begreifbar.ch · Leitprogramm

Potenzen

Vom natürlichen über den ganzzahligen zum rationalen Exponenten — in fünf Kapiteln, mit Clips und Selbsttests. Angelegt für zwei Lektionen.

Grundlagenfach 1.4 → Schwerpunktfach 1.2

So arbeitest du mit diesem Leitprogramm

  1. Clip schauen. Jedes Kapitel beginnt mit einem Clip von einer Minute. Er zeigt den Gedankengang, der Text darunter macht ihn vollständig.
  2. Text lesen und mitrechnen. Die Beispiele stehen mit Zwischenschritten da. Rechne sie auf einem Blatt nach, bevor du weiterliest.
  3. Selbsttest lösen — zuerst ohne Lösung. Erst rechnen, dann aufklappen. Wer die Lösung vorher liest, verwechselt Verstehen mit Wiedererkennen.
  4. Hakenfeld setzen. Wenn ein Selbsttest sitzt, hakst du ihn oben rechts im Testkopf ab. Der Balken links zeigt, wo du stehst.
  5. Gesamttest am Schluss. 24 Punkte, ohne Taschenrechner, in etwa 20 Minuten. Die Punktzahl vor jeder Aufgabe zeigt dir, wie viel Rechnung dahintersteckt.
  6. Zwei Lektionen, sechs Blöcke. Lektion 1 führt von \(\mathbb{N}\) nach \(\mathbb{Z}\), Lektion 2 nach \(\mathbb{Q}\) und zum Test. Was in der Lektion nicht fertig wird, ist Hausaufgabe.
Lektion 1Von \(\mathbb{N}\) nach \(\mathbb{Z}\)
Kapitel 0 Grundlagenfach 1.4 ≈ 10 min

Vorwissen

Du schreibst Produkte gleicher Faktoren als Potenz, kennst den Unterschied zwischen \(-3^2\) und \((-3)^2\) und weisst, dass die Quadratwurzel das Quadrieren rückgängig macht.

Eine Potenz ist eine Kurzschreibweise für ein Produkt aus lauter gleichen Faktoren:

\[ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n\ \text{Faktoren}} \qquad n \in \mathbb{N},\ n \geq 1 \]

Dabei heisst \(a\) die Basis und \(n\) der Exponent. Alles, was in diesem Leitprogramm folgt, ist die Antwort auf eine einzige Frage: Was soll \(a^n\) bedeuten, wenn \(n\) keine natürliche Zahl mehr ist?

Die zwei Klassiker

Die Potenz bindet stärker als das Vorzeichen: \(-3^2 = -(3^2) = -9\), aber \((-3)^2 = 9\).

Die Wurzel ist per Definition nie negativ: \(\sqrt{a^2} = |a|\), nicht einfach \(a\). Für \(a = -5\) ist \(\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5\).

Selbsttest 0 — Vorwissen · 15 P

  1. 0a(2 P)Schreibe als Potenz: \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\) und \(x \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y\).
    Lösung

    \(2^5 = 32\) und \(x^3 y^2\).

  2. 0b(4 P)Berechne ohne Rechner: \(3^4\), \((-2)^3\), \(-2^4\), \((-2)^4\).
    Lösung

    \(81\), \(-8\), \(-16\), \(16\).

    Bei \(-2^4\) wird nur die 2 potenziert, das Minus bleibt aussen stehen.

  3. 0c(3 P)Berechne: \(\sqrt{49}\), \(\sqrt{0.25}\), \(\sqrt{\tfrac{9}{16}}\).
    Lösung

    \(7\), \(0.5\), \(\tfrac{3}{4}\).

  4. 0d(2 P)Setze \(x = 3\) ein und vergleiche \((2x)^3\) mit \(2x^3\).
    Lösung

    \((2 \cdot 3)^3 = 6^3 = 216\), aber \(2 \cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54\).

    Ohne Klammer wird nur \(x\) potenziert.

