So arbeitest du mit diesem Leitprogramm
- Clip schauen. Jedes Verfahren beginnt mit einem Clip von rund einer Minute. Er zeigt den Gedankengang, der Text darunter macht ihn vollständig.
- Text lesen und mitrechnen. Die Beispiele stehen mit Zwischenschritten da. Rechne sie auf einem Blatt nach, bevor du weiterliest.
- Selbsttest lösen — zuerst ohne Lösung. Erst rechnen, dann aufklappen.
- Hakenfeld setzen. Sitzt ein Selbsttest, hakst du ihn oben rechts im Testkopf ab. Der Balken links zeigt, wo du stehst.
- Immer die Probe. Ein Gleichungssystem ist erst gelöst, wenn das Zahlenpaar in beiden Gleichungen aufgeht. Die Probe kostet zwanzig Sekunden und findet jeden Vorzeichenfehler.
- Gesamttest am Schluss. 24 Punkte, ohne Taschenrechner, in etwa 20 Minuten.
Vorwissen
Du löst eine lineare Gleichung, kennst ihre drei möglichen Ausgänge und löst eine Gleichung nach \(y\) auf.
Ein lineares Gleichungssystem besteht aus zwei Gleichungen mit denselben zwei Unbekannten:
\[ \begin{aligned} 2x + y &= 7 \\ x - y &= -1 \end{aligned} \]
Gesucht ist nicht eine Zahl, sondern ein Zahlenpaar \((x \mid y)\), das beide Gleichungen erfüllt. Für sich genommen hat jede der beiden unendlich viele Lösungen — erst zusammen wird es eng.
Ein Paar ist erst dann die Lösung, wenn es in beiden Gleichungen aufgeht. Für \((2 \mid 3)\): \(2 \cdot 2 + 3 = 7\) ✓ und \(2 - 3 = -1\) ✓.
Ein Werkzeug brauchst du noch: das Auflösen nach \(y\). Aus \(2x + y = 7\) wird \(y = -2x + 7\). In dieser Form liest man ab, wo die Gerade die \(y\)-Achse schneidet (bei 7) und wie steil sie fällt (um 2 pro Schritt nach rechts). Das braucht das erste der vier Verfahren.
Selbsttest 0 — Vorwissen · 11 P
-
0a(3 P)Ist \((2 \mid 3)\) eine Lösung von \(2x + y = 7\) und \(x - y = -1\)? Zeige es.
Lösung
Ja. Erste Gleichung: \(2 \cdot 2 + 3 = 7\) ✓. Zweite: \(2 - 3 = -1\) ✓. Beide gehen auf, also ist das Paar die Lösung.
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0b(3 P)Löse nach \(y\) auf: \(2x + y = 7\) und \(3x - 2y = 4\).
Lösung
\(y = -2x + 7\) und \(y = 1.5x - 2\).
Beim zweiten zuerst \(3x\) auf die andere Seite, dann durch \(-2\) teilen — dabei kehren sich beide Vorzeichen um.
-
0c(3 P)Welchen Ausgang hat jede dieser Gleichungen: \(2x + 3 = x + 5\), \(2x + 3 = 2x + 5\), \(2x + 3 = 2x + 3\)?
Lösung
Die erste hat genau eine Lösung (\(x = 2\)). Bei der zweiten fällt \(x\) weg und es bleibt \(3 = 5\) — eine falsche Aussage, also \(L = \{\ \}\). Bei der dritten bleibt \(3 = 3\) — wahr, also \(L = \mathbb{R}\).
Genau diese drei Ausgänge kommen in Kapitel 2 wieder, dann für ein ganzes System.
-
0d(2 P)Warum genügt es nicht, ein Paar in nur eine der beiden Gleichungen einzusetzen?
Lösung
Jede einzelne Gleichung hat unendlich viele Lösungspaare — sie beschreibt eine ganze Gerade. Gesucht ist das Paar, das auf beiden Geraden liegt.
Die vier Wege
Du löst ein System grafisch, durch Einsetzen, durch Gleichsetzen und durch Addition — und wählst das Verfahren nach der Form des Systems aus.
