So arbeitest du mit diesem Leitprogramm
- Clip schauen. Jedes Kapitel beginnt mit einem Clip von rund einer Minute. Er zeigt den Gedankengang, der Text darunter macht ihn vollständig.
- Text lesen und mitrechnen. Die Beispiele stehen mit Zwischenschritten da. Rechne sie auf einem Blatt nach, bevor du weiterliest.
- Selbsttest lösen — zuerst ohne Lösung. Erst rechnen, dann aufklappen. Wer die Lösung vorher liest, verwechselt Verstehen mit Wiedererkennen.
- Hakenfeld setzen. Sitzt ein Selbsttest, hakst du ihn oben rechts im Testkopf ab. Der Balken links zeigt, wo du stehst.
- Gesamttest am Schluss. 24 Punkte, ohne Taschenrechner, in etwa 20 Minuten.
- Die Reihenfolge ist Absicht. Die Mitternachtsformel kommt erst in Kapitel 2 — weil drei von vier Gleichungen sie gar nicht brauchen. Wer sie zuerst lernt, benutzt sie überall.
Vorwissen
Du bringst eine Gleichung auf die Normalform, faktorisierst einen quadratischen Term und weisst, warum ein Produkt genau dann null ist, wenn einer der Faktoren null ist.
Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, die sich auf diese Form bringen lässt:
\[ ax^2 + bx + c = 0 \qquad a \neq 0 \]
Das \(a \neq 0\) ist keine Formsache: Wäre \(a = 0\), stünde da \(bx + c = 0\) — eine lineare Gleichung. Der erste Schritt bei jeder Aufgabe ist deshalb immer derselbe: alles auf eine Seite, bis rechts eine Null steht. Erst dann sieht man, welcher Fall vorliegt.
Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist:
\[ u \cdot v = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad u = 0 \ \text{ oder } \ v = 0 \]
Darauf beruht das ganze Kapitel 1. Wer eine quadratische Gleichung in ein Produkt verwandeln kann, braucht keine Formel.
Der Satz gilt nur, wenn auf der anderen Seite eine Null steht. Aus \((x-2)(x-3) = 6\) folgt nicht \(x - 2 = 6\) oder \(x - 3 = 6\). Erst ausmultiplizieren, alles auf eine Seite, dann weiter.
Selbsttest 0 — Vorwissen · 13 P
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0a(2 P)Bringe auf Normalform \(ax^2+bx+c=0\): \(3x^2 = 5x - 2\). Nenne \(a\), \(b\) und \(c\).
Lösung
\(3x^2 - 5x + 2 = 0\), also \(a = 3\), \(b = -5\), \(c = 2\).
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0b(3 P)Faktorisiere: \(x^2 - 7x + 12\) und \(2x^2 - 8\).
Lösung
\((x-3)(x-4)\) und \(2(x-2)(x+2)\).
Beim zweiten zuerst die 2 ausklammern, dann die dritte binomische Formel.
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0c(2 P)Löse mit dem Satz vom Nullprodukt: \((x-3)(x+5) = 0\).
Lösung
\(x = 3\) oder \(x = -5\), also \(L = \{-5;\ 3\}\).
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0d(2 P)Löse \(x^2 = 16\). Wie viele Lösungen hat die Gleichung?
Lösung
\(x = 4\) oder \(x = -4\), also \(L = \{-4;\ 4\}\) — zwei Lösungen.
Die Wurzel aus 16 ist nur die 4. Die Gleichung hat trotzdem zwei Lösungen.
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0e(2 P)Warum verlangt man \(a \neq 0\)?
Lösung
Für \(a = 0\) bliebe \(bx + c = 0\) übrig — eine lineare Gleichung mit höchstens einer Lösung. Sie ist nicht quadratisch, und keine der Methoden dieses Leitprogramms passt darauf.
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0f(2 P)Aus \((x-1)(x+4) = 0\) folgt \(x = 1\) oder \(x = -4\). Warum darf man aus \((x-1)(x+4) = 6\) nicht auf \(x-1 = 6\) oder \(x+4 = 6\) schliessen?
Lösung
Der Satz vom Nullprodukt gilt nur für die Null. Sechs lässt sich auf unendlich viele Arten als Produkt schreiben — \(2 \cdot 3\), \(12 \cdot \tfrac{1}{2}\), \(-1 \cdot (-6)\). Aus dem Wert des Produkts folgt nichts über die einzelnen Faktoren.
