4.3c Geraden
Eine Gerade wird vektoriell zum Fahrplan: Startpunkt plus \(t\)-mal Richtungsvektor — die Parametergleichung. Damit funktionieren Geraden in Ebene und Raum gleich: Punktproben, Schnittpunkte, Schnittwinkel und Abstände werden zu Vektorrechnungen. Neu im Raum: Geraden können aneinander vorbeilaufen, ohne sich zu schneiden — windschief.
- Vektoren definieren, skalieren, addieren, subtrahieren und normieren auch ohne Hilfsmittel
- zweidimensionale Vektoren in kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten darstellen, entsprechende Umrechnung durchführen
- einen Vektor grafisch in vorgeschriebene Richtungen zerlegen und Linearkombinationen berechnen (als Übergang zur koordinatenbezogenen Vektorgeometrie) auch ohne Hilfsmittel
- die Begriffe der koordinatenbezogenen Vektorrechnung (Richtung, Norm (Länge, Betrag), inverser Vektor (Gegenvektor), Ortsvektor, Einheitsvektor) erklären, anwenden und visualisieren auch ohne Hilfsmittel
- die Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarprodukt) koordinatenbezogen ausführen und grafisch visualisieren — in numerisch einfachen Fällen ohne, in schwierigen mit Hilfsmitteln
- die Parametergleichung einer Geraden aufstellen und die gegenseitige Lage von zwei Geraden bestimmen — in numerisch einfachen Fällen ohne, in schwierigen mit Hilfsmitteln
- Längen-, Winkel- und Abstandsprobleme lösen — numerisch einfache Fälle und geometrisch einfache Lagen auch ohne Hilfsmittel, numerisch schwierige Fälle und geometrisch komplizierte Lagen mit Hilfsmitteln
Diese Seite behandelt die Kompetenzen 6 und 7: Parametergleichung, gegenseitige Lage, Schnittwinkel und Abstände. Grundlagen in Teil 1 (s4-3a) und Teil 2 (s4-3b); als Ergänzung folgt Teil 4: Ebenen (s4-3d).
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann die Parametergleichung \(\vec{r} = \vec{r}_A + t \cdot \vec{u}\) aus einem Punkt und einer Richtung oder aus zwei Punkten aufstellen.
- Ich kann mit der Punktprobe prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt.
- Ich kann die gegenseitige Lage zweier Geraden bestimmen: identisch, parallel, schneidend — im Raum auch windschief.
- Ich kann Schnittpunkte über ein Gleichungssystem und Schnittwinkel über die Richtungsvektoren berechnen.
- Ich kann den Abstand eines Punktes von einer Geraden über den Lotfusspunkt bestimmen.
- Ich kann geradlinige Bewegungen (Drohnen, Fahrzeuge) mit Parametergleichungen modellieren — der Parameter als Zeit.
Einstieg — die Gerade als Fahrplan
Eine Drohne startet am Punkt \(A(1 \mid 2)\) und fliegt mit konstanter Geschwindigkeit in Richtung \(\vec{u} = \binom{3}{1}\) (Einheiten pro Minute). Wo ist sie nach \(t\) Minuten?
\[ \vec{r}(t) = \binom{1}{2} + t \cdot \binom{3}{1} \]Der Parameter \(t\) ist der «Fahrplan»: Jede Zeit liefert einen Ort — und alle Orte zusammen bilden eine Gerade.
Zwei Zutaten erzeugen die ganze Gerade:
- Ein Stützpunkt \(A\) («wo starte ich?») und ein Richtungsvektor \(\vec{u}\) («wohin pro Schritt?»).
- Der Parameter \(t\) durchläuft \(\mathbb{R}\) — bei Bewegungen ist er oft die Zeit.
✏️ Mini-Check — Einstieg
Welche Rolle spielt \(t\) in \(\vec{r} = \vec{r}_A + t\,\vec{u}\)?