Alle vier führen zum selben Paar. Sie unterscheiden sich nur darin, wie sie eine der beiden Unbekannten loswerden — denn eine Gleichung mit einer Unbekannten kannst du schon lösen.
Weg 1 — grafisch
Jede Gleichung beschreibt eine Gerade. Beide nach \(y\) auflösen, ins selbe Koordinatensystem zeichnen, den Schnittpunkt ablesen. Das Bild macht sichtbar, worum es geht — für die Rechnung taugt es nur bei glatten Werten.
Bei krummen Lösungen liest man höchstens eine Näherung ab. Die grafische Lösung erklärt, sie beweist nicht. Die Probe gehört immer dazu.
Weg 2 — Einsetzverfahren
Eine Gleichung nach einer Unbekannten auflösen, den Term in die andere Gleichung einsetzen:
- System \(y = 3x - 5\) und \(2x + y = 5\)
- Einsetzen \(2x + (3x - 5) = 5\)
- Auflösen \(5x = 10 \ \Longrightarrow \ x = 2\)
- Zurücksetzen \(y = 3 \cdot 2 - 5 = 1\)
- Probe \(2 \cdot 2 + 1 = 5\) ✓ — Lösung \((2 \mid 1)\)
Weg 3 — Gleichsetzverfahren
Stehen beide Gleichungen schon nach derselben Unbekannten aufgelöst da, setzt man die rechten Seiten gleich:
- System \(y = 2x - 1\) und \(y = -x + 5\)
- Gleichsetzen \(2x - 1 = -x + 5\)
- Auflösen \(3x = 6 \ \Longrightarrow \ x = 2\)
- Zurücksetzen \(y = 2 \cdot 2 - 1 = 3\)
- Probe \(-2 + 5 = 3\) ✓ — Lösung \((2 \mid 3)\)
Es ist genau das grafische Verfahren, nur gerechnet statt gezeichnet: Beide Geraden haben an der Schnittstelle denselben \(y\)-Wert.
Weg 4 — Additionsverfahren
Beide Gleichungen so aufeinander addieren, dass eine Unbekannte wegfällt. Passen die Vorzeichen schon, geht es sofort:
- System \(3x + 2y = 16\) und \(5x - 2y = 8\)
- Addieren \(8x = 24 \ \Longrightarrow \ x = 3\)
- Zurücksetzen \(3 \cdot 3 + 2y = 16 \ \Longrightarrow \ y = 3.5\)
- Probe \(5 \cdot 3 - 2 \cdot 3.5 = 8\) ✓ — Lösung \((3 \mid 3.5)\)
Passen sie nicht, multipliziert man vorher eine Gleichung — oder beide — mit einer Zahl:
- System \(2x + 3y = 13\) und \(4x - y = 5\)
- Zweite \(\cdot\, 3\) \(12x - 3y = 15\)
- Addieren \(14x = 28 \ \Longrightarrow \ x = 2\)
- Zurücksetzen \(4 \cdot 2 - y = 5 \ \Longrightarrow \ y = 3\)
- Probe \(2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 13\) ✓ — Lösung \((2 \mid 3)\)
Gleichsetzen, wenn beide Gleichungen schon nach derselben Unbekannten aufgelöst sind.
Einsetzen, wenn eine Unbekannte allein steht oder den Faktor 1 hat.
Addition, wenn beide Gleichungen in der Form \(ax + by = c\) dastehen — besonders, wenn die Vorzeichen schon passen.
Grafisch, um zu verstehen, was da geschieht — nicht, um ein Resultat zu erzeugen.
Selbsttest 1 — Die vier Wege · 16 P
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1a(3 P)Einsetzverfahren: \(y = 3x - 5\), \(2x + y = 5\)
Lösung
\(2x + 3x - 5 = 5\), also \(x = 2\) und \(y = 1\). Lösung \((2 \mid 1)\).
-
1b(3 P)Gleichsetzverfahren: \(y = 2x - 1\), \(y = -x + 5\)
Lösung
\(2x - 1 = -x + 5\), also \(3x = 6\), \(x = 2\) und \(y = 3\). Lösung \((2 \mid 3)\).