Die drei Sonderfälle
Du erkennst an der Normalform, ob \(b = 0\), \(c = 0\) oder ein Faktorisieren möglich ist — und löst diese Gleichungen ohne Formel.
Bevor irgendeine Formel ins Spiel kommt, lohnt ein Blick auf die Normalform. Fehlt ein Glied oder lässt sich der Term faktorisieren, ist die Gleichung in zwei Zeilen gelöst.
Fall 1 — \(b = 0\): rein quadratisch
Steht kein einfaches \(x\) da, isoliert man \(x^2\) und zieht die Wurzel — mit beiden Vorzeichen:
- Ausgangslage \(2x^2 - 18 = 0\)
- \(x^2\) isolieren \(2x^2 = 18 \ \Longrightarrow \ x^2 = 9\)
- Wurzel, beide Vorzeichen \(x = \pm 3\)
- Lösungsmenge \(L = \{-3;\ 3\}\)
Je nachdem, was rechts steht, gibt es zwei, eine oder keine Lösung: \(x^2 = 9\) hat zwei, \(x^2 = 0\) hat eine, und \(x^2 = -4\) hat in \(\mathbb{R}\) keine — kein Quadrat einer reellen Zahl ist negativ.
Fall 2 — \(c = 0\): ausklammern
Fehlt das konstante Glied, steckt in beiden Summanden ein \(x\). Ausklammern verwandelt die Gleichung in ein Produkt:
- Ausgangslage \(x^2 - 5x = 0\)
- \(x\) ausklammern \(x(x - 5) = 0\)
- Nullprodukt \(x = 0\) oder \(x - 5 = 0\)
- Lösungsmenge \(L = \{0;\ 5\}\)
Der häufigste Fehler ist, beide Seiten durch \(x\) zu teilen: aus \(x^2 = 5x\) wird dann \(x = 5\) — und \(x = 0\) ist weg. Durch eine Unbekannte darf man nicht teilen, denn sie könnte null sein. Ausklammern verliert nichts.
Fall 3 — faktorisieren statt rechnen
Auch mit allen drei Gliedern geht es oft ohne Formel — wenn sich zwei Zahlen finden lassen, deren Produkt \(c\) und deren Summe \(b\) ergibt:
- Ausgangslage \(x^2 + 2x - 15 = 0\)
- Produkt \(-15\), Summe \(2\) \(5\) und \(-3\)
- Faktorisiert \((x + 5)(x - 3) = 0\)
- Lösungsmenge \(L = \{-5;\ 3\}\)
Das gelingt nur, wenn die Lösungen ganzzahlig oder einfache Brüche sind — also bei Schulaufgaben oft, in der Praxis selten. Findet man die beiden Zahlen nicht in etwa einer halben Minute, nimmt man den Weg aus Kapitel 2.
Selbsttest 1 — Die drei Sonderfälle · 14 P
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1a(2 P)\(2x^2 - 18 = 0\)
Lösung
\(x^2 = 9\), also \(L = \{-3;\ 3\}\).
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1b(2 P)\(3x^2 + 12 = 0\)
Lösung
\(x^2 = -4\), also \(L = \{\ \}\) — in \(\mathbb{R}\) gibt es keine Lösung.
Kein Quadrat einer reellen Zahl ist negativ.
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1c(2 P)\(x^2 - 5x = 0\)
Lösung
\(x(x-5) = 0\), also \(L = \{0;\ 5\}\).
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1d(3 P)\(4x^2 = 6x\)
Lösung
Erst alles auf eine Seite: \(4x^2 - 6x = 0\), dann \(2x(2x - 3) = 0\). Also \(L = \{0;\ 1.5\}\).
Wer durch \(x\) teilt, verliert die Lösung \(x = 0\).
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1e(3 P)\(x^2 + 2x - 15 = 0\)
Lösung
Produkt \(-15\), Summe \(2\): das sind \(5\) und \(-3\). Also \((x+5)(x-3) = 0\) und \(L = \{-5;\ 3\}\).
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1f(2 P)Welchen der drei Fälle erkennst du bei \(x^2 = 7x\), bei \(5x^2 = 45\) und bei \(x^2 - x - 12 = 0\)?
Lösung
\(x^2 = 7x\) → Fall 2 (\(c = 0\), ausklammern). \(5x^2 = 45\) → Fall 1 (\(b = 0\), Wurzel). \(x^2 - x - 12 = 0\) → Fall 3 (faktorisieren: \(-4\) und \(3\)).