- die Steigung der Geraden
- der Laufparameter — jedes \(t\) liefert einen Geradenpunkt
- der Abstand zum Ursprung
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Die Parametergleichung braucht einen Stützpunkt und einen vektor.
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Wo ist die Drohne bei \(t = 2\)?
Lösung anzeigen
Liegt \(Q(4 \mid 4)\) auf der Flugbahn? Prüfe mit der Punktprobe.
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Definition — Parametergleichung und Punktprobe
Die Gerade \(g\) durch den Punkt \(A\) mit Richtungsvektor \(\vec{u} \neq \vec{0}\):
\[ g:\ \vec{r} = \vec{r}_A + t \cdot \vec{u}, \qquad t \in \mathbb{R} \]Sie gilt wortgleich in Ebene und Raum. Aus zwei Punkten \(A\), \(B\): Richtungsvektor \(\vec{u} = \vec{AB}\) wählen. Stützpunkt und Richtungsvektor sind nicht eindeutig — jeder Geradenpunkt und jedes Vielfache der Richtung beschreiben dieselbe Gerade.
Liegt \(P\) auf \(g\)? Ansatz \(\vec{r}_P = \vec{r}_A + t\,\vec{u}\) — komponentenweise nach \(t\) auflösen:
- Alle Komponenten liefern dasselbe \(t\) → \(P\) liegt auf \(g\).
- Verschiedene \(t\)-Werte → Widerspruch, \(P\) liegt nicht auf \(g\).
Stelle die Parametergleichung der Geraden durch \(A(1 \mid 2)\) und \(B(4 \mid 3)\) auf.
\[ \vec{u} = \vec{AB} = \binom{3}{1} \;\Rightarrow\; g:\ \vec{r} = \binom{1}{2} + t\binom{3}{1} \]Ebenso richtig: Stützpunkt \(B\), oder Richtung \(\binom{6}{2}\) — die Gerade bleibt dieselbe.
In der Ebene lässt sich \(t\) eliminieren: Aus \(x = 1 + 3t\) folgt \(t = \tfrac{x-1}{3}\), einsetzen in \(y = 2 + t\) gibt \(y = \tfrac{1}{3}x + \tfrac{5}{3}\) — die vertraute Form \(y = mx + b\) mit \(m = \tfrac{u_2}{u_1}\). Im Raum gibt es keine solche Funktionsgleichung — dort ist die Parameterform das einzige Werkzeug.
✏️ Mini-Check — Parametergleichung
Beschreiben \(\vec{r} = \binom{1}{2} + t\binom{3}{1}\) und \(\vec{r} = \binom{4}{3} + s\binom{6}{2}\) dieselbe Gerade?
- Ja
- Nein — andere Stützpunkte
- Nein — andere Richtungsvektoren
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Bei der Punktprobe muss Komponente denselben Parameterwert \(t\) liefern.
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Stelle die Gerade durch \(A(0 \mid 1 \mid 2)\) mit Richtung \(\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) auf und gib den Punkt bei \(t = 3\) an.
Lösung anzeigen
Warum gibt es im Raum keine Funktionsgleichung \(y = mx + b\) für Geraden?
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Gegenseitige Lage zweier Geraden
Zuerst die Richtungsvektoren vergleichen, dann einen Punkt prüfen bzw. gleichsetzen:
| Richtungen kollinear? | Zusatztest | Lage |
|---|---|---|
| ja | Stützpunkt von \(h\) liegt auf \(g\) | identisch |
| ja | Stützpunkt von \(h\) liegt nicht auf \(g\) | echt parallel |
| nein | Gleichsetzen hat eine Lösung | schneidend |
| nein | Gleichsetzen hat keine Lösung (nur Raum!) | windschief |
In der Ebene schneiden sich nicht parallele Geraden immer; windschief gibt es nur im Raum. Beim Gleichsetzen unbedingt verschiedene Parameternamen (\(t\) und \(s\)) verwenden!
\(g:\ \vec{r} = \binom{1}{2} + t\binom{3}{1}\) und \(h:\ \vec{r} = \binom{0}{5} + s\binom{1}{-1}\).
