtung:

\[ W = |\vec{F}| \cdot |\vec{s}| \cdot \cos\varphi \]

Genau dieser Ausdruck bekommt einen Namen: das Skalarprodukt \(\vec{F} \cdot \vec{s}\).

🛷 Arbeit am Schlitten: \(W = \vec{F} \cdot \vec{s}\)

👁 Worauf achten?

Worauf achten?

Ziehe den Winkel von \(0°\) auf \(90°\): Wie ändert sich die Arbeit? Beobachte den grünen «Schatten» der Kraft auf der Bewegungsrichtung — er ist der wirksame Anteil.

💡 Erkenntnis

Erkenntnis

Bei \(0°\) wirkt die volle Kraft (\(W = 400\) J), bei \(60°\) nur noch die Hälfte (\(\cos 60° = 0.5\)), bei \(90°\) gar nichts — senkrechte Kraft leistet keine Arbeit. Das Skalarprodukt misst das Zusammenwirken zweier Richtungen.

F = 50 N · s = 8 m · Projektion der Kraft grün

Winkel \(\varphi\) [°] 30°

Arbeit

W = 50 · 8 · cos(30°) ≈ 346.4 J

📘 Was sehen wir?

Zwei Vektoren, ein Produkt — und das Ergebnis ist eine Zahl, kein Vektor:

Der Faktor \(\cos\varphi\) bestraft schiefe Winkel: volle Wirkung bei \(0°\), keine bei \(90°\).
«Vektor mal Vektor gleich Zahl» — daher der Name Skalarprodukt.

✏️ Mini-Check — Einstieg

Multiple Choice

Was für ein Objekt ist das Ergebnis von \(\vec{a} \cdot \vec{b}\)?

ein Vektor
eine reelle Zahl
ein Winkel

Lösung anzeigen

B. «Vektor · Vektor = reelle Zahl» — das unterscheidet das Skalarprodukt von allen bisherigen Operationen.

Lückentext

Eine Kraft senkrecht zur Bewegungsrichtung leistet Arbeit.

Lösung anzeigen

keine — \(\cos 90° = 0\).

Kurze Rechnung

Berechne \(W\) für \(F = 50\) N, \(s = 8\) m, \(\varphi = 60°\).

Lösung anzeigen

\(W = 50 \cdot 8 \cdot \cos 60° = 400 \cdot 0.5 = 200\) J.

Transfer

Kann die Arbeit \(W = \vec{F} \cdot \vec{s}\) negativ sein? Was bedeutet das?

Lösungsweg anzeigen

Ja — für \(\varphi > 90°\) ist \(\cos\varphi < 0\): Die Kraft wirkt gegen die Bewegung (z.B. Bremskraft) und entzieht Energie.

Definition — zwei Formeln, ein Produkt

📘 Definition — Skalarprodukt (geometrische Form)

Für zwei Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) mit Zwischenwinkel \(\varphi\):

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\varphi \]

Das Ergebnis ist ein Skalar (eine reelle Zahl), kein Vektor.

📘 Skalarprodukt in Komponenten

Komponentenweise multiplizieren und summieren:

\[ \binom{a_1}{a_2} \cdot \binom{b_1}{b_2} = a_1 b_1 + a_2 b_2 \qquad\quad \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \]

Beide Formeln liefern dieselbe Zahl — die geometrische zeigt die Bedeutung, die komponentenweise macht das Rechnen leicht. Spezialfall: \(\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2\).

📘 Winkelformel

Auflösen der Definition nach dem Winkel (\(\vec{a}, \vec{b} \neq \vec{0}\)):

\[ \cos\varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \]

🟢 Beispiel 1 — Winkel berechnen

Bestimme den Zwischenwinkel von \(\vec{a} = \binom{4}{3}\) und \(\vec{b} = \binom{5}{0}\).