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1c(3 P)Additionsverfahren: \(3x + 2y = 16\), \(5x - 2y = 8\)
Lösung
Addieren ergibt \(8x = 24\), also \(x = 3\) und \(y = 3.5\). Lösung \((3 \mid 3.5)\).
Nicht jede Lösung ist ganzzahlig — das ist kein Rechenfehler.
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1d(4 P)Additionsverfahren mit Vorbereitung: \(2x + 3y = 13\), \(4x - y = 5\)
Lösung
Zweite Gleichung mal 3: \(12x - 3y = 15\). Addieren: \(14x = 28\), also \(x = 2\) und \(y = 3\). Lösung \((2 \mid 3)\).
Man hätte auch die erste mit 2 multiplizieren und subtrahieren können — dasselbe Ergebnis, ein Schritt mehr.
-
1e(3 P)Welches Verfahren drängt sich auf? (i) \(y = 4x\), \(3x + y = 14\) — (ii) \(y = x + 1\), \(y = 3x - 5\) — (iii) \(4x + 3y = 10\), \(4x - 3y = 2\)
Lösung
(i) Einsetzen — \(y\) steht schon allein. (ii) Gleichsetzen — beide sind nach \(y\) aufgelöst. (iii) Addition — die \(3y\) heben sich ohne Vorbereitung weg.
Wie viele Lösungen?
Du erkennst an der Rechnung und am Bild, ob ein System genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen hat.
Es sind dieselben drei Ausgänge wie bei einer einzelnen linearen Gleichung — nur bekommen sie hier ein Bild dazu:
| Beim Rechnen bleibt | Lösungen | im Bild |
|---|---|---|
| ein Wert für \(x\) | genau eine | die Geraden schneiden sich |
| eine falsche Aussage | keine | die Geraden sind parallel |
| eine wahre Aussage | unendlich viele | es ist zweimal dieselbe Gerade |
- System \(x + y = 4\) und \(2x + 2y = 10\)
- Erste \(\cdot\, 2\) \(2x + 2y = 8\)
- Vergleich links dasselbe, rechts \(8 \neq 10\)
- Ergebnis \(L = \{\ \}\) — parallele Geraden
- System \(x + y = 4\) und \(2x + 2y = 8\)
- Erste \(\cdot\, 2\) \(2x + 2y = 8\) — Zeile für Zeile dieselbe Gleichung
- Ergebnis jedes Paar auf der Geraden \(y = -x + 4\) ist Lösung
Im dritten Fall ist die zweite Gleichung ein Vielfaches der ersten — sie sagt nichts Neues. Wer das übersieht, sucht eine einzelne Lösung, die es gar nicht als einzelne gibt.
Selbsttest 2 — Wie viele Lösungen? · 11 P
-
2a(3 P)\(x + y = 4\), \(2x + 2y = 8\)
Lösung
Die zweite ist das Doppelte der ersten — unendlich viele Lösungen, nämlich alle Paare auf \(y = -x + 4\).
-
2b(3 P)\(x + y = 4\), \(2x + 2y = 10\)
Lösung
Verdoppelt man die erste, steht links dasselbe, rechts aber \(8\) statt \(10\) — eine falsche Aussage. \(L = \{\ \}\), die Geraden sind parallel.
-
2c(3 P)\(x + y = 4\), \(x - y = 0\)
Lösung
Addieren: \(2x = 4\), also \(x = 2\) und \(y = 2\). Genau eine Lösung, \((2 \mid 2)\).
-
2d(2 P)Beim Lösen fällt \(x\) weg und es bleibt \(0 = 0\). Was heisst das — und was hättest du im Bild gesehen?
Lösung
Eine wahre Aussage: unendlich viele Lösungen. Im Bild lägen die beiden Geraden übereinander — man sähe nur eine.
Mehr als zwei
Du führst ein System mit drei Variablen auf zwei zurück und löst ein 2×2-System mit sys-solv am Rechner.
Bei drei Unbekannten braucht es drei Gleichungen. Neu ist nichts: Man wählt eine Unbekannte, eliminiert sie aus zwei Paaren von Gleichungen und steht dann vor einem gewöhnlichen 2×2-System.
