\( g:\ \vec{r} = \vec{r}_A + t\,\vec{u} \), \( t \in \mathbb{R} \) — Stützpunkt \(A\), Richtungsvektor \( \vec{u} \neq \vec{0} \); gilt in Ebene und Raum. Aus zwei Punkten: \( \vec{u} = \vec{AB} \). Stützpunkt und Richtung sind nicht eindeutig.
Punktprobe: komponentenweise nach \(t\) auflösen — alle Komponenten müssen dasselbe \(t\) liefern.
| Richtungen kollinear? | Zusatztest | Lage |
|---|---|---|
| ja | Stützpunkt auf der anderen Geraden | identisch |
| ja | Stützpunkt nicht darauf | echt parallel |
| nein | Gleichsetzen lösbar | schneidend |
| nein | Gleichsetzen unlösbar (nur Raum) | windschief |
Beim Gleichsetzen verschiedene Parameternamen (\(t\), \(s\)) verwenden! Im Raum: Zwei Komponenten bestimmen \(t\), \(s\) — die dritte testet.
Der Betrag erzwingt den spitzen Winkel. Senkrecht: \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \).
(1) Laufender Punkt \( F = A + t\,\vec{u} \) · (2) Lotbedingung \( \vec{PF} \cdot \vec{u} = 0 \) → \(t\) · (3) Abstand \( d = |\vec{PF}| \).
\( \vec{r}(t) = \vec{r}_0 + t\,\vec{v} \) mit \(t\) = Zeit; Tempo \( = |\vec{v}| \). Kollision braucht gleichen Ort bei gleichem \(t\) — Bahnschnitt erlaubt \( t \neq s \).
Stützpunkt plus \(t\)-mal Richtung. Lage: erst Richtungen, dann Punkte. Winkel über die Richtungsvektoren, Abstand über das Lot — und windschief gibt es nur im Raum.