Sechs Anwendungsaufgaben, nach zunehmendem Schwierigkeitsgrad geordnet. Die Musterlösungen folgen am Ende des Dokuments. Alle Aufgaben nutzen das Pultdach \( E:\ \vec{r} = (0, 0, 4) + s\,(6, 0, 0) + t\,(0, 5, 2) \), \( 0 \leq s, t \leq 1 \) (Koordinaten in m), sofern nichts anderes steht.
| Nr. | Bereich | Titel | Schwierigkeit |
|---|---|---|---|
| 1 | Architektur | Dachhöhen und Neigung | ●●○ |
| 2 | Haustechnik | Kaminrohr | ●●○ |
| 3 | Solartechnik | Panelfläche als Ebene | ●●○ |
| 4 | Elektroinstallation | Leitung parallel zum Dach | ●●● |
| 5 | Aviatik | Drohne über dem Dach | ●●● |
| 6 | Geometrie | Rampe durch drei Punkte | ●●● |
(a) Berechne die Dachhöhe über den Grundriss-Punkten \( (3 \mid 2.5) \) und \( (1 \mid 5) \).
(b) Welche Neigung hat das Dach (Steigung in \(y\)-Richtung)?
(c) Warum ist die Höhe unabhängig von \(x\)?
Ein senkrechtes Kaminrohr steht über dem Grundriss-Punkt \( (2 \mid 3) \): \( k:\ \vec{r} = (2, 3, 0) + r\,(0, 0, 1) \).
(a) Stelle das Gleichungssystem für den Durchstosspunkt auf.
(b) In welcher Höhe tritt das Rohr durch die Dachfläche?
Ein Solarpanel liegt auf dem Dach: Es belegt den Bereich \( 0.2 \leq s \leq 0.8 \), \( 0.4 \leq t \leq 0.9 \).
(a) Berechne die vier Eckpunkte des Panels (nur \(x\), \(y\)).
(b) Zwischen welchen Höhen liegt das Panel?
Eine Leitung folgt \( h:\ \vec{r} = (0, 0, 9) + r\,(6, 0, 0) \).
(a) Zeige, dass die Leitung parallel zur Dachebene verläuft.
(b) Wie gross ist der Höhenunterschied zur Vorderkante des Dachs?
Eine Drohne sinkt auf \( g:\ \vec{r} = (0, 0, 7) + r\,(2, 2, -1) \) (m; \(r\) in s).
(a) Stelle das Gleichungssystem für den Durchstosspunkt durch die Dachebene auf und löse es.
(b) Liegt der Treffpunkt auf dem realen Dach (\( 0 \leq s, t \leq 1 \))?
Eine Rollstuhlrampe geht durch \( A(0 \mid 0 \mid 0) \), \( B(4 \mid 0 \mid 0) \) und \( C(0 \mid 6 \mid 0.5) \) (Meter).
(a) Stelle die Parametergleichung der Rampenebene auf.
(b) Wie hoch liegt die Rampe nach \(3\) m in \(y\)-Richtung?
(c) Erfüllt die Rampe die Norm von höchstens \(6\) % Steigung?
(a) \( 5 \) m bzw. \( 6 \) m.
(b) \( 2 \) m auf \( 5 \) m — Steigung \( 40\ \% \).
(c) Der Spannvektor in \(x\)-Richtung hat \(z\)-Komponente null.
(a) \( 6s = 2 \), \( 5t = 3 \), \( r = 4 + 2t \).
(b) \( s = \tfrac{1}{3} \), \( t = 0.6 \): Höhe \( 5.2 \) m.
(a) \( x = 6s \in \{1.2, 4.8\} \), \( y = 5t \in \{2, 4.5\} \) — Ecken \( (1.2 \mid 2) \), \( (4.8 \mid 2) \), \( (1.2 \mid 4.5) \), \( (4.8 \mid 4.5) \).
(b) \( z = 4 + 2t \): zwischen \( 4.8 \) m und \( 5.8 \) m.
(a) Die Richtung \( (6, 0, 0) \) ist Spannvektor der Dachebene — parallel; Stützpunkt \( (0, 0, 9) \) liegt nicht in der Ebene (dort \( z = 4 \)).
(b) \( 9 - 4 = 5 \) m über der Vorderkante.
(a) \( 6s = 2r \), \( 5t = 2r \), \( 4 + 2t = 7 - r \Rightarrow r = \tfrac{5}{3} \approx 1.67 \) s.
(b) \( s = \tfrac{5}{9} \approx 0.56 \), \( t = \tfrac{2}{3} \approx 0.67 \) — beide in \([0; 1]\): Treffer auf dem realen Dach.
(a) \( \vec{r} = s\,(4, 0, 0) + t\,(0, 6, 0.5) \).
(b) \( t = 0.5 \): \( z = 0.25 \) m.
(c) Steigung \( \tfrac{0.5}{6} \approx 8.3\ \% > 6\ \% \) — Norm nicht erfüllt, die Rampe müsste länger werden.