Lösung: Richtungen nicht kollinear (\(\tfrac{3}{1} \neq \tfrac{1}{-1}\)) — gleichsetzen, komponentenweise:
\[ 1 + 3t = s, \qquad 2 + t = 5 - s \]Einsetzen: \(2 + t = 5 - (1 + 3t) \Rightarrow 4t = 2 \Rightarrow t = 0.5\), \(s = 2.5\). Schnittpunkt: \(\vec{r}(0.5) = \binom{2.5}{2.5}\) — Kontrolle in \(h\): \(\binom{0}{5} + 2.5\binom{1}{-1} = \binom{2.5}{2.5}\) ✓
\(g:\ \vec{r} = t\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) (die \(x\)-Achse) und \(h:\ \vec{r} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\).
Lösung: Richtungen \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) sind nicht kollinear. Gleichsetzen: \(x\): \(t = 0\); \(y\): \(0 = 1 + s \Rightarrow s = -1\); \(z\): \(0 = 3\) — Widerspruch. Kein Schnittpunkt, nicht parallel: windschief — die Geraden laufen in verschiedenen «Stockwerken» aneinander vorbei.
Wer beim Gleichsetzen zweimal \(t\) schreibt, koppelt die beiden «Fahrpläne» fälschlich aneinander. Die Geraden dürfen den Schnittpunkt zu verschiedenen Parameterwerten erreichen — darum \(t\) für \(g\) und \(s\) für \(h\).
✏️ Mini-Check — Lagebeziehungen
Welche Lage können zwei Geraden nur im Raum haben?
- parallel
- windschief
- identisch
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Sind die Richtungsvektoren kollinear und liegt der Stützpunkt der einen auf der anderen, sind die Geraden .
Lösung anzeigen
Sind \(g\) mit \(\vec{u} = \binom{3}{1}\) und \(h\) mit \(\vec{v} = \binom{6}{2}\) parallel?
Lösung anzeigen
Beim Gleichsetzen zweier Raumgeraden liefern die ersten beiden Komponenten \(t = 1\), \(s = 2\). Was ist noch zu tun?
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Schnittwinkel
Der Schnittwinkel ist der spitze Winkel zwischen den Richtungsvektoren — der Betrag im Zähler erzwingt ihn:
\[ \cos\varphi = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}, \qquad 0° \leq \varphi \leq 90° \]Senkrechte Geraden: \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) — der Orthogonalitätstest aus ↩ 4.3b.
Unter welchem Winkel schneiden sich \(g\) und \(h\) aus Beispiel 2 (\(\vec{u} = \binom{3}{1}\), \(\vec{v} = \binom{1}{-1}\))?
\[ \cos\varphi = \frac{|3 - 1|}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{20}} \;\Rightarrow\; \varphi \approx 63.4° \]✏️ Mini-Check — Schnittwinkel
Warum steht im Zähler der Schnittwinkelformel ein Betrag?
- damit der Winkel spitz (höchstens 90°) wird
- weil Beträge immer nötig sind
- damit das Ergebnis ein Vektor bleibt
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Zwei Geraden stehen senkrecht, wenn das Skalarprodukt ihrer null ist.
Lösung anzeigen
Stehen die Geraden mit \(\vec{u} = \binom{2}{1}\) und \(\vec{v} = \binom{-1}{2}\) senkrecht?
Lösung anzeigen
Zwei windschiefe Geraden schneiden sich nicht — kann man trotzdem einen Winkel angeben?
Lösungsweg anzeigen
Abstand Punkt–Gerade: das Lot
Der Abstand von \(P\) zur Geraden \(g\) ist die Länge des Lots — der kürzesten Verbindung. Rezept:
- Allgemeinen Geradenpunkt aufstellen: \(F = A + t\,\vec{u}\) (der «laufende Punkt»).
- Lotbedingung: \(\vec{PF} \perp \vec{u}\), also \(\vec{PF} \cdot \vec{u} = 0\) — eine Gleichung für \(t\).
