12 Aufgaben mit ansteigendem Schwierigkeitsgrad. Bearbeite alle Aufgaben in einem Zug, ohne in die Lösungen zu schauen — diese stehen am Ende. Hilfsmittel: nur Formelsammlung Promath. Zeitvorgabe: ca. 45 Minuten.
Vervollständige die Aussage und schreibe in die Lücken:
(a) \( \binom{2}{5} \cdot \binom{4}{-1} \) (b) \( \binom{3}{0} \cdot \binom{0}{7} \) (c) \( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \)
Was sagt das Vorzeichen von \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) über den Zwischenwinkel? Gib alle drei Fälle an.
Berechne den Zwischenwinkel von \( \binom{4}{3} \) und \( \binom{5}{0} \).
Zeige, dass \( \binom{1}{2} \) und \( \binom{3}{1} \) den Winkel \( 45° \) einschliessen.
Für welches \(k\) steht \( \binom{3}{k} \) senkrecht auf \( \binom{2}{4} \)?
Projiziere \( \binom{4}{2} \) auf \( \binom{3}{0} \): Projektionsvektor und Betrag.
\( F = 50 \) N, \( s = 8 \) m, Winkel \( 60° \). Berechne die Arbeit.
Was ist die Projektion von \( \vec{a} \) auf \( \vec{b} \), wenn \( \vec{a} \perp \vec{b} \)?
Berechne den Innenwinkel bei \( A(1 \mid 1) \) im Dreieck mit \( B(5 \mid 2) \), \( C(2 \mid 4) \).
Zeige: Das Dreieck \( A(0 \mid 0) \), \( B(4 \mid 2) \), \( C(3 \mid 4) \) ist rechtwinklig. Wo liegt der rechte Winkel?
Berechne den Winkel zwischen der Raumdiagonale \( (1 \mid 1 \mid 1) \) eines Einheitswürfels und einer Kante.
Zahl (Skalar) · senkrecht (orthogonal) · summieren.
(a) \( 8 - 5 = 3 \) · (b) \( 0 \) (Achsen stehen senkrecht) · (c) \( 2 - 4 + 2 = 0 \).
\( > 0 \): spitzer Winkel · \( = 0 \): rechter Winkel · \( < 0 \): stumpfer Winkel.
\( \cos\varphi = \tfrac{20}{5 \cdot 5} = 0.8 \Rightarrow \varphi \approx 36.9° \).
\( \cos\varphi = \tfrac{5}{\sqrt{5}\sqrt{10}} = \tfrac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow 45° \).
\( 6 + 4k = 0 \Rightarrow k = -1.5 \).
\( \vec{a}_b = \tfrac{12}{9}\binom{3}{0} = \binom{4}{0} \), Betrag \( 4 \).
\( W = 50 \cdot 8 \cdot 0.5 = 200 \) J.
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Rightarrow \vec{a}_b = \vec{0} \) — kein «Schatten».
\( \vec{AB} = \binom{4}{1} \), \( \vec{AC} = \binom{1}{3} \): \( \cos\alpha = \tfrac{7}{\sqrt{170}} \Rightarrow \alpha \approx 57.5° \).
\( \vec{BA} \cdot \vec{BC} = \binom{-4}{-2} \cdot \binom{-1}{2} = 4 - 4 = 0 \) — rechter Winkel bei \( B \).
\( \cos\varphi = \tfrac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \varphi \approx 54.7° \) — für alle drei Kanten gleich (Symmetrie).