  5. 0e(2 P)Berechne \(\left(\tfrac{1}{2}\right)^3\) und \(0.1^2\).
    Lösung

    \(\tfrac{1}{8}\) und \(0.01\).

  6. 0f(2 P)Warum ist \(\sqrt{x^2} = |x|\) und nicht \(x\)? Begründe an einem Zahlenbeispiel.
    Lösung

    Für \(x = -5\): \(\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = |-5|\). Das Quadrieren löscht das Vorzeichen, die Wurzel kann es nicht zurückholen — sie liefert immer den nichtnegativen Wert.

Kapitel 1 Grundlagenfach 1.4 ≈ 12 min

Potenzregeln mit Exponent aus \(\mathbb{N}\)

Du leitest die fünf Potenzgesetze durch Ausschreiben her und wendest sie auf Zahlen und auf Terme an.

Kein Gesetz muss auswendig gelernt werden, solange man es in zehn Sekunden herleiten kann. Schreibe die Potenzen als Produkt aus und zähle die Faktoren:

\[ a^2 \cdot a^3 = (a \cdot a) \cdot (a \cdot a \cdot a) = a^5 \]

Zwei Faktoren plus drei Faktoren sind fünf Faktoren — deshalb addiert man die Exponenten, wenn man Potenzen mit gleicher Basis multipliziert. Genau gleich entstehen die übrigen vier Gesetze.

Die fünf Potenzgesetze
Nr.Gesetzgilt, wenn
P1\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)gleiche Basis
P2\(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)gleiche Basis, \(a \neq 0\)
P3\((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)Potenz einer Potenz
P4\(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n\)gleicher Exponent
P5\(\dfrac{a^n}{b^n} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}\)gleicher Exponent, \(b \neq 0\)

P1 bis P3 betreffen die Basis: sie muss gleich sein. P4 und P5 betreffen den Exponenten: er muss gleich sein. Wer weiss, welche der beiden Grössen übereinstimmt, hat die Regel schon fast gefunden.

Beispiele mit Zahlen
  • \(2^3 \cdot 2^5 = 2^{8} = 256\) P1
  • \(\dfrac{3^7}{3^5} = 3^{2} = 9\) P2
  • \((5^2)^3 = 5^{6} = 15\,625\) P3
  • \(2^4 \cdot 5^4 = (2 \cdot 5)^4 = 10^4 = 10\,000\) P4 — hier spart die Regel die ganze Rechnerei
  • \(\dfrac{12^3}{4^3} = \left(\dfrac{12}{4}\right)^3 = 3^3 = 27\) P5
Beispiele mit Termen
  • \(x^2 \cdot x^5 = x^{7}\) P1
  • \((3a^2b)^3 = 3^3 \cdot a^{6} \cdot b^3 = 27a^6b^3\) P4, dann P3 — der Faktor 3 wird mitpotenziert
  • \(\dfrac{x^5y^3}{x^2y} = x^{3}y^{2}\) P2, für jede Basis einzeln
  • \((2x^3)^2 \cdot (3x)^3 = 4x^6 \cdot 27x^3 = 108x^{9}\) erst jede Klammer, dann P1
  • \(\dfrac{(a^2b^3)^2 \cdot (ab)^3}{a^3b^4} = \dfrac{a^4b^6 \cdot a^3b^3}{a^3b^4} = a^{4}b^{5}\) P3, P1, P2
Wofür es kein Gesetz gibt

Alle fünf Regeln handeln von Mal und Geteilt. Für Plus und Minus gibt es keine: \(x^2 + x^3\) lässt sich nicht zusammenfassen, und \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\). Probe mit \(a = 3\), \(b = 4\): links \(49\), rechts \(25\).

Zusammenfassen darfst du nur gleichartige Potenzen: \(3x^2 + 4x^2 = 7x^2\). Hier ist \(x^2\) der gemeinsame Faktor, es wird nichts potenziert, sondern ausgeklammert.