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 5 + 3 \cdot 0 = 20, \qquad |\vec{a}| = 5,\ |\vec{b}| = 5 \] \[ \cos\varphi = \frac{20}{25} = 0.8 \;\Rightarrow\; \varphi \approx 36.87° \]

✏️ Mini-Check — Definition

Multiple Choice

Wie berechnet man \(\binom{2}{5} \cdot \binom{4}{-1}\)?

\(\binom{8}{-5}\)
\(2 \cdot 4 + 5 \cdot (-1) = 3\)
\(2 \cdot 4 - 5 \cdot (-1) = 13\)

Lösung anzeigen

B. Produkte der Komponenten summieren — das Ergebnis ist die Zahl \(3\), kein Vektor.

Lückentext

Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ergibt das Quadrat seines : \(\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2\).

Lösung anzeigen

Betrags — denn \(\cos 0° = 1\).

Kurze Rechnung

Berechne \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\).

Lösung anzeigen

\(2 - 4 + 2 = 0\) — die Vektoren stehen senkrecht!

Transfer

Bestimme den Zwischenwinkel von \(\binom{1}{2}\) und \(\binom{3}{1}\) exakt.

Lösungsweg anzeigen

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 + 2 = 5\); \(|\vec{a}||\vec{b}| = \sqrt{5} \cdot \sqrt{10} = \sqrt{50}\). \(\cos\varphi = \tfrac{5}{\sqrt{50}} = \tfrac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \varphi = 45°\).

Das Vorzeichen erzählt die Geometrie

📘 Skalarprodukt und Zwischenwinkel

Zwischenwinkel \(\varphi\)	Skalarprodukt	Bedeutung
\(0° \leq \varphi < 90°\)	\(\vec{a} \cdot \vec{b} > 0\)	spitzer Winkel — Richtungen «arbeiten zusammen»
\(\varphi = 90°\)	\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)	orthogonal (senkrecht)
\(90° < \varphi \leq 180°\)	\(\vec{a} \cdot \vec{b} < 0\)	stumpfer Winkel — Richtungen «gegeneinander»

Grenzfälle: \(\varphi = 0°\) gibt \(+|\vec{a}||\vec{b}|\), \(\varphi = 180°\) gibt \(-|\vec{a}||\vec{b}|\) — beides kollineare Vektoren.

Winkel-Labor — Skalarprodukt live

👁 Worauf achten?

Worauf achten?

Drehe \(\vec{b}\) einmal ganz herum: Wo wird das Skalarprodukt null, wo negativ? Vergleiche das Vorzeichen mit dem angezeigten Winkel.

💡 Erkenntnis

Erkenntnis

Das Skalarprodukt wechselt genau bei \(90°\) das Vorzeichen — Orthogonalität ist der Nulldurchgang. Der Test \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\) ersetzt jede Winkelmessung. Der grüne Schatten \(\vec{b}_a\) macht das Vorzeichen sichtbar: Bei spitzem Winkel zeigt er in Richtung \(\vec{a}\), bei stumpfem dagegen — und bei \(90°\) schrumpft er auf den Nullvektor.

\(\vec{a} = \binom{4}{1}\) fest (blau) · \(\vec{b}\) drehbar mit \(|\vec{b}| = 3\) (orange) · Projektion \(\vec{b}_a\) (grün)

Richtung \(\vec{b}\) [°] 60°

Skalarprodukt und Zwischenwinkel

Normalprojektion (Schatten von b auf a)

Das gestrichelte Lot fällt von der Spitze von \(\vec{b}\) auf die Trägergerade von \(\vec{a}\). Der grüne Vektor vom Ursprung zum Lotfusspunkt ist \(\vec{b}_a = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|^2}\,\vec{a}\).

✏️ Mini-Check — Orthogonalität

Multiple Choice

Woran erkennt man rechnerisch, dass zwei Vektoren senkrecht stehen?

gleiche Beträge
Skalarprodukt null
Skalarprodukt negativ

Lösung anzeigen

B. \(\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0\) (für \(\vec{a}, \vec{b} \neq \vec{0}\)).

Lückentext

Ist \(\vec{a} \cdot \vec{b} < 0\), so ist der Zwischenwinkel .

