4.3d Ebenen
Was die Parametergleichung für Geraden leistet, leistet sie mit zwei Richtungsvektoren (auch Spannvektoren genannt) für Ebenen: Stützpunkt plus \(s\)-mal erste Richtung plus \(t\)-mal zweite Richtung. Damit werden Dachflächen, Rampen und Gelände rechnerisch fassbar — inklusive der Frage, wo eine Gerade eine Ebene durchstösst. Diese Seite baut die Werkzeuge aus 4.3a–c konsequent eine Dimension weiter.
- die Parametergleichung einer Ebene aus einem Punkt und zwei Richtungen oder aus drei Punkten aufstellen
- mit der Punktprobe prüfen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt (lineares Gleichungssystem)
- den Durchstosspunkt einer Geraden durch eine Ebene berechnen und Sonderfälle (parallel, in der Ebene) erkennen
- die gegenseitige Lage von Gerade und Ebene sowie von zwei Ebenen beschreiben
- ebene Flächen aus Technik und Architektur (Dächer, Rampen) vektoriell modellieren
Dieses Teilgebiet ist eine Ergänzung des TALS-Lehrmittels und kein RLP-2030-Teilgebiet: Der RLP 4.3 endet bei den Geraden. Wer Gebäudegeometrie, technische Flächen oder später Hochschul-Mathematik vor sich hat, findet hier den natürlichen nächsten Schritt — mit denselben Werkzeugen wie in 4.3a–4.3c, nur eine Dimension reicher.
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann die Parametergleichung \(\vec{r} = \vec{r}_A + s\,\vec{u} + t\,\vec{v}\) einer Ebene aufstellen — aus Punkt und zwei Richtungen oder aus drei Punkten.
- Ich weiss, warum die beiden Richtungsvektoren nicht kollinear sein dürfen.
- Ich kann mit der Punktprobe (drei Gleichungen, zwei Unbekannte) prüfen, ob ein Punkt in der Ebene liegt.
- Ich kann den Durchstosspunkt einer Geraden durch eine Ebene über ein Gleichungssystem berechnen.
- Ich kann die Lagen Gerade–Ebene (schneidend, parallel, enthalten) und Ebene–Ebene (schneidend, parallel, identisch) unterscheiden.
- Ich kann geneigte Flächen (Dächer, Rampen) als Ebenen modellieren und Höhen an beliebigen Stellen berechnen.
Einstieg — das Pultdach
Ein Pultdach beginnt an der Vorderkante auf \(4\) m Höhe und steigt nach hinten an. Zwei Vektoren spannen die Dachfläche auf: \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) der Vorderkante entlang und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}\) die Schräge hinauf. Jeder Punkt des Dachs ist erreichbar als
\[ \vec{r} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}, \qquad 0 \leq s, t \leq 1 \]Der Schritt von der Geraden zur Ebene ist genau ein zusätzlicher Richtungsvektor:
- Gerade: \(\vec{r}_A + t\,\vec{u}\) — ein Parameter, eine Linie.
- Ebene: \(\vec{r}_A + s\,\vec{u} + t\,\vec{v}\) — zwei Parameter, eine Fläche.
✏️ Mini-Check — Einstieg
Wie viele Parameter braucht die Parametergleichung einer Ebene?
- einen
- zwei
- drei
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Die Ebene wird von zwei nicht kollinearen aufgespannt.
Lösung anzeigen
Berechne den Dachpunkt für \(s = 1\), \(t = 1\).
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Warum dürfen die beiden Spannvektoren nicht kollinear sein?
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Definition — Parametergleichung der Ebene
Die Ebene \(E\) durch den Punkt \(A\) mit den nicht kollinearen Richtungsvektoren \(\vec{u}\), \(\vec{v}\):
\[ E:\ \vec{r} = \vec{r}_A + s \cdot \vec{u} + t \cdot \vec{v}, \qquad s, t \in \mathbb{R} \]Aus drei Punkten \(A\), \(B\), \(C\) (nicht auf einer Geraden): \(\vec{u} = \vec{AB}\), \(\vec{v} = \vec{AC}\). Wie bei Geraden sind Stützpunkt und Spannvektoren nicht eindeutig.