- \(t\) einsetzen: Lotfusspunkt \(F\); Abstand \(d = |\vec{PF}|\).
Wie weit liegt \(P(4 \mid 0)\) von \(g:\ \vec{r} = \binom{0}{1} + t\binom{2}{1}\) entfernt?
Lösung: \(F = (2t \mid 1 + t)\), also \(\vec{PF} = \binom{2t - 4}{1 + t}\). Lotbedingung:
\[ \binom{2t-4}{1+t} \cdot \binom{2}{1} = 4t - 8 + 1 + t = 5t - 7 = 0 \;\Rightarrow\; t = 1.4 \]Lotfusspunkt \(F(2.8 \mid 2.4)\); Abstand \(d = \left|\binom{-1.2}{2.4}\right| = \sqrt{7.2} \approx 2.68\).
Bewegt sich ein Objekt geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit, ist seine Bahn
\[ \vec{r}(t) = \vec{r}_0 + t \cdot \vec{v} \]mit Startort \(\vec{r}_0\) und Geschwindigkeitsvektor \(\vec{v}\). Der Betrag \(|\vec{v}|\) ist das Tempo; \(t\) ist echte Zeit. Treffen sich zwei Objekte, müssen Ort und Zeitpunkt übereinstimmen — gleiches \(t\) in beiden Gleichungen (anders als beim blossen Schnitt der Bahnen!).
Kreuzen sich zwei Flugbahnen, heisst das noch nicht, dass die Objekte kollidieren — sie können den Kreuzungspunkt zu verschiedenen Zeiten passieren. Kollision verlangt gleichen Ort bei gleichem \(t\); Bahnschnitt erlaubt \(t \neq s\).
✏️ Mini-Check — Abstand und Bewegung
Welche Bedingung bestimmt den Lotfusspunkt \(F\)?
- \(|\vec{PF}| = 1\)
- \(\vec{PF} \cdot \vec{u} = 0\)
- \(\vec{PF} = \vec{u}\)
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Bei Bewegungsaufgaben ist der Betrag des Richtungsvektors das des Objekts.
Lösung anzeigen
Eine Drohne fliegt \(\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 10 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\) (m, min). Wie schnell ist sie?
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Warum ist der Lotfusspunkt der nächste Geradenpunkt zu \(P\)?
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Aufgaben
Wähle ein Geradenpaar (in der Ebene) — welche gegenseitige Lage liegt vor?
Welche Lage haben die beiden Geraden?
Stelle je eine Parametergleichung auf — und begründe, warum deine Antwort nicht die einzig richtige ist:
- Gerade durch \(A(2 \mid -1)\) mit Richtung \(\binom{1}{4}\)
- Gerade durch \(P(3 \mid 0 \mid 1)\) und \(Q(5 \mid 2 \mid 1)\)
- die \(y\)-Achse der Ebene
- \(\vec{r} = \binom{2}{-1} + t\binom{1}{4}\).
- \(\vec{u} = \vec{PQ} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\): \(\vec{r} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) (oder mit \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)).
- \(\vec{r} = t\binom{0}{1}\).
Jeder Geradenpunkt taugt als Stützpunkt, jedes Vielfache \(\neq \vec{0}\) als Richtung — unendlich viele richtige Gleichungen für dieselbe Gerade.
\(g:\ \vec{r} = \binom{1}{2} + t\binom{3}{1}\). Berechne den Geradenpunkt bei \(t = 2\).
Liegt \(P(7 \mid 4)\) auf \(g\)? Und \(Q(4 \mid 4)\)? Gib für \(P\) den Parameterwert an (für \(Q\): \(-99\) falls nicht auf \(g\)).
\(P\): beide Komponenten geben \(t = 2\) ✓. \(Q\): erste Komponente \(t = 1\), zweite \(t = 2\) — Widerspruch, \(Q \notin g\).