Der allgemeine Fall
Du löst jede quadratische Gleichung mit der quadratischen Ergänzung und mit der Lösungsformel, und liest an der Diskriminante ab, wie viele Lösungen es gibt.
Greift keiner der drei Sonderfälle, hilft ein Kunstgriff: Man ergänzt die linke Seite zu einem vollständigen Quadrat. Dann steht wieder Fall 1 da — und den kann man.
- Ausgangslage \(x^2 - 4x - 1 = 0\)
- Konstante nach rechts \(x^2 - 4x = 1\)
- \(\left(\tfrac{b}{2}\right)^2 = 4\) ergänzen \(x^2 - 4x + 4 = 5\)
- Binom rückwärts \((x - 2)^2 = 5\)
- Wurzel, beide Vorzeichen \(x = 2 \pm \sqrt{5}\)
Die quadratische Ergänzung setzt \(a = 1\) voraus. Steht vor \(x^2\) etwas anderes, wird zuerst die ganze Gleichung durch \(a\) geteilt: aus \(3x^2 - 12x + 9 = 0\) wird \(x^2 - 4x + 3 = 0\).
Die Lösungsformel
Führt man dieselbe Rechnung mit Buchstaben statt Zahlen durch, entsteht die Mitternachtsformel — sie ist nichts anderes als die quadratische Ergänzung, ein für alle Mal ausgeführt:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Die Diskriminante entscheidet
Unter der Wurzel steht \(D = b^2 - 4ac\), die Diskriminante. Sie allein bestimmt die Anzahl der Lösungen — man sieht sie, bevor man die Formel zu Ende rechnet:
| Diskriminante | Anzahl Lösungen | weil |
|---|---|---|
| \(D \gt 0\) | zwei | die Wurzel liefert einen Wert, \(\pm\) macht zwei daraus |
| \(D = 0\) | eine (doppelte) | \(\pm 0\) ändert nichts, beide Wege führen zum selben Wert |
| \(D \lt 0\) | keine in \(\mathbb{R}\) | aus einer negativen Zahl lässt sich keine reelle Wurzel ziehen |
- Ausgangslage \(2x^2 + 3x - 2 = 0\)
- Ablesen \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = -2\)
- Diskriminante \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25\)
- Einsetzen \(x = \dfrac{-3 \pm 5}{4}\)
- Lösungsmenge \(L = \{-2;\ 0.5\}\)
\(b\) und \(c\) werden mit ihrem Vorzeichen eingesetzt. Bei \(c = -2\) steht in der Diskriminante \(-4 \cdot 2 \cdot (-2) = +16\) — ein Pluszeichen, obwohl in der Formel ein Minus steht. Wer hier das Vorzeichen verliert, bekommt eine falsche Anzahl Lösungen.
Selbsttest 2 — Der allgemeine Fall · 16 P
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2a(3 P)Löse durch quadratisches Ergänzen: \(x^2 + 6x - 7 = 0\).
Lösung
\(x^2 + 6x = 7\), ergänzen mit \(\left(\tfrac{6}{2}\right)^2 = 9\): \((x+3)^2 = 16\), also \(x + 3 = \pm 4\) und \(L = \{-7;\ 1\}\).
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2b(3 P)Löse mit der Formel: \(x^2 - 5x + 6 = 0\).
Lösung
\(D = 25 - 24 = 1\), also \(x = \dfrac{5 \pm 1}{2}\) und \(L = \{2;\ 3\}\).
Hier wäre Faktorisieren schneller gewesen — Produkt 6, Summe 5.
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2c(3 P)Löse mit der Formel: \(2x^2 + 3x - 2 = 0\).
Lösung
\(D = 9 + 16 = 25\), also \(x = \dfrac{-3 \pm 5}{4}\) und \(L = \{-2;\ 0.5\}\).
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2d(4 P)Bestimme nur die Diskriminante und gib die Anzahl der Lösungen an: \(x^2 - 6x + 9 = 0\) und \(2x^2 + x + 3 = 0\).
Lösung
\(D = 36 - 36 = 0\) → eine (doppelte) Lösung, nämlich \(x = 3\). \(D = 1 - 24 = -23 \lt 0\) → keine reelle Lösung.
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2e(3 P)Löse \(3x^2 - 12x + 9 = 0\) — zuerst normieren.
Lösung
Durch 3 teilen: \(x^2 - 4x + 3 = 0\). Faktorisiert \((x-1)(x-3) = 0\), also \(L = \{1;\ 3\}\).