Liegt \(P\) in \(E\)? Der Ansatz \(\vec{r}_P = \vec{r}_A + s\,\vec{u} + t\,\vec{v}\) gibt drei Gleichungen für die zwei Unbekannten \(s\), \(t\): Zwei Gleichungen bestimmen \(s\) und \(t\), die dritte ist der Test — geht sie auf, liegt \(P\) in der Ebene.
\(E:\ \vec{r} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\). Liegt \(P(2 \mid 3 \mid 3)\) in \(E\)?
Lösung: Komponentenweise: \(1 + s = 2 \Rightarrow s = 1\); \(3t = 3 \Rightarrow t = 1\) (dritte Zeile). Test in der zweiten: \(2s + t = 2 + 1 = 3\) ✓ — \(P\) liegt in \(E\).
✏️ Mini-Check — Definition
Wie stellt man die Ebene durch drei Punkte \(A\), \(B\), \(C\) auf?
- \(\vec{r}_A + s\,\vec{AB} + t\,\vec{AC}\)
- \(\vec{r}_A + s\,\vec{AB}\)
- \(\vec{r}_A + \vec{r}_B + \vec{r}_C\)
Lösung anzeigen
Bei der Punktprobe bestimmen zwei Gleichungen \(s\) und \(t\) — die dritte ist der .
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Berechne den Ebenenpunkt von \(E\) (Beispiel 1) für \(s = 2\), \(t = 1\).
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Drei Punkte liegen auf einer Geraden. Warum taugen sie nicht für eine Ebenengleichung?
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Gerade trifft Ebene — der Durchstosspunkt
Ansatz: Geradengleichung in die Ebenengleichung einsetzen bzw. gleichsetzen — drei Gleichungen für die drei Unbekannten \(r\) (Geraden-Parameter), \(s\), \(t\):
| Lösung des Systems | Lage |
|---|---|
| genau eine Lösung | Durchstosspunkt — die Gerade schneidet die Ebene |
| keine Lösung | Gerade echt parallel zur Ebene |
| unendlich viele Lösungen | Gerade liegt in der Ebene |
\(E:\ \vec{r} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\) und \(g:\ \vec{r} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\).
Lösung: Gleichsetzen, komponentenweise:
\[ 1 + s = r, \qquad 2s + t = 5, \qquad 3t = 3 \]Von hinten aufrollen: \(t = 1\), dann \(2s = 4 \Rightarrow s = 2\), dann \(r = 3\). Durchstosspunkt: \(\vec{r}_g(3) = (3 \mid 5 \mid 3)\) — Kontrolle über die Ebene: \(s = 2\), \(t = 1\) liefert denselben Punkt ✓
Zwei Ebenen im Raum sind identisch, echt parallel oder sie schneiden sich in einer Geraden (wie zwei Buchseiten im Rücken). Parallel-Test: Beide Spannvektoren der einen Ebene lassen sich aus denen der anderen kombinieren; die Punktprobe entscheidet dann zwischen parallel und identisch.
✏️ Mini-Check — Durchstosspunkt
Das Gleichungssystem Gerade–Ebene hat keine Lösung. Was heisst das?
- Die Gerade liegt in der Ebene.
- Die Gerade ist echt parallel zur Ebene.
- Rechenfehler — das kann nicht sein.
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Zwei nicht parallele Ebenen schneiden sich in einer .
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Wie viele Unbekannte hat das Gleichungssystem beim Schnitt Gerade–Ebene?
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Eine Bohrung verläuft entlang einer Geraden, das Werkstück endet an einer ebenen Fläche. Welche Rechnung liefert den Austrittspunkt?
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Die Lagen im Überblick
| Paarung | mögliche Lagen | Entscheidung |
|---|---|---|
| Punkt – Ebene | in der Ebene / ausserhalb | Punktprobe (2 bestimmen, 1 testet) |
| Gerade – Ebene | schneidend · echt parallel · enthalten | Gleichsetzen: 1 / 0 / ∞ Lösungen |
| Ebene – Ebene | Schnittgerade · echt parallel · identisch | Spannvektoren vergleichen + Punktprobe |
Beim Gleichsetzen von Gerade und Ebene leben drei Parameter (\(r\), \(s\), \(t\)) — jeder gehört zu seinem Objekt. Wer der Geraden und der Ebene denselben Buchstaben gibt, koppelt sie fälschlich. Ausserdem gilt wie immer: Das gefundene \(r\) in die Geradengleichung einsetzen und mit \(s\), \(t\) in der Ebenengleichung gegenprüfen.