Berechne den Schnittpunkt von \(g:\ \vec{r} = \binom{1}{2} + t\binom{3}{1}\) und \(h:\ \vec{r} = \binom{0}{5} + s\binom{1}{-1}\).
Gleichsetzen: \(1 + 3t = s\) und \(2 + t = 5 - s\); einsetzen gibt \(4t = 2 \Rightarrow t = 0.5\): Schnittpunkt \((2.5 \mid 2.5)\).
Unter welchem Winkel schneiden sich \(g\) und \(h\) aus Teilaufgabe c (zwei Dezimalen)?
Berechne den Abstand von \(P(4 \mid 0)\) zu \(g:\ \vec{r} = \binom{0}{1} + t\binom{2}{1}\) (zwei Dezimalen).
Lotbedingung \(5t - 7 = 0 \Rightarrow t = 1.4\); \(F(2.8 \mid 2.4)\); \(d = \sqrt{1.2^2 + 2.4^2} = \sqrt{7.2} \approx 2.68\).
Eine Drohne fliegt auf der Bahn \(\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 10 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\) (Koordinaten in m, \(t\) in Minuten).
- In welcher Höhe fliegt sie — und ändert sich diese?
- Wo ist sie nach \(4\) Minuten?
- Wie schnell fliegt sie (m/min)?
- Höhe konstant \(10\) m — die \(z\)-Komponente der Richtung ist null.
- \(\vec{r}(4) = (18 \mid 13 \mid 10)\).
- \(|\vec{v}| = \sqrt{16 + 9 + 0} = 5\) m/min.
Zwei Velos fahren auf derselben geraden Strasse. Velo 1 startet bei km \(0\) mit \(10\) km/h; Velo 2 hat \(50\) km Vorsprung (Start bei km \(50\)), fährt aber nur \(5\) km/h. Ihre Positionen in km (mit \(t\) in Stunden): \(x_1(t) = 10t\) und \(x_2(t) = 50 + 5t\).
- Wann holt Velo 1 das Velo 2 ein? (Gleicher Ort bei gleichem \(t\)!)
- An welcher Position passiert das?
- Einholen heisst gleicher Ort zur gleichen Zeit: \(10t = 50 + 5t \Rightarrow 5t = 50 \Rightarrow t = 10\).
- Position \(x = 10 \cdot 10 = 100\) km. Kontrolle: \(50 + 5 \cdot 10 = 100\) ✓
Gegeben sind \(g:\ \vec{r} = t\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(h:\ \vec{r} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\).
- Zeige, dass die Richtungen nicht kollinear sind.
- Prüfe durch Gleichsetzen, ob es einen Schnittpunkt gibt — welche Komponente liefert den Widerspruch? (1, 2 oder 3)
- \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) sind keine Vielfachen voneinander.
- \(x\): \(t = 0\); \(y\): \(0 = 1 + s \Rightarrow s = -1\); \(z\): \(0 = 3\) — Widerspruch in der dritten Komponente: windschief.
Zwei Modellboote fahren auf einem See: Boot 1 auf \(\vec{r}_1(t) = \binom{0}{0} + t\binom{2}{1}\), Boot 2 auf \(\vec{r}_2(t) = \binom{6}{-2} + t\binom{-1}{2}\) (Meter, Sekunden — gleiches \(t\)!).
- Schneiden sich die Bahnen? (Gleichsetzen mit verschiedenen Parametern \(t\), \(s\).)
- Kollidieren die Boote? (Gleicher Ort bei gleichem \(t\).)
- Formuliere den Unterschied der beiden Fragen in einem Satz.
- \(2t = 6 - s\) und \(t = -2 + 2s\): Einsetzen gibt \(2(-2 + 2s) = 6 - s \Rightarrow 5s = 10 \Rightarrow s = 2\), \(t = 2\) — die Bahnen schneiden sich in \((4 \mid 2)\).