Selbsttest 1 — Exponent aus \(\mathbb{N}\) · 14 P

  1. 1a(1 P)\(7^3 \cdot 7^2\)
    Lösung

    \(7^5 = 16\,807\)

  2. 1b(1 P)\(\dfrac{6^5}{6^3}\)
    Lösung

    \(6^2 = 36\)

  3. 1c(1 P)\((2^3)^2 \cdot 2\)
    Lösung

    \(2^6 \cdot 2^1 = 2^7 = 128\)

  4. 1d(2 P)\(2^5 \cdot 5^5\) — ohne die Einzelpotenzen auszurechnen.
    Lösung

    \((2 \cdot 5)^5 = 10^5 = 100\,000\)

    P4 gelesen von rechts nach links: gleicher Exponent, also Basen zusammenziehen.

  5. 1e(1 P)\(u^4 \cdot u^7\)
    Lösung

    \(u^{11}\)

  6. 1f(2 P)\((2x^2y)^4\)
    Lösung

    \(2^4 \cdot x^8 \cdot y^4 = 16x^8y^4\)

  7. 1g(2 P)\(\dfrac{15a^5b^2}{3a^2b^2}\)
    Lösung

    \(5a^3\)

    \(b^{2-2} = b^0 = 1\) — der Vorgriff auf Kapitel 2.

  8. 1h(2 P)\(\dfrac{(x^3)^2 \cdot x}{x^4}\)
    Lösung

    \(\dfrac{x^6 \cdot x}{x^4} = \dfrac{x^7}{x^4} = x^3\)

  9. 1i(2 P)Zwei Ausdrücke: \(3x^2 \cdot 4x^3\) und \(3x^2 + 4x^3\). Vereinfache, was sich vereinfachen lässt.
    Lösung

    \(3x^2 \cdot 4x^3 = 12x^5\). Die Summe \(3x^2 + 4x^3\) bleibt stehen; höchstens \(x^2\) lässt sich ausklammern: \(x^2(3 + 4x)\).

Kapitel 2 Grundlagenfach 1.4 ≈ 15 min

Potenzregeln mit Exponent aus \(\mathbb{Z}\)

Du erklärst, warum \(a^0 = 1\) und \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) gelten müssen, und rechnest mit negativen Exponenten in Zahlen und Termen.

Ausschreiben hilft jetzt nicht mehr: ein Produkt mit \(-3\) Faktoren gibt es nicht. Die Definition kommt deshalb aus einer Forderung — P1 bis P5 sollen weitergelten. Zwei Wege führen zum gleichen Ergebnis.

Weg 1: die Treppe. Jede Stufe nach unten heisst «durch 2»:

\[ 2^3 = 8, \quad 2^2 = 4, \quad 2^1 = 2, \quad 2^0 = 1, \quad 2^{-1} = \tfrac{1}{2}, \quad 2^{-2} = \tfrac{1}{4} \]

Weg 2: P2 auf einen Fall anwenden, den man auch direkt kürzen kann.

\[ \frac{2^3}{2^5} \overset{\text{P2}}{=} 2^{-2} \qquad\text{und}\qquad \frac{2^3}{2^5} \overset{\text{kürzen}}{=} \frac{1}{2^2} \quad\Longrightarrow\quad 2^{-2} = \frac{1}{2^2} \]

Definition für ganzzahlige Exponenten

\[ a^0 = 1 \quad (a \neq 0), \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^{\,n}} \quad (a \neq 0) \]

Die fünf Gesetze P1 bis P5 gelten damit unverändert für alle \(m, n \in \mathbb{Z}\). Es kommt keine neue Regel dazu — es wird nur der Bereich erweitert, in dem die alten gelten.