Lösung anzeigen

stumpf (grösser als \(90°\)).

Kurze Rechnung

Stehen \(\binom{2}{3}\) und \(\binom{-3}{2}\) senkrecht?

Lösung anzeigen

\(2 \cdot (-3) + 3 \cdot 2 = 0\) — ja. (Trick: Komponenten tauschen, ein Vorzeichen drehen.)

Transfer

Für welches \(k\) steht \(\binom{3}{k}\) senkrecht auf \(\binom{2}{4}\)?

Lösungsweg anzeigen

\(3 \cdot 2 + k \cdot 4 = 0 \Rightarrow 4k = -6 \Rightarrow k = -1.5\).

Rechenregeln und Projektion

📘 Rechenregeln

Kommutativgesetz	\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\)
Distributivgesetz	\(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\)
Skalare herausziehen	\((s\vec{a}) \cdot \vec{b} = s\,(\vec{a} \cdot \vec{b})\)
Betrag über Skalarprodukt	\(\|\vec{a}\| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}\)

Achtung: Ein Assoziativgesetz gibt es nicht — \((\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c}\) ist ein Vektor (Zahl mal \(\vec{c}\)), und «durch einen Vektor dividieren» ist sinnlos.

📘 Normalprojektion — der Schattenwurf

Die senkrechte Projektion von \(\vec{a}\) auf \(\vec{b}\) («Schatten von \(\vec{a}\) auf \(\vec{b}\) bei senkrechtem Licht»):

\[ \vec{a}_b = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \cdot \vec{b}, \qquad\quad |\vec{a}_b| = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|} \]

Der Projektionsvektor ist kollinear zu \(\vec{b}\); sein Betrag ist der «wirksame Anteil» von \(\vec{a}\) in Richtung \(\vec{b}\) — genau der Anteil, der im Arbeits-Beispiel zählte.

🟢 Beispiel 2 — Projektion berechnen

Projiziere \(\vec{a} = \binom{4}{2}\) auf \(\vec{b} = \binom{3}{0}\).

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 12, \quad |\vec{b}|^2 = 9 \;\Rightarrow\; \vec{a}_b = \tfrac{12}{9}\binom{3}{0} = \binom{4}{0}, \qquad |\vec{a}_b| = \tfrac{12}{3} = 4 \]

Anschaulich: Der Schatten von \(\binom{4}{2}\) auf der \(x\)-Achse ist \(4\) lang. ✓

⚠ Häufiger Fehler — komponentenweise multiplizieren ohne Summe

\(\binom{2}{5} \cdot \binom{4}{-1}\) ist nicht \(\binom{8}{-5}\)! Das Skalarprodukt summiert die Produkte: \(8 + (-5) = 3\). Das Ergebnis ist immer eine Zahl.

✏️ Mini-Check — Regeln und Projektion

Multiple Choice

Was für ein Objekt ist \((\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c}\)?

eine Zahl
ein Vektor
nicht definiert

Lösung anzeigen

B. \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) ist eine Zahl — mal \(\vec{c}\) gibt einen gestreckten Vektor. Darum gibt es kein Assoziativgesetz.

Lückentext

Die Normalprojektion \(\vec{a}_b\) ist stets zu \(\vec{b}\).

Lösung anzeigen

kollinear — sie liegt auf der Trägergeraden von \(\vec{b}\).

Kurze Rechnung

Berechne \(|\vec{a}|\) über das Skalarprodukt für \(\vec{a} = \binom{4}{3}\).

Lösung anzeigen

\(\vec{a} \cdot \vec{a} = 16 + 9 = 25 \Rightarrow |\vec{a}| = 5\).

Transfer

Was passiert mit der Projektion \(\vec{a}_b\), wenn \(\vec{a} \perp \vec{b}\)?