- Hier ist sogar \(t = s = 2\): Beide Boote sind zur selben Zeit am selben Ort — Kollision bei \((4 \mid 2)\) nach \(2\) s! Kontrolle: \(\vec{r}_1(2) = (4 \mid 2)\), \(\vec{r}_2(2) = (6-2 \mid -2+4) = (4 \mid 2)\) ✓
- Bahnschnitt fragt nur nach dem Ort (Parameter dürfen verschieden sein) — Kollision verlangt Ort und Zeitpunkt gleich.
Zusammenfassung
Die Parametergleichung \(\vec{r} = \vec{r}_A + t\,\vec{u}\) beschreibt Geraden in Ebene und Raum gleichermassen — Stützpunkt und Richtung sind frei wählbar. Punktprobe: alle Komponenten müssen dasselbe \(t\) liefern. Lage zweier Geraden: erst Richtungen vergleichen (kollinear → identisch/parallel), dann gleichsetzen mit verschiedenen Parametern (Lösung → Schnittpunkt; Widerspruch im Raum → windschief). Schnittwinkel über die Richtungsvektoren (Betrag im Zähler → spitzer Winkel), Abstand über das Lot (\(\vec{PF} \cdot \vec{u} = 0\)). Bei Bewegungen ist \(t\) die Zeit — Kollision braucht gleichen Ort und gleiches \(t\).
| Aufgabe | Werkzeug |
|---|---|
| Gerade aufstellen | \(\vec{r} = \vec{r}_A + t\,\vec{u}\); aus zwei Punkten: \(\vec{u} = \vec{AB}\) |
| Punktprobe | komponentenweise nach \(t\) auflösen — überall gleich? |
| Lage zweier Geraden | Richtungen kollinear? → Punktprobe · sonst gleichsetzen (\(t\), \(s\)) |
| Schnittwinkel | \(\cos\varphi = \dfrac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}\) |
| Abstand Punkt–Gerade | Lot: \(\vec{PF} \cdot \vec{u} = 0\) → \(t\) → \(d = |\vec{PF}|\) |
| Bewegung | \(\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + t\,\vec{v}\); Tempo \(= |\vec{v}|\) |
Clips
Clips zu den Animationen — was jede Animation zeigt
Transkripte — der gesprochene Text zum Mitlesen
Drohnenflug: der Parameter als Fahrplan
- 0:00Eine Drohne startet im Punkt A und fliegt pro Minute um den Vektor drei, eins weiter. Die Parametergleichung sagt, wo sie nach t Minuten ist. Und wo war sie vor dem Start?
- 0:11Bei t gleich eins steht die Drohne im Punkt vier, drei. Das ist der Stützpunkt A plus einmal der orange Richtungsvektor u.
- 0:18Bei t gleich zwei ist sie im Punkt sieben, vier. Von vier, drei aus ist das noch einmal der Vektor drei, eins: Jeder t-Schritt ist gleich lang.
- 0:28Bei t gleich minus eins liegt der Punkt minus zwei, eins. Das ist eine Minute vor dem Start: Negative t laufen gegen den Richtungsvektor zurück.
- 0:38Merke: Die Parametergleichung erzeugt die Gerade Punkt für Punkt, Stützpunkt plus t mal Richtungsvektor. Weil t jede reelle Zahl sein darf, auch negativ, ist die Gerade in beide Richtungen unendlich.
Windschief: die dritte Komponente entscheidet
- 0:00Die blaue Gerade g liegt am Boden, die orange Gerade h im Stockwerk mit der Höhe c. Setzt man sie gleich, entstehen drei Gleichungen. Welche davon entscheidet über einen Schnittpunkt?
- 0:11Bei c gleich null liegen beide Geraden am Boden. Die erste Komponente gibt t gleich drei, die zweite s gleich eins, und die dritte stimmt auch. Die Geraden schneiden sich im Punkt drei, eins, null.
- 0:23Jetzt ist c gleich zwei. Die ersten beiden Komponenten geben wieder t gleich drei und s gleich eins. Die dritte sagt aber null gleich zwei, ein Widerspruch: Die Geraden sind windschief.