✏️ Mini-Check — Lagen
Welche Lage können zwei Ebenen nicht haben?
- genau einen gemeinsamen Punkt
- eine gemeinsame Gerade
- gar keinen gemeinsamen Punkt
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Hat das System Gerade–Ebene unendlich viele Lösungen, so die Gerade in der Ebene.
Lösung anzeigen
Die \(x\)-\(y\)-Ebene hat die Gleichung \(\vec{r} = s\,\vec{e}_1 + t\,\vec{e}_2\). Liegt \(P(3 \mid 7 \mid 0)\) darin?
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Warum genügt es für «Gerade parallel zur Ebene» nicht, dass die Gerade keinen Ebenenpunkt trifft — welche zweite Sichtweise gibt es?
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Ebenen in der Praxis — Flächen modellieren
Das Pultdach vom Einstieg: \(E:\ \vec{r} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}\). Wie hoch ist das Dach über dem Grundriss-Punkt \((3 \mid 2.5)\)?
Lösung: \(x = 6s = 3 \Rightarrow s = 0.5\); \(y = 5t = 2.5 \Rightarrow t = 0.5\). Höhe:
\[ z = 4 + 2t = 4 + 1 = 5\ \text{m} \]Bemerkenswert: \(z\) hängt nur von \(t\) ab — alle Punkte gleicher «Tiefe» \(y\) liegen gleich hoch (Pultdach-Prinzip).
In der Hochschulmathematik beschreibt man Ebenen oft kompakter über einen Normalenvektor \(\vec{n}\) senkrecht zur Ebene: \(\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{r}_A) = 0\). Das Skalarprodukt aus ↩ 4.3b liefert das Werkzeug dazu — Abstände und Winkel werden damit noch schneller. Hier bleiben wir bei der Parameterform: Sie kommt ohne neue Theorie aus.
✏️ Mini-Check — Modellieren
Ein Grundriss-Punkt \((x \mid y)\) ist gegeben. Wie findet man die Dachhöhe darüber?
- \(s\), \(t\) aus \(x\)- und \(y\)-Gleichung bestimmen, in die \(z\)-Gleichung einsetzen
- den Betrag des Stützvektors berechnen
- die Spannvektoren addieren
Lösung anzeigen
Beim Dach mit \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}\) steigt die Fläche pro \(5\) m Tiefe um m.
Lösung anzeigen
Wie hoch ist das Dach über \((1 \mid 5)\)?
Lösung anzeigen
Ein Regensensor sitzt \(7\) m über dem Punkt \((3 \mid 2.5)\). Liegt er über oder unter dem Dach — und wie weit?
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Aufgaben
Wähle eine Beschreibung — welche Parametergleichung passt?
Welche Gleichung gehört dazu?
Stelle je eine Parametergleichung auf:
- Ebene durch \(A(1 \mid 0 \mid 2)\) mit den Spannvektoren \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\)
- Ebene durch die drei Punkte \(A(0 \mid 0 \mid 1)\), \(B(2 \mid 0 \mid 1)\), \(C(0 \mid 3 \mid 4)\)
- die \(x\)-\(z\)-Ebene des Koordinatensystems
- \(\vec{r} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\).
- \(\vec{u} = \vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{v} = \vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\): \(\vec{r} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\).
- \(\vec{r} = s\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) — alle Punkte mit \(y = 0\).
Alle Teilaufgaben beziehen sich auf \(E:\ \vec{r} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\).
Berechne den Punkt für \(s = 2\), \(t = 1\).
Liegt \(P(2 \mid 3 \mid 3)\) in \(E\)? Bestimme \(s\) und \(t\) (oder \(-99\), falls \(P \notin E\)).
\(1 + s = 2 \Rightarrow s = 1\); \(3t = 3 \Rightarrow t = 1\); Test: \(2 \cdot 1 + 1 = 3\) ✓ — \(P \in E\).
\(g:\ \vec{r} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). Berechne den Durchstosspunkt von \(g\) durch \(E\).