Lösungsweg anzeigen

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Rightarrow \vec{a}_b = \vec{0}\) — ein senkrechter Vektor wirft keinen Schatten auf \(\vec{b}\); sein wirksamer Anteil ist null (vgl. Arbeit bei \(90°\)).

Winkel in Figuren

💡 Strategie — Winkel in einer Figur berechnen

Der Winkel bei einer Ecke \(A\) liegt zwischen den Vektoren von \(A\) weg zu den Nachbarecken: \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\). Beide aufstellen («Spitze minus Fuss»), dann die Winkelformel anwenden. Falsche Pfeilrichtung liefert den Nebenwinkel \(180° - \varphi\)!

🟢 Beispiel 3 — Innenwinkel im Dreieck

Berechne den Innenwinkel \(\alpha\) bei \(A(1 \mid 1)\) im Dreieck mit \(B(5 \mid 2)\) und \(C(2 \mid 4)\).

\[ \vec{AB} = \binom{4}{1}, \quad \vec{AC} = \binom{1}{3} \qquad \cos\alpha = \frac{4 + 3}{\sqrt{17}\sqrt{10}} = \frac{7}{\sqrt{170}} \;\Rightarrow\; \alpha \approx 57.5° \]

🟢 Beispiel 4 — Rechtwinkligkeit nachweisen

Ist das Dreieck \(A(0 \mid 0)\), \(B(4 \mid 2)\), \(C(3 \mid 4)\) rechtwinklig?

Lösung: Die beiden Seitenvektoren von \(B\) weg prüfen: \(\vec{BA} = \binom{-4}{-2}\), \(\vec{BC} = \binom{-1}{2}\):

\[ \vec{BA} \cdot \vec{BC} = 4 - 4 = 0 \;\Rightarrow\; \text{rechter Winkel bei } B \]

Fläche über die Katheten: \(F = \tfrac{1}{2} \cdot |\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}| = \tfrac{1}{2}\sqrt{20}\sqrt{5} = 5\).

⚠ Häufiger Fehler — Pfeilrichtungen beim Winkel

Für den Winkel bei \(B\) braucht es \(\vec{BA}\) und \(\vec{BC}\) — beide von \(B\) weg. Wer versehentlich \(\vec{AB}\) (auf \(B\) zu) verwendet, erhält den Nebenwinkel. Kontrolle: Innenwinkelsumme \(180°\).

✏️ Mini-Check — Winkel in Figuren

Multiple Choice

Welche Vektoren braucht man für den Innenwinkel bei der Ecke \(C\)?

\(\vec{CA}\) und \(\vec{CB}\)
\(\vec{AC}\) und \(\vec{BC}\)
\(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\)

Lösung anzeigen

A. Beide Pfeile müssen von der Ecke weg zeigen.

Lückentext

Verwendet man versehentlich einen umgedrehten Pfeil, erhält man statt \(\varphi\) den \(180° - \varphi\).

Lösung anzeigen

Nebenwinkel.

Kurze Rechnung

Zeige mit dem Skalarprodukt, dass \(\binom{4}{2}\) und \(\binom{-1}{2}\) senkrecht stehen.

Lösung anzeigen

\(4 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 = 0\) ✓

Transfer

Warum ist der Skalarprodukt-Test auf Rechtwinkligkeit bequemer als der Umweg über Seitenlängen und Pythagoras?

Lösungsweg anzeigen

Er braucht keine Wurzeln: zwei Produkte, eine Summe, Vergleich mit null. Pythagoras verlangt drei quadrierte Längen und deren Vergleich — mehr Rechnung, mehr Rundungsfehler, und er sagt nicht direkt, wo der rechte Winkel liegt.

Aufgaben

🟠 A1Spitz, recht oder stumpf?

Wähle ein Vektorpaar — entscheide am Bild und im Kopf über das Vorzeichen des Skalarprodukts.

