4.3c Geraden
Eine Gerade wird vektoriell zum Fahrplan: Startpunkt plus \(t\)-mal Richtungsvektor — die Parametergleichung. Damit funktionieren Geraden in Ebene und Raum gleich: Punktproben, Schnittpunkte, Schnittwinkel und Abstände werden zu Vektorrechnungen. Neu im Raum: Geraden können aneinander vorbeilaufen, ohne sich zu schneiden — windschief.
- Vektoren definieren, skalieren, addieren, subtrahieren und normieren auch ohne Hilfsmittel
- zweidimensionale Vektoren in kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten darstellen, entsprechende Umrechnung durchführen
- einen Vektor grafisch in vorgeschriebene Richtungen zerlegen und Linearkombinationen berechnen (als Übergang zur koordinatenbezogenen Vektorgeometrie) auch ohne Hilfsmittel
- die Begriffe der koordinatenbezogenen Vektorrechnung (Richtung, Norm (Länge, Betrag), inverser Vektor (Gegenvektor), Ortsvektor, Einheitsvektor) erklären, anwenden und visualisieren auch ohne Hilfsmittel
- die Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarprodukt) koordinatenbezogen ausführen und grafisch visualisieren — in numerisch einfachen Fällen ohne, in schwierigen mit Hilfsmitteln
- die Parametergleichung einer Geraden aufstellen und die gegenseitige Lage von zwei Geraden bestimmen — in numerisch einfachen Fällen ohne, in schwierigen mit Hilfsmitteln
- Längen-, Winkel- und Abstandsprobleme lösen — numerisch einfache Fälle und geometrisch einfache Lagen auch ohne Hilfsmittel, numerisch schwierige Fälle und geometrisch komplizierte Lagen mit Hilfsmitteln
Diese Seite behandelt die Kompetenzen 6 und 7: Parametergleichung, gegenseitige Lage, Schnittwinkel und Abstände. Grundlagen in Teil 1 (s4-3a) und Teil 2 (s4-3b); als Ergänzung folgt Teil 4: Ebenen (s4-3d).
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann die Parametergleichung \(\vec{r} = \vec{r}_A + t \cdot \vec{u}\) aus einem Punkt und einer Richtung oder aus zwei Punkten aufstellen.
- Ich kann mit der Punktprobe prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt.
- Ich kann die gegenseitige Lage zweier Geraden bestimmen: identisch, parallel, schneidend — im Raum auch windschief.
- Ich kann Schnittpunkte über ein Gleichungssystem und Schnittwinkel über die Richtungsvektoren berechnen.
- Ich kann den Abstand eines Punktes von einer Geraden über den Lotfusspunkt bestimmen.
- Ich kann geradlinige Bewegungen (Drohnen, Fahrzeuge) mit Parametergleichungen modellieren — der Parameter als Zeit.
Einstieg — die Gerade als Fahrplan
Eine Drohne startet am Punkt \(A(1 \mid 2)\) und fliegt mit konstanter Geschwindigkeit in Richtung \(\vec{u} = \binom{3}{1}\) (Einheiten pro Minute). Wo ist sie nach \(t\) Minuten?
\[ \vec{r}(t) = \binom{1}{2} + t \cdot \binom{3}{1} \]Der Parameter \(t\) ist der «Fahrplan»: Jede Zeit liefert einen Ort — und alle Orte zusammen bilden eine Gerade.
Zwei Zutaten erzeugen die ganze Gerade:
- Ein Stützpunkt \(A\) («wo starte ich?») und ein Richtungsvektor \(\vec{u}\) («wohin pro Schritt?»).
- Der Parameter \(t\) durchläuft \(\mathbb{R}\) — bei Bewegungen ist er oft die Zeit.
✏️ Mini-Check — Einstieg
Welche Rolle spielt \(t\) in \(\vec{r} = \vec{r}_A + t\,\vec{u}\)?
- die Steigung der Geraden
- der Laufparameter — jedes \(t\) liefert einen Geradenpunkt
- der Abstand zum Ursprung
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Die Parametergleichung braucht einen Stützpunkt und einen vektor.
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Wo ist die Drohne bei \(t = 2\)?
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Liegt \(Q(4 \mid 4)\) auf der Flugbahn? Prüfe mit der Punktprobe.