Der praktische Merksatz

Ein Faktor wechselt beim Wandern über den Bruchstrich das Vorzeichen seines Exponenten:

\[ \frac{x^{-3}y^2}{z^{-1}} = \frac{y^2 z}{x^3} \]

Achtung: das gilt für Faktoren, nicht für Summanden. In \(\dfrac{1}{x^{-2}+1}\) darf gar nichts wandern.

Beispiele mit Zahlen
  • \(2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}\)
  • \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-2} = \left(\dfrac{4}{3}\right)^{2} = \dfrac{16}{9}\) negativer Exponent bei einem Bruch: Kehrwert bilden
  • \(2^{-3} \cdot 2^{5} = 2^{2} = 4\) P1, jetzt auch mit negativen Exponenten
  • \((2^{-2})^{-3} = 2^{6} = 64\) P3 — minus mal minus gibt plus
  • \(5^0 = 1\), \((-7)^0 = 1\), \(\left(\tfrac{2}{9}\right)^0 = 1\) nur \(0^0\) bleibt undefiniert
  • \((4 \cdot 10^{5}) \cdot (2.5 \cdot 10^{-8}) = 10 \cdot 10^{-3} = 10^{-2} = 0.01\) so rechnet man in wissenschaftlicher Notation
Beispiele mit Termen
  • \(x^{-4} = \dfrac{1}{x^4}\)
  • \(\dfrac{2x^{-3}}{8x^{-5}} = \dfrac{1}{4}\,x^{-3-(-5)} = \dfrac{x^2}{4}\) P2, Vorzeichen sorgfältig
  • \((3a^{-2}b^3)^{-2} = 3^{-2}a^{4}b^{-6} = \dfrac{a^4}{9b^6}\) P3 auf jeden Faktor, dann alles Negative in den Nenner
  • \(\dfrac{x^2y^{-3}}{x^{-1}y^{2}} = x^{3}y^{-5} = \dfrac{x^3}{y^5}\) P2 für jede Basis
  • \(\left(\dfrac{2a}{b^2}\right)^{-3} = \left(\dfrac{b^2}{2a}\right)^{3} = \dfrac{b^6}{8a^3}\) Kehrwert zuerst, das spart Vorzeichenfehler

Selbsttest 2 — Exponent aus \(\mathbb{Z}\) · 15 P

  1. 2a(1 P)\(4^{-2}\)
    Lösung

    \(\dfrac{1}{16}\)

  2. 2b(2 P)\(\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-3}\)
    Lösung

    \(\left(\dfrac{5}{2}\right)^{3} = \dfrac{125}{8}\)

  3. 2c(1 P)\(10^{7} \cdot 10^{-4}\)
    Lösung

    \(10^{3} = 1000\)

  4. 2d(2 P)Vergleiche \((-3)^{-2}\) und \(-3^{-2}\).
    Lösung

    \((-3)^{-2} = \dfrac{1}{(-3)^2} = \dfrac{1}{9}\), aber \(-3^{-2} = -\dfrac{1}{9}\).

  5. 2e(1 P)Schreibe ohne negative Exponenten: \(12x^{-3}\)
    Lösung

    \(\dfrac{12}{x^3}\)

    Nur \(x\) wandert, die 12 bleibt im Zähler.

  6. 2f(2 P)\((a^{-3})^{2} \cdot a^{8}\)
    Lösung

    \(a^{-6} \cdot a^{8} = a^{2}\)

  7. 2g(2 P)\(\dfrac{5x^{-2}y}{20x\,y^{-3}}\)
    Lösung

    \(\dfrac{1}{4}\,x^{-3}y^{4} = \dfrac{y^4}{4x^3}\)

  8. 2h(2 P)\((2a^{-1}b^{2})^{-3}\)
    Lösung

    \(2^{-3}a^{3}b^{-6} = \dfrac{a^3}{8b^6}\)

  9. 2i(2 P)Ein Mikrocontroller braucht \(3 \cdot 10^{-9}\) Sekunden pro Takt. Wie lange dauern \(2 \cdot 10^{6}\) Takte? Antwort in wissenschaftlicher Notation und in Millisekunden.
    Lösung