A1 · Spitz, recht oder stumpf?

👁 Worauf achten?

Worauf achten?

Schätze den Winkel zwischen den beiden Pfeilen: deutlich kleiner als \(90°\), ungefähr \(90°\), oder grösser? Rechne zur Kontrolle \(a_1 b_1 + a_2 b_2\) im Kopf.

💡 Erkenntnis

Erkenntnis

Das Vorzeichen des Skalarprodukts ist das Vorzeichen von \(\cos\varphi\): spitzer Winkel positiv, rechter Winkel null, stumpfer Winkel negativ. Der Betrag der Vektoren ändert daran nichts — nur der Winkel. Deshalb ist der Test «Skalarprodukt gleich null?» der schnellste Nachweis für Rechtwinkligkeit: zwei Produkte, eine Summe, ohne Wurzel und ohne Winkelfunktion.

Welches Vorzeichen hat \(\vec{a} \cdot \vec{b}\)?

🟠 A2Orthogonale Vektoren konstruieren

Zu \(\vec{a} = \binom{a_1}{a_2}\) ist \(\binom{-a_2}{a_1}\) stets orthogonal (Komponenten tauschen, ein Vorzeichen drehen).

Weise das mit dem Skalarprodukt allgemein nach.
Gib zwei zu \(\binom{5}{2}\) orthogonale Vektoren an.
Warum funktioniert der Trick im Raum (3D) nicht mehr eindeutig?

🟢 Lösung

\(\binom{a_1}{a_2} \cdot \binom{-a_2}{a_1} = -a_1 a_2 + a_2 a_1 = 0\) ✓
Z.B. \(\binom{-2}{5}\) und \(\binom{2}{-5}\) — jedes Vielfache davon.
Im Raum gibt es zu einem Vektor eine ganze Ebene orthogonaler Richtungen — nicht nur eine Gerade; der 2D-Trick wählt keine eindeutige Richtung mehr aus.

🟠 A3Rechnen mit dem Skalarprodukt

🟠 a) Skalarprodukt berechnen

Berechne \(\binom{2}{5} \cdot \binom{4}{-1}\).

a · b =

🟢 Lösung

\[ 2 \cdot 4 + 5 \cdot (-1) = 8 - 5 = 3 \]

🟠 b) Zwischenwinkel

Bestimme den Zwischenwinkel von \(\binom{1}{2}\) und \(\binom{3}{1}\) (in Grad).

φ =

🟢 Lösung

\[ \cos\varphi = \frac{5}{\sqrt{5}\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \;\Rightarrow\; \varphi = 45° \]

🟠 c) Orthogonalität erzwingen

Für welches \(k\) steht \(\binom{3}{k}\) senkrecht auf \(\binom{2}{4}\)?

k =

🟢 Lösung

\[ 6 + 4k = 0 \;\Rightarrow\; k = -1.5 \]

🟠 d) Im Raum

Berechne \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und gib den Zwischenwinkel an.

a · b =

φ =

🟢 Lösung

\[ 2 - 4 + 2 = 0 \;\Rightarrow\; \varphi = 90° \text{ — die Raumvektoren stehen senkrecht.} \]

🟠 e) Projektion

Berechne den Betrag der Normalprojektion von \(\vec{a} = \binom{4}{2}\) auf \(\vec{b} = \binom{3}{0}\).

|a_b| =

🟢 Lösung

\[ |\vec{a}_b| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{12}{3} = 4 \]

🟠 A4Physikalische Arbeit

Eine Kiste wird mit \(F = 80\) N über \(s = 12\) m gezogen; das Seil bildet \(35°\) mit der Bewegungsrichtung.

Berechne die geleistete Arbeit \(W = |\vec{F}||\vec{s}|\cos\varphi\).
Wie gross wäre \(W\) bei waagrechtem Seil — und wie viel Prozent gehen durch die Schräglage verloren?