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Definition — Parametergleichung und Punktprobe
Die Gerade \(g\) durch den Punkt \(A\) mit Richtungsvektor \(\vec{u} \neq \vec{0}\):
\[ g:\ \vec{r} = \vec{r}_A + t \cdot \vec{u}, \qquad t \in \mathbb{R} \]Sie gilt wortgleich in Ebene und Raum. Aus zwei Punkten \(A\), \(B\): Richtungsvektor \(\vec{u} = \vec{AB}\) wählen. Stützpunkt und Richtungsvektor sind nicht eindeutig — jeder Geradenpunkt und jedes Vielfache der Richtung beschreiben dieselbe Gerade.
Liegt \(P\) auf \(g\)? Ansatz \(\vec{r}_P = \vec{r}_A + t\,\vec{u}\) — komponentenweise nach \(t\) auflösen:
- Alle Komponenten liefern dasselbe \(t\) → \(P\) liegt auf \(g\).
- Verschiedene \(t\)-Werte → Widerspruch, \(P\) liegt nicht auf \(g\).
Stelle die Parametergleichung der Geraden durch \(A(1 \mid 2)\) und \(B(4 \mid 3)\) auf.
\[ \vec{u} = \vec{AB} = \binom{3}{1} \;\Rightarrow\; g:\ \vec{r} = \binom{1}{2} + t\binom{3}{1} \]Ebenso richtig: Stützpunkt \(B\), oder Richtung \(\binom{6}{2}\) — die Gerade bleibt dieselbe.
In der Ebene lässt sich \(t\) eliminieren: Aus \(x = 1 + 3t\) folgt \(t = \tfrac{x-1}{3}\), einsetzen in \(y = 2 + t\) gibt \(y = \tfrac{1}{3}x + \tfrac{5}{3}\) — die vertraute Form \(y = mx + b\) mit \(m = \tfrac{u_2}{u_1}\). Im Raum gibt es keine solche Funktionsgleichung — dort ist die Parameterform das einzige Werkzeug.
✏️ Mini-Check — Parametergleichung
Beschreiben \(\vec{r} = \binom{1}{2} + t\binom{3}{1}\) und \(\vec{r} = \binom{4}{3} + s\binom{6}{2}\) dieselbe Gerade?
- Ja
- Nein — andere Stützpunkte
- Nein — andere Richtungsvektoren
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Bei der Punktprobe muss Komponente denselben Parameterwert \(t\) liefern.
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Stelle die Gerade durch \(A(0 \mid 1 \mid 2)\) mit Richtung \(\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) auf und gib den Punkt bei \(t = 3\) an.
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Warum gibt es im Raum keine Funktionsgleichung \(y = mx + b\) für Geraden?
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Gegenseitige Lage zweier Geraden
Zuerst die Richtungsvektoren vergleichen, dann einen Punkt prüfen bzw. gleichsetzen:
| Richtungen kollinear? | Zusatztest | Lage |
|---|---|---|
| ja | Stützpunkt von \(h\) liegt auf \(g\) | identisch |
| ja | Stützpunkt von \(h\) liegt nicht auf \(g\) | echt parallel |
| nein | Gleichsetzen hat eine Lösung | schneidend |
| nein | Gleichsetzen hat keine Lösung (nur Raum!) | windschief |
In der Ebene schneiden sich nicht parallele Geraden immer; windschief gibt es nur im Raum. Beim Gleichsetzen unbedingt verschiedene Parameternamen (\(t\) und \(s\)) verwenden!
\(g:\ \vec{r} = \binom{1}{2} + t\binom{3}{1}\) und \(h:\ \vec{r} = \binom{0}{5} + s\binom{1}{-1}\).
Lösung: Richtungen nicht kollinear (\(\tfrac{3}{1} \neq \tfrac{1}{-1}\)) — gleichsetzen, komponentenweise:
\[ 1 + 3t = s, \qquad 2 + t = 5 - s \]Einsetzen: \(2 + t = 5 - (1 + 3t) \Rightarrow 4t = 2 \Rightarrow t = 0.5\), \(s = 2.5\). Schnittpunkt: \(\vec{r}(0.5) = \binom{2.5}{2.5}\) — Kontrolle in \(h\): \(\binom{0}{5} + 2.5\binom{1}{-1} = \binom{2.5}{2.5}\) ✓
\(g:\ \vec{r} = t\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) (die \(x\)-Achse) und \(h:\ \vec{r} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\).