    \((3 \cdot 10^{-9}) \cdot (2 \cdot 10^{6}) = 6 \cdot 10^{-3}\ \text{s} = 6\ \text{ms}\)

Lektion 2Weiter nach \(\mathbb{Q}\) — und der Test
Kapitel 3 Schwerpunktfach 1.2 ≈ 18 min

Potenzregeln mit Exponent aus \(\mathbb{Q}\)

Du übersetzt zwischen Wurzel- und Potenzschreibweise und rechnest mit rationalen Exponenten in Zahlen und Termen.

Dieselbe Forderung wie in Kapitel 2, nur eine Stufe weiter: P1 bis P5 sollen auch für Bruchexponenten gelten. Dann ist \(a^{1/2}\) bereits festgelegt, denn nach P3 gilt

\[ \left(a^{\frac{1}{2}}\right)^{2} = a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = a^{1} = a \]

Gesucht ist also die Zahl, die quadriert \(a\) ergibt — das ist die Quadratwurzel. Mit \(n\) statt 2 ergibt sich die \(n\)-te Wurzel.

Definition für rationale Exponenten

\[ a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}, \qquad a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^{m} \qquad (a > 0,\ n \in \mathbb{N},\ n \geq 2) \]

Die Bedingung \(a > 0\) ist kein Schönheitsfehler, sondern nötig: \((-8)^{1/3}\) und \((-8)^{2/6}\) müssten sonst dasselbe sein, das eine gibt aber \(-2\) und das andere \(+2\). In diesem Kapitel sind alle Basen positiv.

Der Nenner des Exponenten ist der Wurzelexponent, der Zähler die Potenz. \(16^{3/4}\) heisst also: vierte Wurzel ziehen, dann hoch 3 — und die Reihenfolge ist frei wählbar. Zuerst die Wurzel zu ziehen ist fast immer die kleinere Rechnung.

Beispiele mit Zahlen
  • \(9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3\)
  • \(8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2\)
  • \(16^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{16}\right)^{3} = 2^3 = 8\) erst die Wurzel, dann die Potenz
  • \(27^{-\frac{2}{3}} = \dfrac{1}{\left(\sqrt[3]{27}\right)^{2}} = \dfrac{1}{9}\) Kapitel 2 und 3 kombiniert
  • \(32^{0.4} = 32^{\frac{2}{5}} = \left(\sqrt[5]{32}\right)^{2} = 2^2 = 4\) Dezimalexponent zuerst in einen Bruch verwandeln
  • \(\left(\tfrac{1}{16}\right)^{-\frac{1}{2}} = 16^{\frac{1}{2}} = 4\)
Beispiele mit Termen (\(x, a, b > 0\))
  • \(\sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{x^5}\) P1 mit Bruchexponenten
  • \(\left(x^{\frac{3}{4}}\right)^{8} = x^{6}\) P3
  • \(\dfrac{\sqrt{x^3}}{\sqrt{x}} = \dfrac{x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{1} = x\) P2
  • \((16x^{8})^{\frac{3}{4}} = 16^{\frac{3}{4}} \cdot x^{6} = 8x^{6}\) P4, dann P3
  • \(\sqrt[3]{27a^6b^3} = (27)^{\frac{1}{3}}a^{2}b = 3a^2b\)

Selbsttest 3 — Exponent aus \(\mathbb{Q}\) · 13 P

  1. 3a(1 P)\(25^{\frac{1}{2}}\)
    Lösung

    \(5\)

  2. 3b(2 P)\(64^{\frac{2}{3}}\)
    Lösung

    \(\left(\sqrt[3]{64}\right)^{2} = 4^2 = 16\)

  3. 3c(2 P)\(81^{-\frac{3}{4}}\)
    Lösung

    \(\dfrac{1}{\left(\sqrt[4]{81}\right)^{3}} = \dfrac{1}{27}\)

