Geometrisch: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\varphi \) (Zwischenwinkel \(\varphi\)) — komponentenweise: \( a_1b_1 + a_2b_2\ (+\,a_3b_3) \). Das Ergebnis ist eine Zahl: «Vektor · Vektor = Skalar». Spezialfall \( \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \).
| Winkelformel | \( \cos\varphi = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|} \) |
| Vorzeichen | \( > 0 \): spitz · \( = 0 \): orthogonal · \( < 0 \): stumpf |
| Grenzfälle | \( \varphi = 0°/180° \): kollinear, \( \pm|\vec{a}||\vec{b}| \) |
Kommutativ (\( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \)), distributiv, Skalare herausziehbar. Kein Assoziativgesetz — \( (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} \) ist ein Vektor; Division durch Vektoren ist sinnlos.
\( \vec{a}_b = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\,\vec{b} \), Betrag \( |\vec{a}_b| = \dfrac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|} \) — der wirksame Anteil von \( \vec{a} \) in Richtung \( \vec{b} \). Physik: Arbeit \( W = \vec{F} \cdot \vec{s} \).
Innenwinkel bei Ecke \(A\): Vektoren von \(A\) weg (\( \vec{AB} \), \( \vec{AC} \)) in die Winkelformel. Falsche Pfeilrichtung liefert den Nebenwinkel \( 180° - \varphi \). Rechtwinkligkeit: Skalarprodukt der anliegenden Seitenvektoren gleich null.
Produkte der Komponenten summieren — die Zahl verrät den Winkel: positiv/null/negativ = spitz/senkrecht/stumpf. Projektion = wirksamer Anteil. Bei Figuren: Pfeile von der Ecke weg.