Lösung: Richtungen \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) sind nicht kollinear. Gleichsetzen: \(x\): \(t = 0\); \(y\): \(0 = 1 + s \Rightarrow s = -1\); \(z\): \(0 = 3\) — Widerspruch. Kein Schnittpunkt, nicht parallel: windschief — die Geraden laufen in verschiedenen «Stockwerken» aneinander vorbei.
Wer beim Gleichsetzen zweimal \(t\) schreibt, koppelt die beiden «Fahrpläne» fälschlich aneinander. Die Geraden dürfen den Schnittpunkt zu verschiedenen Parameterwerten erreichen — darum \(t\) für \(g\) und \(s\) für \(h\).
✏️ Mini-Check — Lagebeziehungen
Welche Lage können zwei Geraden nur im Raum haben?
- parallel
- windschief
- identisch
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Sind die Richtungsvektoren kollinear und liegt der Stützpunkt der einen auf der anderen, sind die Geraden .
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Sind \(g\) mit \(\vec{u} = \binom{3}{1}\) und \(h\) mit \(\vec{v} = \binom{6}{2}\) parallel?
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Beim Gleichsetzen zweier Raumgeraden liefern die ersten beiden Komponenten \(t = 1\), \(s = 2\). Was ist noch zu tun?
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Schnittwinkel
Der Schnittwinkel ist der spitze Winkel zwischen den Richtungsvektoren — der Betrag im Zähler erzwingt ihn:
\[ \cos\varphi = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}, \qquad 0° \leq \varphi \leq 90° \]Senkrechte Geraden: \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) — der Orthogonalitätstest aus ↩ 4.3b.
Unter welchem Winkel schneiden sich \(g\) und \(h\) aus Beispiel 2 (\(\vec{u} = \binom{3}{1}\), \(\vec{v} = \binom{1}{-1}\))?
\[ \cos\varphi = \frac{|3 - 1|}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{20}} \;\Rightarrow\; \varphi \approx 63.4° \]✏️ Mini-Check — Schnittwinkel
Warum steht im Zähler der Schnittwinkelformel ein Betrag?
- damit der Winkel spitz (höchstens 90°) wird
- weil Beträge immer nötig sind
- damit das Ergebnis ein Vektor bleibt
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Zwei Geraden stehen senkrecht, wenn das Skalarprodukt ihrer null ist.
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Stehen die Geraden mit \(\vec{u} = \binom{2}{1}\) und \(\vec{v} = \binom{-1}{2}\) senkrecht?
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Zwei windschiefe Geraden schneiden sich nicht — kann man trotzdem einen Winkel angeben?
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Abstand Punkt–Gerade: das Lot
Der Abstand von \(P\) zur Geraden \(g\) ist die Länge des Lots — der kürzesten Verbindung. Rezept:
- Allgemeinen Geradenpunkt aufstellen: \(F = A + t\,\vec{u}\) (der «laufende Punkt»).
- Lotbedingung: \(\vec{PF} \perp \vec{u}\), also \(\vec{PF} \cdot \vec{u} = 0\) — eine Gleichung für \(t\).
- \(t\) einsetzen: Lotfusspunkt \(F\); Abstand \(d = |\vec{PF}|\).
Wie weit liegt \(P(4 \mid 0)\) von \(g:\ \vec{r} = \binom{0}{1} + t\binom{2}{1}\) entfernt?
Lösung: \(F = (2t \mid 1 + t)\), also \(\vec{PF} = \binom{2t - 4}{1 + t}\). Lotbedingung:
\[ \binom{2t-4}{1+t} \cdot \binom{2}{1} = 4t - 8 + 1 + t = 5t - 7 = 0 \;\Rightarrow\; t = 1.4 \]Lotfusspunkt \(F(2.8 \mid 2.4)\); Abstand \(d = \left|\binom{-1.2}{2.4}\right| = \sqrt{7.2} \approx 2.68\).
Bewegt sich ein Objekt geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit, ist seine Bahn
\[ \vec{r}(t) = \vec{r}_0 + t \cdot \vec{v} \]mit Startort \(\vec{r}_0\) und Geschwindigkeitsvektor \(\vec{v}\). Der Betrag \(|\vec{v}|\) ist das Tempo; \(t\) ist echte Zeit. Treffen sich zwei Objekte, müssen Ort und Zeitpunkt übereinstimmen — gleiches \(t\) in beiden Gleichungen (anders als beim blossen Schnitt der Bahnen!).