Gleichsetzen: \(3t = 3 \Rightarrow t = 1\); \(2s + t = 5 \Rightarrow s = 2\); \(1 + s = r \Rightarrow r = 3\). Durchstosspunkt \((3 \mid 5 \mid 3)\).
Das Pultdach: \(E:\ \vec{r} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}\) mit \(0 \leq s, t \leq 1\).
- Wie hoch liegt das Dach über dem Grundriss-Punkt \((3 \mid 2.5)\)?
- Und über \((1 \mid 5)\) (Hinterkante)?
- \(s = 0.5\), \(t = 0.5\): \(z = 4 + 2 \cdot 0.5 = 5\) m.
- \(t = 1\): \(z = 6\) m — unabhängig von \(s\).
Ein senkrechtes Kaminrohr steht über dem Grundriss-Punkt \((2 \mid 3)\): \(k:\ \vec{r} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). In welcher Höhe durchstösst es das Pultdach aus A4?
\(x\): \(6s = 2 \Rightarrow s = \tfrac{1}{3}\); \(y\): \(5t = 3 \Rightarrow t = 0.6\); \(z\): \(r = 4 + 2 \cdot 0.6 = 5.2\) m — das Rohr tritt auf \(5.2\) m Höhe durch die Dachfläche.
Gegeben ist die Gerade \(h:\ \vec{r} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und das Pultdach \(E\) aus A4 (als unbegrenzte Ebene).
- Zeige: Der Richtungsvektor von \(h\) ist ein Spannvektor von \(E\) — was heisst das für die Lage?
- Prüfe mit dem Stützpunkt \((0 \mid 0 \mid 9)\), ob \(h\) in \(E\) liegt oder echt parallel ist. Welche Höhe hätte die Ebene bei \((0 \mid 0)\)?
- \(\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) ist genau der erste Spannvektor — \(h\) verläuft parallel zur Ebene (oder in ihr).
- Über \((0 \mid 0)\) liegt die Ebene auf Höhe \(4\) m (\(s = t = 0\)), der Stützpunkt von \(h\) aber auf \(9\) m: \(h\) ist echt parallel — sie schwebt \(5\) m über der Vorderkante.
Eine Drohne fliegt auf \(g:\ \vec{r} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) (Meter; \(r\) in Sekunden) schräg absteigend über das Pultdach aus A4.
- Stelle das Gleichungssystem für den Durchstosspunkt durch die Dach-Ebene auf.
- Löse es und gib an, nach wie vielen Sekunden die Drohne die Dachfläche erreichen würde.
- Prüfe, ob der Treffpunkt noch auf dem realen Dach liegt (\(0 \leq s, t \leq 1\)).
- \(6s = 2r\); \(5t = 2r\); \(4 + 2t = 7 - r\).
- Aus den ersten beiden: \(s = \tfrac{r}{3}\), \(t = \tfrac{2r}{5}\). In die dritte: \(4 + \tfrac{4r}{5} = 7 - r \Rightarrow \tfrac{9r}{5} = 3 \Rightarrow r = \tfrac{5}{3} \approx 1.67\) s. Kontrolle: Gerade \(z = 7 - \tfrac{5}{3} = \tfrac{16}{3}\), Ebene \(z = 4 + 2 \cdot \tfrac{2}{3} = \tfrac{16}{3}\) ✓
- \(s = \tfrac{5}{9} \approx 0.56\), \(t = \tfrac{2}{3} \approx 0.67\) — beide in \([0;\ 1]\): Die Drohne träfe das reale Dach. Zeit auszuweichen!
Zusammenfassung
Die Ebene ist die Gerade mit einem zweiten Parameter: \(\vec{r} = \vec{r}_A + s\,\vec{u} + t\,\vec{v}\) mit nicht kollinearen Spannvektoren. Punktprobe: zwei Gleichungen bestimmen \(s\), \(t\) — die dritte testet. Durchstosspunkt Gerade–Ebene: gleichsetzen, \(3 \times 3\)-System lösen (eine Lösung: Schnitt; keine: parallel; unendlich viele: enthalten). Zwei Ebenen schneiden sich — wenn überhaupt — in einer Geraden. Und in der Praxis: Dächer und Rampen sind Ebenen; Höhen findet man, indem die Grundriss-Koordinaten die Parameter festlegen.