  4. 3d(2 P)\(100^{1.5}\)
    Lösung

    \(100^{\frac{3}{2}} = \left(\sqrt{100}\right)^{3} = 1000\)

  5. 3e(1 P)\(\sqrt[4]{x^{12}}\)
    Lösung

    \(x^{\frac{12}{4}} = x^{3}\)

  6. 3f(1 P)\(x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{5}{3}}\)
    Lösung

    \(x^{\frac{7}{3}}\)

  7. 3g(2 P)\(\left(a^{\frac{1}{2}}b^{2}\right)^{4}\)
    Lösung

    \(a^{2}b^{8}\)

  8. 3h(2 P)\(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}}\) — als eine Wurzel schreiben.
    Lösung

    \(x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{x}\)

Kapitel 4 Schwerpunktfach 1.2 ≈ 20 min

Wurzeln ohne Wurzelgesetze

Du rechnest Wurzelausdrücke, indem du sie in Potenzen mit Bruchexponent übersetzt — ganz ohne eine zweite Regelsammlung.

In vielen Lehrmitteln stehen nach den Potenzgesetzen noch einmal fünf Wurzelgesetze. Sie sind nicht falsch — nur überflüssig. Jedes von ihnen ist ein Potenzgesetz in anderer Schreibweise:

\[ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = a^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{2}} \overset{\text{P4}}{=} (ab)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{ab} \]

Das Verfahren in drei Schritten

1. Jede Wurzel in eine Potenz mit Bruchexponent übersetzen.
2. Mit P1 bis P5 rechnen — den Gesetzen, die du längst kennst.
3. Falls verlangt, das Ergebnis wieder als Wurzel schreiben.

Beispiele
  • \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{2} = (8 \cdot 2)^{\frac{1}{2}} = 16^{\frac{1}{2}} = 4\)
  • \(\sqrt{12} = (4 \cdot 3)^{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{3}\) teilweises Wurzelziehen: Quadratzahl abspalten
  • \(\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt{a} = a^{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}} = a^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{a^5}\) verschiedene Wurzelexponenten — mit Wurzelgesetzen mühsam, mit P1 trivial
  • \(\dfrac{1}{\sqrt{5}} = 5^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{5^{\frac{1}{2}}}{5} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\) Nenner rationalisieren, ohne Zusatzregel
Was auch hier nicht geht

\(\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\). Probe mit \(a = 9\), \(b = 16\): links \(\sqrt{25} = 5\), rechts \(3 + 4 = 7\). Unter der Wurzel darf nur zerlegt werden, was durch Mal verbunden ist.

Selbsttest 4 — Wurzeln als Potenzen · 7 P

  1. 4a(1 P)\(\sqrt{50}\) so weit wie möglich vereinfachen.
    Lösung

    \(\sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\)

  2. 4b(2 P)\(\sqrt[3]{16}\) so weit wie möglich vereinfachen.
    Lösung

    \(16^{\frac{1}{3}} = (2^4)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{4}{3}} = 2 \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2\sqrt[3]{2}\)

  3. 4c(2 P)\(\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\) mit rationalem Nenner schreiben.
    Lösung

    \(2^{-\frac{1}{3}} = \dfrac{2^{\frac{2}{3}}}{2} = \dfrac{\sqrt[3]{4}}{2}\)

    Erweitert wird mit \(2^{2/3}\), damit im Nenner \(2^{1}\) entsteht.

  4. 4d(2 P)\(\sqrt{a^3} \cdot \sqrt{a}\) für \(a > 0\).
    Lösung

    \(a^{\frac{3}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{2}\)

Abschluss≈ 20 min · 24 Punkte

Gesamttest

Ohne Taschenrechner. Alle Variablen sind positiv. Ergebnisse ohne negative Exponenten angeben; Zahlenwerte exakt, nicht gerundet.