Kreuzen sich zwei Flugbahnen, heisst das noch nicht, dass die Objekte kollidieren — sie können den Kreuzungspunkt zu verschiedenen Zeiten passieren. Kollision verlangt gleichen Ort bei gleichem \(t\); Bahnschnitt erlaubt \(t \neq s\).
✏️ Mini-Check — Abstand und Bewegung
Welche Bedingung bestimmt den Lotfusspunkt \(F\)?
- \(|\vec{PF}| = 1\)
- \(\vec{PF} \cdot \vec{u} = 0\)
- \(\vec{PF} = \vec{u}\)
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Bei Bewegungsaufgaben ist der Betrag des Richtungsvektors das des Objekts.
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Eine Drohne fliegt \(\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 10 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\) (m, min). Wie schnell ist sie?
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Warum ist der Lotfusspunkt der nächste Geradenpunkt zu \(P\)?
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Aufgaben
Wähle ein Geradenpaar (in der Ebene) — welche gegenseitige Lage liegt vor?
Welche Lage haben die beiden Geraden?
Stelle je eine Parametergleichung auf — und begründe, warum deine Antwort nicht die einzig richtige ist:
- Gerade durch \(A(2 \mid -1)\) mit Richtung \(\binom{1}{4}\)
- Gerade durch \(P(3 \mid 0 \mid 1)\) und \(Q(5 \mid 2 \mid 1)\)
- die \(y\)-Achse der Ebene
- \(\vec{r} = \binom{2}{-1} + t\binom{1}{4}\).
- \(\vec{u} = \vec{PQ} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\): \(\vec{r} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) (oder mit \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)).
- \(\vec{r} = t\binom{0}{1}\).
Jeder Geradenpunkt taugt als Stützpunkt, jedes Vielfache \(\neq \vec{0}\) als Richtung — unendlich viele richtige Gleichungen für dieselbe Gerade.
\(g:\ \vec{r} = \binom{1}{2} + t\binom{3}{1}\). Berechne den Geradenpunkt bei \(t = 2\).
Liegt \(P(7 \mid 4)\) auf \(g\)? Und \(Q(4 \mid 4)\)? Gib für \(P\) den Parameterwert an (für \(Q\): \(-99\) falls nicht auf \(g\)).
\(P\): beide Komponenten geben \(t = 2\) ✓. \(Q\): erste Komponente \(t = 1\), zweite \(t = 2\) — Widerspruch, \(Q \notin g\).
Berechne den Schnittpunkt von \(g:\ \vec{r} = \binom{1}{2} + t\binom{3}{1}\) und \(h:\ \vec{r} = \binom{0}{5} + s\binom{1}{-1}\).
Gleichsetzen: \(1 + 3t = s\) und \(2 + t = 5 - s\); einsetzen gibt \(4t = 2 \Rightarrow t = 0.5\): Schnittpunkt \((2.5 \mid 2.5)\).
Unter welchem Winkel schneiden sich \(g\) und \(h\) aus Teilaufgabe c (zwei Dezimalen)?
Berechne den Abstand von \(P(4 \mid 0)\) zu \(g:\ \vec{r} = \binom{0}{1} + t\binom{2}{1}\) (zwei Dezimalen).
Lotbedingung \(5t - 7 = 0 \Rightarrow t = 1.4\); \(F(2.8 \mid 2.4)\); \(d = \sqrt{1.2^2 + 2.4^2} = \sqrt{7.2} \approx 2.68\).
Eine Drohne fliegt auf der Bahn \(\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 10 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\) (Koordinaten in m, \(t\) in Minuten).
- In welcher Höhe fliegt sie — und ändert sich diese?
- Wo ist sie nach \(4\) Minuten?
- Wie schnell fliegt sie (m/min)?
- Höhe konstant \(10\) m — die \(z\)-Komponente der Richtung ist null.
- \(\vec{r}(4) = (18 \mid 13 \mid 10)\).
- \(|\vec{v}| = \sqrt{16 + 9 + 0} = 5\) m/min.