| Aufgabe | Werkzeug |
|---|---|
| Ebene aufstellen | \(\vec{r}_A + s\,\vec{u} + t\,\vec{v}\); aus 3 Punkten: \(\vec{u} = \vec{AB}\), \(\vec{v} = \vec{AC}\) |
| Punktprobe | 2 Gleichungen bestimmen, 1 testet |
| Durchstosspunkt | Gerade = Ebene setzen, System in \(r\), \(s\), \(t\) lösen |
| Lage Gerade–Ebene | 1 / 0 / ∞ Lösungen → schneidend / parallel / enthalten |
| Lage Ebene–Ebene | Schnittgerade · echt parallel · identisch |
Clips
Clips zu den Animationen — was jede Animation zeigt
Transkripte — der gesprochene Text zum Mitlesen
Dachfläche: zwei Regler, zwei Richtungen
- 0:00In der Animation führst du einen Punkt über ein Pultdach, mit zwei Reglern s und t. Was bewirkt jeder der beiden?
- 0:09Beide Regler stehen auf null Komma fünf. Das gibt den Dachpunkt drei, zwei Komma fünf, fünf: mitten auf dem Dach, fünf Meter hoch.
- 0:19Jetzt nur s auf eins. Der Punkt läuft der Dachbreite entlang nach rechts, die Höhe bleibt fünf Meter, denn u hat als dritte Komponente null. Ein Parameter allein ergibt eine Gerade.
- 0:30Dann t auf eins. Jetzt klettert der Punkt die Schräge hinauf bis in die hintere Ecke, sechs Meter hoch. Denn v hat als dritte Komponente zwei.
- 0:39Merke: Eine Gerade braucht einen Parameter, eine Fläche zwei, darum zwei Richtungsvektoren. Beim Pultdach hängt die Höhe nur von t ab: z gleich vier plus zwei t.
Durchstosspunkt: die Dachhöhe über der Drohne
- 0:00In der Animation steht eine senkrechte Drohnen-Gerade unter dem Pultdach. Wo durchstösst sie die Dach-Ebene, und wie hoch liegt dieser Punkt?
- 0:11Die Drohne steht vorne, y gleich null. Gleichsetzen gibt drei gleich sechs s, null gleich fünf t und r gleich vier plus zwei t. Also t gleich null und r gleich vier: D liegt auf der Vorderkante.
- 0:25Jetzt y gleich zwei Komma fünf. Aus zwei Komma fünf gleich fünf t folgt t gleich null Komma fünf, also r gleich fünf. D liegt einen Meter höher als vorne.
- 0:35Ganz hinten, y gleich fünf, ist t gleich eins und r gleich sechs. D sitzt auf der Hinterkante, sechs Meter hoch.
- 0:45Merke: Aus y gleich fünf t folgt t gleich y durch fünf. Die Dachhöhe über der Drohne ist darum z gleich vier plus null Komma vier y: vorne vier Meter, hinten sechs.
Vektoren: die Ebene
- 0:00Eine Gerade braucht eine Richtung. Eine Ebene braucht zwei — dann kann man sich in ihr in jede Richtung bewegen.
- 0:08Die beiden Richtungsvektoren müssen verschiedene Richtungen haben. Wären sie parallel, käme man nur auf einer Geraden vorwärts — nicht in einer Ebene.
- 0:16Es geht auch kürzer. Ein einziger Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht, legt ihre Lage genauso fest — der Normalenvektor.
- 0:24Damit lässt sich die Ebene ohne Parameter schreiben: Ein Punkt liegt genau dann in ihr, wenn der Vektor vom Stützpunkt dorthin senkrecht zur Normalen steht — das Skalarprodukt ist null.
- 0:35Beide Formen haben ihren Zweck: Mit der Parameterform erzeugt man Punkte der Ebene. Mit der Koordinatenform prüft man in einer Zeile, ob ein Punkt darin liegt.
- 0:44Zum Mitnehmen: zwei Spannvektoren oder ein Normalenvektor. Beide beschreiben dieselbe Ebene, und das Skalarprodukt vermittelt zwischen ihnen.
Zusatzmaterial
Materialien zum Mitnehmen, Üben und Wiederholen. Druckseiten öffnen in neuem Tab.