W ≈

🟢 Lösung

\(W = 80 \cdot 12 \cdot \cos 35° \approx 786.4\) J.
Waagrecht: \(W = 960\) J. Verlust: \(1 - \cos 35° \approx 18\) %.

🟠 A5Innenwinkel im Dreieck

Gegeben ist das Dreieck \(A(1 \mid 1)\), \(B(5 \mid 2)\), \(C(2 \mid 4)\).

Stelle \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) auf.
Berechne den Innenwinkel \(\alpha\) bei \(A\) (zwei Dezimalen).

α ≈

🟢 Lösung

\(\vec{AB} = \binom{4}{1}\), \(\vec{AC} = \binom{1}{3}\); \(\cos\alpha = \tfrac{7}{\sqrt{170}} \Rightarrow \alpha \approx 57.53°\).

🟠 A6Rechtwinkligkeit und Fläche

Gegeben ist das Dreieck \(A(0 \mid 0)\), \(B(4 \mid 2)\), \(C(3 \mid 4)\).

Zeige mit dem Skalarprodukt, dass das Dreieck rechtwinklig ist — bei welcher Ecke?
Berechne die Fläche über die Katheten.

Fläche =

🟢 Lösung

\(\vec{BA} = \binom{-4}{-2}\), \(\vec{BC} = \binom{-1}{2}\): \(\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 4 - 4 = 0\) — rechter Winkel bei \(B\).
\(F = \tfrac{1}{2}|\vec{BA}||\vec{BC}| = \tfrac{1}{2}\sqrt{20}\sqrt{5} = \tfrac{1}{2} \cdot 10 = 5\) Flächeneinheiten.

🟠 A7Winkel im Würfel Vertiefung

Ein Würfel mit Kantenlänge \(1\) liegt im Koordinatensystem: Ecke im Ursprung, Kanten entlang der Achsen. Die Raumdiagonale zeigt nach \(D(1 \mid 1 \mid 1)\).

Stelle die Vektoren der Raumdiagonale und einer Kante (z.B. \(x\)-Achse) auf.
Berechne den Winkel zwischen Raumdiagonale und Kante (zwei Dezimalen).
Warum ist der Winkel für alle drei Kanten derselbe?

φ ≈

🟢 Lösung

\(\vec{d} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\), Kante \(\vec{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\).
\(\cos\varphi = \dfrac{1}{\sqrt{3} \cdot 1} \Rightarrow \varphi \approx 54.74°\).
Die Diagonale behandelt alle drei Achsen symmetrisch — jedes Skalarprodukt mit einer Kante ergibt \(1\), jede Kantenlänge ist \(1\).

Zusammenfassung

⭐ Merksatz

Das Skalarprodukt \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\varphi = a_1b_1 + a_2b_2\ (+\ a_3b_3)\) macht aus zwei Vektoren eine Zahl. Sein Vorzeichen klassiert den Zwischenwinkel (positiv: spitz, null: orthogonal, negativ: stumpf), die Winkelformel \(\cos\varphi = \tfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\) liefert ihn exakt, und die Projektion \(\vec{a}_b = \tfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b}\) misst den wirksamen Anteil — physikalisch die Arbeit \(W = \vec{F} \cdot \vec{s}\). Bei Winkeln in Figuren: beide Pfeile von der Ecke weg.

Aufgabe	Formel
Skalarprodukt (Komponenten)	\(a_1b_1 + a_2b_2\ (+\ a_3b_3)\)
Zwischenwinkel	\(\cos\varphi = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|}\)
Orthogonalität	\(\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)
Projektion auf \(\vec{b}\)	\(\vec{a}_b = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{b}\|^2}\,\vec{b}\), \(\quad \|\vec{a}_b\| = \dfrac{\|\vec{a} \cdot \vec{b}\|}{\|\vec{b}\|}\)
Betrag	\(\|\vec{a}\| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}\)
Arbeit (Physik)	\(W = \vec{F} \cdot \vec{s}\)