- System \(x + y + z = 6\), \(2x - y + z = 3\), \(x + 2y - z = 2\)
- (I) + (III) \(2x + 3y = 8\)
- (II) + (III) \(3x + y = 5\)
- 2×2 lösen \(x = 1\), \(y = 2\)
- Zurücksetzen in (I) \(1 + 2 + z = 6 \ \Longrightarrow \ z = 3\)
- Probe alle drei Gleichungen gehen auf — Lösung \((1 \mid 2 \mid 3)\)
Entscheidend ist, aus beiden Paaren dieselbe Unbekannte zu entfernen. Sonst steht am Schluss kein 2×2-System da, sondern wieder eines mit drei Unbekannten.
sys-solv will die Koeffizienten in der Form \(ax + by = c\) — das Umformen bleibt Handarbeit. Und bei parallelen oder deckungsgleichen Geraden meldet er einen Fehler oder eine Sonderausgabe statt einer Lösung; welcher der beiden Fälle vorliegt, musst du selbst entscheiden.
Selbsttest 3 — Mehr als zwei · 10 P
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3a(5 P)Löse: \(x + y + z = 6\), \(2x - y + z = 3\), \(x + 2y - z = 2\)
Lösung
(I) + (III) ergibt \(2x + 3y = 8\), (II) + (III) ergibt \(3x + y = 5\). Daraus \(x = 1\), \(y = 2\), und aus (I) dann \(z = 3\). Lösung \((1 \mid 2 \mid 3)\).
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3b(3 P)Löse \(3x + 2y = 16\), \(5x - 2y = 8\) mit
sys-solvund vergleiche mit deinem Ergebnis aus Selbsttest 1c.Lösung
Der Rechner zeigt \(x = 3\) und \(y = 3.5\) — dasselbe wie von Hand.
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3c(2 P)Warum eliminiert man aus beiden Gleichungspaaren dieselbe Unbekannte?
Lösung
Nur dann enthalten beide Ergebnisgleichungen dieselben zwei restlichen Unbekannten und bilden zusammen ein lösbares 2×2-System. Sonst stehen wieder drei verschiedene Unbekannte da.
Gerade trifft Parabel
Du löst ein System aus einer linearen und einer quadratischen Gleichung und deutest die Anzahl der Lösungen als Lage von Gerade und Parabel.
Ist eine der beiden Gleichungen quadratisch, ändert sich am Verfahren nichts — man setzt gleich. Nur steht danach eine quadratische Gleichung da statt einer linearen, und die löst man wie im Leitprogramm zuvor.
- System \(y = x^2\) und \(y = 2x + 3\)
- Gleichsetzen \(x^2 = 2x + 3\)
- Auf null bringen \(x^2 - 2x - 3 = 0\)
- Faktorisieren \((x - 3)(x + 1) = 0\)
- \(y\) bestimmen \(x = 3 \Rightarrow y = 9\); \(x = -1 \Rightarrow y = 1\)
- Lösung zwei Punkte: \((3 \mid 9)\) und \((-1 \mid 1)\)
\(D \gt 0\): die Gerade schneidet die Parabel in zwei Punkten. \(D = 0\): sie berührt sie in einem. \(D \lt 0\): sie geht daran vorbei.
Gesucht sind Punkte, nicht \(x\)-Werte. Wer bei \(x = 3\) und \(x = -1\) aufhört, hat die halbe Antwort. Zurücksetzen in die lineare Gleichung ist dabei die weniger fehleranfällige Wahl.
Selbsttest 4 — Gerade trifft Parabel · 12 P
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4a(4 P)\(y = x^2 - 4\) und \(y = x - 2\)
Lösung
\(x^2 - 4 = x - 2\), also \(x^2 - x - 2 = 0\) und \((x-2)(x+1) = 0\). Punkte: \((2 \mid 0)\) und \((-1 \mid -3)\).
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4b(4 P)\(y = x^2\) und \(y = 2x - 1\). Wie viele gemeinsame Punkte gibt es?
Lösung
\(x^2 - 2x + 1 = 0\), also \((x-1)^2 = 0\) und \(D = 0\). Genau ein Punkt: \((1 \mid 1)\) — die Gerade berührt die Parabel.