Teil A · Zahlen (12 Punkte)

  1. G1(1 P)\(3^4 \cdot 3^{-2}\)
    Lösung

    \(3^{2} = 9\)

  2. G2(1 P)\((2^3)^{-2}\)
    Lösung

    \(2^{-6} = \dfrac{1}{64}\)

  3. G3(1 P)\(\dfrac{5^{-1} \cdot 5^{3}}{5^{2}}\)
    Lösung

    \(5^{-1+3-2} = 5^{0} = 1\)

  4. G4(2 P)\(\left(\dfrac{9}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}\)
    Lösung

    \(\left(\dfrac{4}{9}\right)^{\frac{1}{2}} = \dfrac{2}{3}\)

  5. G5(2 P)\(8^{\frac{2}{3}} + 16^{\frac{1}{2}}\)
    Lösung

    \(4 + 4 = 8\)

    Jeder Summand einzeln — für die Summe gibt es kein Gesetz.

  6. G6(2 P)\(0.5^{-3}\)
    Lösung

    \(\left(\tfrac{1}{2}\right)^{-3} = 2^{3} = 8\)

  7. G7(2 P)\((4 \cdot 10^{5}) \cdot (2.5 \cdot 10^{-8})\), Ergebnis als Dezimalzahl.
    Lösung

    \(10 \cdot 10^{-3} = 10^{-2} = 0.01\)

  8. G8(1 P)\(\dfrac{2^{n+1}}{2^{\,n-1}}\) für eine beliebige ganze Zahl \(n\).
    Lösung

    \(2^{(n+1)-(n-1)} = 2^{2} = 4\) — unabhängig von \(n\).

Teil B · Terme (12 Punkte)

  1. G9(2 P)\(\dfrac{(3x^2y^3)^2}{2xy}\)
    Lösung

    \(\dfrac{9x^4y^6}{2xy} = \dfrac{9}{2}x^{3}y^{5}\)

  2. G10(3 P)\(\dfrac{(a^{-2}b)^{-3}}{(a\,b^{-2})^{2}}\)
    Lösung

    Zähler: \(a^{6}b^{-3}\). Nenner: \(a^{2}b^{-4}\).

    \(a^{6-2}b^{-3-(-4)} = a^{4}b\)

  3. G11(2 P)\(\dfrac{\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{3} \cdot x^{\frac{1}{2}}}{x}\)
    Lösung

    \(\dfrac{x^{\frac{3}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}}{x} = \dfrac{x^{2}}{x} = x\)

  4. G12(2 P)\(\sqrt[3]{8x^{6}y^{9}}\)
    Lösung

    \(8^{\frac{1}{3}}x^{2}y^{3} = 2x^{2}y^{3}\)

  5. G13(2 P)\(\dfrac{\sqrt{18x^{3}}}{\sqrt{2x}}\)
    Lösung

    \(\sqrt{\dfrac{18x^3}{2x}} = \sqrt{9x^{2}} = 3x\)

  6. G14(1 P)Ein Mitschüler schreibt \((a+b)^2 = a^2 + b^2\). Widerlege mit einem Zahlenbeispiel und schreibe die richtige Formel hin.
    Lösung

    Für \(a = 3\), \(b = 4\): links \(49\), rechts \(25\). Richtig ist \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

Selbsteinschätzung
21 – 24 PSitzt. Du kannst zu den Anwendungsaufgaben im Lehrmittel weitergehen.
16 – 20 PGut. Schau dir die Aufgabentypen an, bei denen es geharzt hat, und rechne das entsprechende Kapitel-Beispiel nach.
10 – 15 PDie Gesetze sind da, die Vorzeichen noch nicht. Kapitel 2 wiederholen, Clip nochmals schauen.
0 – 9 PZurück zu Kapitel 1 und dort jedes Beispiel selber ausschreiben, bevor du weitergehst.
Leitprogramm Potenzen · Clips von mathe.begreifbar.ch Raphael Arnold Kohler