\( E:\ \vec{r} = \vec{r}_A + s\,\vec{u} + t\,\vec{v} \), \( s, t \in \mathbb{R} \) — Stützpunkt \(A\), zwei nicht kollineare Spannvektoren. Aus drei Punkten (echtes Dreieck): \( \vec{u} = \vec{AB} \), \( \vec{v} = \vec{AC} \).
Hinweis: Teilgebiet 4.3d ist eine Ergänzung des TALS-Lehrmittels und kein RLP-2030-Teilgebiet.
Ansatz \( \vec{r}_P = \vec{r}_A + s\,\vec{u} + t\,\vec{v} \): drei Gleichungen, zwei Unbekannte — zwei bestimmen \(s\), \(t\), die dritte testet.
Gleichsetzen gibt ein \( 3 \times 3 \)-System in \(r\) (Geraden-Parameter), \(s\), \(t\):
| genau eine Lösung | Durchstosspunkt |
| keine Lösung | Gerade echt parallel |
| unendlich viele | Gerade liegt in der Ebene |
Identisch, echt parallel oder Schnitt in einer Geraden — nie in nur einem Punkt. Test: Spannvektoren vergleichen, dann Punktprobe.
Dächer und Rampen sind Ebenen: Die Grundriss-Koordinaten legen \(s\), \(t\) fest; die \(z\)-Gleichung liefert die Höhe. Beispiel Pultdach \( \vec{r} = (0, 0, 4) + s\,(6, 0, 0) + t\,(0, 5, 2) \): Höhe \( z = 4 + 2t \) — die Neigung steckt im Verhältnis der \(v\)-Komponenten.
Ebene = Gerade mit zweitem Parameter. Punktprobe: zwei bestimmen, eine testet. Durchstosspunkt: \( 3 \times 3 \)-System — 1/0/∞ Lösungen entscheiden die Lage. Zwei Ebenen schneiden sich, wenn überhaupt, in einer Geraden.