Nach dem Normieren war es plötzlich Fall 3 — Faktorisieren statt Formel.
Der Rechner
Du löst eine quadratische Gleichung mit poly-solv am TI-30X Pro und weisst, wo der Rechner nicht weiterhilft.
Der Rechner verlangt die Normalform: Er will \(a\), \(b\) und \(c\) — sonst nichts. Das Umformen bleibt also Handarbeit, auch mit Gerät.
Zum Prüfen einer von Hand gerechneten Lösung, und bei Zahlen, die von Hand mühsam wären. Er zeigt beide Lösungen auf einmal.
Exakte Werte. Auf \(x^2 - 4x - 1 = 0\) antwortet er mit \(4.236\ldots\) und \(-0.236\ldots\) — die exakte Lösung \(2 \pm \sqrt{5}\) bekommt man so nicht.
Buchstaben. Steht ein Parameter in der Gleichung, ist der Rechner am Ende. Kapitel 4 zeigt, warum das kein Randfall ist.
Und in der Prüfung steht oft «ohne Hilfsmittel». Der Rechner ersetzt das Verfahren nicht, er kontrolliert es.
Selbsttest 3 — Der Rechner · 7 P
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3a(3 P)Löse \(x^2 - 3x - 10 = 0\) zuerst von Hand, dann mit
poly-solv. Stimmen die Ergebnisse überein?Lösung
\(D = 9 + 40 = 49\), also \(x = \dfrac{3 \pm 7}{2}\) und \(L = \{-2;\ 5\}\). Der Rechner zeigt dieselben beiden Werte.
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3b(2 P)Was zeigt der Rechner bei \(x^2 - 4x - 1 = 0\), und was fehlt an dieser Antwort?
Lösung
Er zeigt rund \(4.236\) und \(-0.236\). Exakt sind die Lösungen \(2 + \sqrt{5}\) und \(2 - \sqrt{5}\) — die Wurzel sieht man der Dezimalzahl nicht an.
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3c(2 P)Warum muss man vor
poly-solvimmer noch selbst umformen?Lösung
Der Rechner nimmt nur \(a\), \(b\) und \(c\) der Normalform entgegen. Eine Gleichung wie \(4x^2 = 6x\) oder \((x-1)(x+2) = 4\) muss zuerst von Hand auf null gebracht werden.
Vertiefung
Du löst quadratische Ungleichungen über die Nullstellen, entscheidest bei einem Parameter über die Anzahl der Lösungen und behandelst Bruchgleichungen, die auf eine quadratische führen.
Ungleichungen — erst die Nullstellen
Eine quadratische Ungleichung löst man nicht durch Umformen, sondern über den Verlauf der Parabel: Nullstellen bestimmen, Skizze machen, ablesen.
- Ausgangslage \(x^2 - x - 6 \gt 0\)
- Nullstellen \((x+2)(x-3) = 0 \ \Longrightarrow \ x = -2\) und \(x = 3\)
- Skizze nach oben geöffnet, also aussen positiv
- Lösungsmenge \(L = \left]-\infty;\ -2\right[ \ \cup \ \left]3;\ \infty\right[\)
Ist die Parabel nach unten geöffnet (\(a \lt 0\)), kehrt sich alles um. Darum gehört die Skizze dazu und nicht eine auswendig gelernte Regel.
Parameter — was er entscheidet
Steht ein Buchstabe in den Koeffizienten, fragt die Aufgabe meist nicht nach \(x\), sondern nach der Anzahl der Lösungen. Die Antwort steckt in der Diskriminante — und die Fallunterscheidung ist die Lösung, nicht ein Nebenprodukt.
Bruchgleichungen, die quadratisch werden
Beim Multiplizieren mit dem Hauptnenner können Lösungen entstehen, die gar nicht erlaubt sind. Wer die Definitionsmenge nicht vorher notiert, gibt eine Scheinlösung als Lösung aus.
Selbsttest 4 — Vertiefung · 12 P
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4a(3 P)Löse \(x^2 - x - 6 \gt 0\).
Lösung
Nullstellen \(-2\) und \(3\), Parabel nach oben geöffnet, also aussen positiv: \(L = \left]-\infty;\ -2\right[ \cup \left]3;\ \infty\right[\).
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4b(2 P)Löse \(x^2 - 4 \leq 0\).