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4c(2 P)\(y = x^2 + 1\) und \(y = -1\)
Lösung
\(x^2 + 2 = 0\), also \(x^2 = -2\) — keine reelle Lösung. Die Gerade verläuft unterhalb der Parabel, es gibt keinen gemeinsamen Punkt.
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4d(2 P)Warum genügt es nicht, die \(x\)-Werte anzugeben?
Lösung
Gesucht sind die gemeinsamen Punkte zweier Kurven. Ein Punkt hat zwei Koordinaten; ohne \(y\) ist die Antwort unvollständig.
Gesamttest
Ohne Taschenrechner. Gib die Lösung als Zahlenpaar \((x \mid y)\) an und mache bei jeder Aufgabe die Probe.
Teil A · Die Verfahren (10 Punkte)
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G1(3 P)Einsetzverfahren: \(y = 2x - 3\), \(3x + y = 7\)
Lösung
\(3x + 2x - 3 = 7\), also \(5x = 10\), \(x = 2\) und \(y = 1\). Lösung \((2 \mid 1)\).
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G2(3 P)Gleichsetzverfahren: \(y = 4x - 7\), \(y = x + 2\)
Lösung
\(4x - 7 = x + 2\), also \(3x = 9\), \(x = 3\) und \(y = 5\). Lösung \((3 \mid 5)\).
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G3(4 P)Additionsverfahren: \(2x + 3y = 12\), \(3x - 3y = 3\)
Lösung
Addieren: \(5x = 15\), also \(x = 3\). Einsetzen: \(6 + 3y = 12\), also \(y = 2\). Lösung \((3 \mid 2)\).
Die \(3y\) heben sich ohne Vorbereitung weg — darum Addition.
Teil B · Anzahl und Deutung (6 Punkte)
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G4(3 P)Wie viele Lösungen hat \(2x - y = 3\), \(4x - 2y = 6\)? Begründe geometrisch.
Lösung
Die zweite Gleichung ist das Doppelte der ersten — unendlich viele Lösungen. Beide beschreiben dieselbe Gerade \(y = 2x - 3\); sie liegen übereinander.
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G5(3 P)Wie viele Lösungen hat \(2x - y = 3\), \(4x - 2y = 10\)? Begründe geometrisch.
Lösung
Verdoppelt man die erste, steht links dasselbe, rechts aber \(6\) statt \(10\) — falsche Aussage, \(L = \{\ \}\). Die Geraden haben dieselbe Steigung, aber verschiedene Achsenabschnitte: sie sind parallel.
Teil C · Erweiterungen (8 Punkte)
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G6(4 P)\(x + y + z = 4\), \(2x - y + z = 8\), \(x + 3y - 2z = -7\)
Lösung
\(z\) eliminieren: (II) \(-\) (I) ergibt \(x - 2y = 4\); (III) \(+\ 2 \cdot\) (I) ergibt \(3x + 5y = 1\). Aus der ersten folgt \(x = 4 + 2y\), eingesetzt: \(3(4 + 2y) + 5y = 1\), also \(11y = -11\) und \(y = -1\). Damit \(x = 2\) und aus (I) \(z = 3\). Lösung \((2 \mid -1 \mid 3)\).
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G7(4 P)\(y = x^2 - 1\) und \(y = x + 1\). Gib die gemeinsamen Punkte an.
Lösung
\(x^2 - 1 = x + 1\), also \(x^2 - x - 2 = 0\) und \((x-2)(x+1) = 0\). Punkte: \((2 \mid 3)\) und \((-1 \mid 0)\).
| 21 – 24 P | Sitzt. Du wählst das Verfahren nach der Form des Systems und deutest die Anzahl der Lösungen sicher. |
| 16 – 20 P | Gut. Meist hakt es beim Additionsverfahren mit Vorbereitung — Kapitel 1, letztes Beispiel, nochmals nachrechnen. |
| 10 – 15 P | Die Verfahren sind da, die Deutung noch nicht. Kapitel 2 wiederholen und den Clip dazu nochmals schauen. |
| 0 – 9 P | Zurück zu Kapitel 1. Jedes der vier Beispiele selber ausschreiben, mit Probe. |