- 0:34Bei c gleich null Komma fünf laufen die Geraden knapp übereinander vorbei. Die dritte Komponente heisst null gleich c, und das ist für jedes c ungleich null falsch.
- 0:45Merke: Bei nicht kollinearen Richtungen bestimmen zwei Komponenten die Parameter t und s. Die dritte ist der Test: Stimmt sie, schneiden sich die Geraden, sonst sind sie windschief.
Lot: wo g dem Punkt P am nächsten kommt
- 0:00Der Punkt F läuft auf der blauen Geraden g, der Punkt P bleibt fest. Bei welchem t ist der Abstand von P zu F am kleinsten?
- 0:09Bei t gleich null ist F der Stützpunkt null, eins. Die orange Strecke steht schräg zur Geraden, der Abstand ist rund vier Komma eins zwei.
- 0:18Bei t gleich eins Komma vier steht die Strecke senkrecht auf g, das Skalarprodukt mit u ist null. Hier ist der Abstand am kleinsten: Wurzel aus sieben Komma zwei, rund zwei Komma sechs acht.
- 0:30Bei t gleich drei ist der Abstand wieder grösser, rund vier Komma vier sieben. P, der Lotfusspunkt und F bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Nach Pythagoras ist zwanzig gleich sieben Komma zwei plus zwölf Komma acht.
- 0:44Merke: Der Abstand eines Punktes von einer Geraden ist die Länge des Lots. Den Lotfusspunkt liefert die Bedingung Skalarprodukt gleich null. Jeder andere Punkt der Geraden liegt weiter weg.
Lage zweier Geraden: erst Richtung, dann Punkt
- 0:00In Aufgabe A1 bestimmst du die Lage zweier Geraden in der Ebene. Zuerst fragt man: Ist der eine Richtungsvektor ein Vielfaches des anderen? Erst dann schaut man einen Punkt an.
- 0:10Die blaue Gerade g hat die Richtung zwei, eins, die orange h die Richtung eins, eins Komma fünf. Kein Vielfaches: Die Geraden schneiden sich.
- 0:20Hier ist vier, zwei das Doppelte von zwei, eins, die Richtungen sind kollinear. Die Punktprobe mit dem Stützpunkt null, drei gibt zwei verschiedene t. Er liegt nicht auf g: echt parallel.
- 0:31Minus zwei, minus eins ist minus einmal zwei, eins, wieder kollinear. Diesmal liefert die Punktprobe mit vier, drei zweimal t gleich zwei. Der Punkt liegt auf g, die Geraden sind identisch.
- 0:44Merke: Sind die Richtungen nicht kollinear, schneiden sich die Geraden in der Ebene. Sind sie kollinear, entscheidet der Stützpunkt: identisch oder echt parallel. Im Raum kommt noch windschief dazu.
Vektoren: die Gerade im Raum
- 0:00Im Raum lässt sich eine Gerade nicht mehr als y gleich m x plus b schreiben. Man beschreibt sie stattdessen mit einem Punkt und einer Richtung.
- 0:09Der Stützvektor zeigt zu einem Punkt auf der Geraden — er sagt, wo sie liegt. Der Richtungsvektor sagt, wohin sie zeigt.
- 0:17Setzt man verschiedene t ein, wandert man die Gerade ab. Bei t gleich null steht man im Stützpunkt, bei t gleich eins einen Richtungsvektor weiter.
- 0:26Sind zwei Punkte gegeben, nimmt man den einen als Stützvektor und die Differenz als Richtung — Spitze minus Anfang, wie gehabt.
- 0:34Und die häufigste Frage: Liegt ein Punkt auf der Geraden? Man setzt ihn ein und prüft, ob sich für alle drei Zeilen dasselbe t ergibt.
- 0:42Zum Mitnehmen: Stützvektor sagt wo, Richtungsvektor sagt wohin, der Parameter läuft. Und die Darstellung ist nie eindeutig.
Zusatzmaterial
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