Lösung
Nullstellen \(-2\) und \(2\), innen negativ, Rand erlaubt: \(L = \left[-2;\ 2\right]\).
Das \(\leq\) nimmt die Nullstellen mit — eckige Klammern.
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4c(4 P)Für welche \(k\) hat \(x^2 + 6x + k = 0\) zwei, eine oder keine reelle Lösung?
Lösung
\(D = 36 - 4k\). Zwei Lösungen für \(k \lt 9\), eine für \(k = 9\), keine für \(k \gt 9\).
Probe bei \(k = 9\): \(x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2\), Lösung \(x = -3\) — genau eine.
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4d(3 P)Löse \(\dfrac{x+2}{x-1} = \dfrac{x}{2}\). Gib zuerst die Definitionsmenge an.
Lösung
\(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\). Über Kreuz: \(2(x+2) = x(x-1)\), also \(2x + 4 = x^2 - x\) und \(x^2 - 3x - 4 = 0\). Faktorisiert \((x-4)(x+1) = 0\), also \(L = \{-1;\ 4\}\) — beide sind erlaubt.
Gesamttest
Ohne Taschenrechner. Gib jeweils die Lösungsmenge an. Wo keine reelle Lösung existiert, schreibe \(L = \{\ \}\).
Teil A · Die Sonderfälle (6 Punkte)
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G1(2 P)\(5x^2 - 45 = 0\)
Lösung
\(x^2 = 9\), also \(L = \{-3;\ 3\}\)
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G2(2 P)\(3x^2 + 7x = 0\)
Lösung
\(x(3x + 7) = 0\), also \(L = \left\{-\tfrac{7}{3};\ 0\right\}\)
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G3(2 P)\(x^2 + 9 = 0\)
Lösung
\(x^2 = -9\), also \(L = \{\ \}\) — kein reelles Quadrat ist negativ.
Teil B · Der allgemeine Fall (10 Punkte)
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G4(3 P)\(x^2 - 2x - 8 = 0\)
Lösung
\(D = 4 + 32 = 36\), also \(x = \dfrac{2 \pm 6}{2}\) und \(L = \{-2;\ 4\}\)
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G5(3 P)\(2x^2 - 7x + 3 = 0\)
Lösung
\(D = 49 - 24 = 25\), also \(x = \dfrac{7 \pm 5}{4}\) und \(L = \{0.5;\ 3\}\)
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G6(2 P)Löse durch quadratisches Ergänzen: \(x^2 + 8x + 7 = 0\)
Lösung
\((x+4)^2 = 9\), also \(x + 4 = \pm 3\) und \(L = \{-7;\ -1\}\)
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G7(2 P)Bestimme nur \(D\) und die Anzahl der Lösungen: \(4x^2 - 12x + 9 = 0\)
Lösung
\(D = 144 - 144 = 0\) → genau eine Lösung, \(x = \tfrac{3}{2}\).
Der Term ist \((2x-3)^2\) — ein vollständiges Quadrat.
Teil C · Anwenden (8 Punkte)
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G8(3 P)\(x^2 - 2x - 3 \leq 0\)
Lösung
Nullstellen \(-1\) und \(3\), Parabel nach oben geöffnet, innen negativ: \(L = \left[-1;\ 3\right]\)
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G9(3 P)\(\dfrac{x+2}{x-1} = \dfrac{x}{2}\) — mit Definitionsmenge.
Lösung
\(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\). Es folgt \(x^2 - 3x - 4 = 0\), also \((x-4)(x+1) = 0\) und \(L = \{-1;\ 4\}\); beide liegen in \(D\).
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G10(2 P)Für welche \(k\) hat \(x^2 + kx + 4 = 0\) genau eine Lösung?
Lösung
\(D = k^2 - 16 = 0\), also \(k = 4\) oder \(k = -4\).
Für \(k = 4\) ist \(x = -2\), für \(k = -4\) ist \(x = 2\).
| 21 – 24 P | Sitzt. Weiter zum Leitprogramm über Gleichungssysteme. |
| 16 – 20 P | Gut. Schau nach, bei welchem der drei Teile es geharzt hat, und rechne das Kapitel-Beispiel dazu nochmals nach. |
| 10 – 15 P | Die Formel sitzt, die Sonderfälle noch nicht. Kapitel 1 wiederholen — dort werden die meisten Punkte verschenkt. |
| 0 – 9 P | Zurück zu Kapitel 0 und 1. Jedes Beispiel selber ausschreiben, bevor du weitergehst. |