Zwei Velos fahren auf derselben geraden Strasse. Velo 1 startet bei km \(0\) mit \(10\) km/h; Velo 2 hat \(50\) km Vorsprung (Start bei km \(50\)), fährt aber nur \(5\) km/h. Ihre Positionen in km (mit \(t\) in Stunden): \(x_1(t) = 10t\) und \(x_2(t) = 50 + 5t\).
- Wann holt Velo 1 das Velo 2 ein? (Gleicher Ort bei gleichem \(t\)!)
- An welcher Position passiert das?
- Einholen heisst gleicher Ort zur gleichen Zeit: \(10t = 50 + 5t \Rightarrow 5t = 50 \Rightarrow t = 10\).
- Position \(x = 10 \cdot 10 = 100\) km. Kontrolle: \(50 + 5 \cdot 10 = 100\) ✓
Gegeben sind \(g:\ \vec{r} = t\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(h:\ \vec{r} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\).
- Zeige, dass die Richtungen nicht kollinear sind.
- Prüfe durch Gleichsetzen, ob es einen Schnittpunkt gibt — welche Komponente liefert den Widerspruch? (1, 2 oder 3)
- \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) sind keine Vielfachen voneinander.
- \(x\): \(t = 0\); \(y\): \(0 = 1 + s \Rightarrow s = -1\); \(z\): \(0 = 3\) — Widerspruch in der dritten Komponente: windschief.
Zwei Modellboote fahren auf einem See: Boot 1 auf \(\vec{r}_1(t) = \binom{0}{0} + t\binom{2}{1}\), Boot 2 auf \(\vec{r}_2(t) = \binom{6}{-2} + t\binom{-1}{2}\) (Meter, Sekunden — gleiches \(t\)!).
- Schneiden sich die Bahnen? (Gleichsetzen mit verschiedenen Parametern \(t\), \(s\).)
- Kollidieren die Boote? (Gleicher Ort bei gleichem \(t\).)
- Formuliere den Unterschied der beiden Fragen in einem Satz.
- \(2t = 6 - s\) und \(t = -2 + 2s\): Einsetzen gibt \(2(-2 + 2s) = 6 - s \Rightarrow 5s = 10 \Rightarrow s = 2\), \(t = 2\) — die Bahnen schneiden sich in \((4 \mid 2)\).
- Hier ist sogar \(t = s = 2\): Beide Boote sind zur selben Zeit am selben Ort — Kollision bei \((4 \mid 2)\) nach \(2\) s! Kontrolle: \(\vec{r}_1(2) = (4 \mid 2)\), \(\vec{r}_2(2) = (6-2 \mid -2+4) = (4 \mid 2)\) ✓
- Bahnschnitt fragt nur nach dem Ort (Parameter dürfen verschieden sein) — Kollision verlangt Ort und Zeitpunkt gleich.
Zusammenfassung
Die Parametergleichung \(\vec{r} = \vec{r}_A + t\,\vec{u}\) beschreibt Geraden in Ebene und Raum gleichermassen — Stützpunkt und Richtung sind frei wählbar. Punktprobe: alle Komponenten müssen dasselbe \(t\) liefern. Lage zweier Geraden: erst Richtungen vergleichen (kollinear → identisch/parallel), dann gleichsetzen mit verschiedenen Parametern (Lösung → Schnittpunkt; Widerspruch im Raum → windschief). Schnittwinkel über die Richtungsvektoren (Betrag im Zähler → spitzer Winkel), Abstand über das Lot (\(\vec{PF} \cdot \vec{u} = 0\)). Bei Bewegungen ist \(t\) die Zeit — Kollision braucht gleichen Ort und gleiches \(t\).
| Aufgabe | Werkzeug |
|---|---|
| Gerade aufstellen | \(\vec{r} = \vec{r}_A + t\,\vec{u}\); aus zwei Punkten: \(\vec{u} = \vec{AB}\) |
| Punktprobe | komponentenweise nach \(t\) auflösen — überall gleich? |
| Lage zweier Geraden | Richtungen kollinear? → Punktprobe · sonst gleichsetzen (\(t\), \(s\)) |
| Schnittwinkel | \(\cos\varphi = \dfrac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}\) |
| Abstand Punkt–Gerade | Lot: \(\vec{PF} \cdot \vec{u} = 0\) → \(t\) → \(d = |\vec{PF}|\) |
| Bewegung | \(\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + t\,\vec{v}\); Tempo \(= |\vec{v}|\) |
Zusatzmaterial
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