12 Aufgaben mit ansteigendem Schwierigkeitsgrad. Bearbeite alle Aufgaben in einem Zug, ohne in die Lösungen zu schauen — diese stehen am Ende. Hilfsmittel: nur Formelsammlung Promath. Zeitvorgabe: ca. 45 Minuten.
Vervollständige die Aussage und schreibe in die Lücken:
\( E:\ \vec{r} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \). Berechne die Punkte für \( (s, t) = (0, 0) \), \( (1, 0) \) und \( (2, 1) \).
Stelle die Ebene durch \( A(0 \mid 0 \mid 1) \), \( B(2 \mid 0 \mid 1) \), \( C(0 \mid 3 \mid 4) \) auf.
Liegt \( P(2 \mid 3 \mid 3) \) in \(E\) aus Aufgabe 2?
Liegt \( Q(2 \mid 3 \mid 4) \) in \(E\) aus Aufgabe 2?
Gib Parametergleichungen der \(x\)-\(y\)-Ebene und der \(x\)-\(z\)-Ebene an.
\( g:\ \vec{r} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \). Berechne den Durchstosspunkt durch \(E\) aus Aufgabe 2.
Das System Gerade–Ebene hat keine Lösung. Was bedeutet das — und was bei unendlich vielen Lösungen?
Wie viele Gleichungen und Unbekannte hat das System beim Schnitt Gerade–Ebene?
Pultdach \( \vec{r} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} \). Wie hoch liegt das Dach über dem Grundriss-Punkt \( (3 \mid 2.5) \)?
Ein senkrechtes Rohr steht über \( (2 \mid 3) \). In welcher Höhe durchstösst es das Pultdach?
\( h:\ \vec{r} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \) und das Pultdach: Bestimme die Lage.
zwei · kollineare(n) · Geraden.
\( (1 \mid 0 \mid 0) \), \( (2 \mid 2 \mid 0) \), \( (3 \mid 5 \mid 3) \).
\( \vec{r} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \).
\( s = 1 \) (x), \( t = 1 \) (z); Test y: \( 2 + 1 = 3 \) ✓ — ja.
\( s = 1 \), \( z \): \( 3t = 4 \Rightarrow t = \tfrac{4}{3} \); Test y: \( 2 + \tfrac{4}{3} = \tfrac{10}{3} \neq 3 \) — nein.
\( \vec{r} = s\,\vec{e}_1 + t\,\vec{e}_2 \) bzw. \( \vec{r} = s\,\vec{e}_1 + t\,\vec{e}_3 \).
\( 3t = 3 \Rightarrow t = 1 \); \( 2s + t = 5 \Rightarrow s = 2 \); \( r = 1 + s = 3 \): Durchstosspunkt \( (3 \mid 5 \mid 3) \).
Keine Lösung: Gerade echt parallel zur Ebene. Unendlich viele: Gerade liegt in der Ebene.
Drei Gleichungen (je Komponente), drei Unbekannte (\(r\), \(s\), \(t\)).
\( s = 0.5 \), \( t = 0.5 \): \( z = 4 + 1 = 5 \) m.
\( s = \tfrac{1}{3} \), \( t = 0.6 \): Höhe \( 4 + 1.2 = 5.2 \) m.
Richtung von \(h\) ist Spannvektor von \(E\); über \( (0 \mid 0) \) liegt \(E\) auf \(4\) m, \(h\) auf \(9\) m — echt parallel.