Anwendungsaufgaben — Geraden

Eine Drohne fliegt auf \( \vec{r}(t) = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 10 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \) (m, min).

(a) Bestimme Position nach 4 Minuten und das Tempo.

(b) Passiert die Drohne den Punkt \( (10 \mid 7 \mid 10) \)? Wann?

(c) Warum bleibt die Flughöhe konstant?

Auf einer geraden Strasse: Velo A bei Position \( x_A(t) = 10t \), Velo B bei \( x_B(t) = 50 + 5t \) (Einheiten und Stunden).

(a) Wann holt A das Velo B ein, und wo?

(b) Wie gross ist der Vorsprung von B nach einer halben Stunde?

Eine geplante Leitung folgt \( g:\ \vec{r} = \binom{0}{1} + t\binom{2}{1} \) (Koordinaten in hm). Ein Brunnen steht bei \( P(4 \mid 0) \).

(a) Berechne den Lotfusspunkt der kürzesten Verbindung.

(b) Wie weit liegt der Brunnen von der Trasse entfernt?

\( g:\ \vec{r} = \binom{1}{2} + t\binom{3}{1} \) und \( h:\ \vec{r} = \binom{0}{5} + s\binom{1}{-1} \) beschreiben zwei Strassenachsen.

(a) Berechne den Kreuzungspunkt.

(b) Unter welchem Winkel kreuzen sich die Strassen?

Zwei Boote (Meter, Sekunden, gleiches \(t\)): \( \vec{r}_1(t) = t\binom{2}{1} \) und \( \vec{r}_2(t) = \binom{6}{-2} + t\binom{-1}{2} \).

(a) Schneiden sich die Bahnen? Wo?

(b) Kollidieren die Boote?

Stollen 1 folgt der \(x\)-Achse; Stollen 2 folgt \( \vec{r} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) (Koordinaten in hm).

(a) Zeige, dass sich die Stollen nicht kreuzen.

(b) In welcher Tiefe unter Stollen 2 verläuft Stollen 1 (z-Differenz)?